东北三省三校2017届高三第一次联合模拟考试数学(文)试题-Word版含答案

1、哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学2017 年高三第一次联合模拟考试文科数学试卷第I卷（共60分）、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的x |1.x1.已知集合A x|- xA. (1,2)B.(1,2C.1.2D. 1,2)2 .设复数z满足（1i)zA.1 iB.C.D. 1 i3 .设向量 a (1,2), b(m, m1),a/b,则实数m的值为（）A. 1B.D.34 .双曲线的顶点到渐进线的距离等于虚轴长的31 1-,则此双曲线的离心率是（4A. 2C. 3D. 45.一个四棱锥的底面为长方形，其三视图如图

2、所示，则这个四棱锥的体积是（恻（左）视图B. 2C. 3D. 46.检测600个某产品的质量（单位:g）,得到的直方图中，前三组的长方形的高度成等差数列，后三组所对应的长方形的高度成公比为0.5的等比数列，已知检测的质量在100.5105.5之间的产品数为150,则质量在115.5120.5的长方形高度为（1230DW7.已知数列an是等差数列，满足ai2a2S5 ,下列结论中错误的是（A. S90B.S5最小C.S3S6D. a508.函数f(x)sin( x0,万）在区间（,万）内是增函数，则（）B.f （x）的周期为一 2C.的最大值为4D.9.如图是用二分法求方程2 0近似解的算法的程

3、序框图，则两处应依次填入A. a m , b mB. b m, a mC. a f(m), b f(m)D. b f (m) , a f (m)10.过抛物线y2 2 Px ( p0)的焦点F作直线交抛物线于A, B,若 Soaf 4Sobf ,则直线AB的斜率为()B.511.已知四面体A BCD中,5ABC和3C. 一4BCD都是边长为4D. 一36的正三角形，则当四面体的体积最大时，其外接球的表面积是A. 60B.30C.20D. 1512.已知定义在 R上的可导函数f(x)的导函数为f'(x),满足 f'(x) f(x),且 f(0) 2,则不等式f(x) 2ex 0的

4、解集为()A. ( 2,)B. (0,)C. (1, )D. (4,)第II卷(共90分)二、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上)x y 4 0,13 .已知实数x , y满足x 3y 6 0,则z x 2y的最大值为.2x 3y 12 0,1 3 214 .右0 a 2, 0 b 2,则函数f (x) - x Tax2bx 3存在极值的概率3为.15 .若 a 0, b 0,且 2a b 1 ,且 2 JOb 4a2 b2 的最大值是 .16 .各项均为正数的数列an和斗满足：an ,bn,an1成等差数列，bn,an1,bn 1成等比数列，且a1 1, a2 3,则数列 an

5、的通项公式为sin A sin Bsin(A B)三、解答题 (本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.)17.已知在a cABC中内角A, B, C的对边分别为a, b, c且 a b(I)求角B的值;(n)若 ABC的外接圆半径为1,求 ABC面积S的最大值.18 .某市拟招商引资兴建一化工园区，新闻媒体对此进行了问卷调查，在所有参与调查的市民中，持“支持”、“保留”和“不支持”态度的人数如表所示:支持保留不支持30岁以下90012028030岁以上(含30岁)300260140(I)在所有参与调查的人中， 用分层抽样的方法抽取部分市民做进一步调研(不同态度的群

6、体中亦按年龄分层抽样)，已知从“保留”态度的人中抽取了19人，则在“支持”态度的群体中，年龄在 30岁以上的人有多少人被抽取；(n)在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人做进一步的调研，将此 6人看作一个总体，在这 6人中任意选取2人，求至少有1人在30岁以上的概率.19 .已知正三棱柱 ABC A1B1C1中，AB AA 2,点D为AC的中点，点E为AA上.(I)当AA 4AE时，求证：DE 平面BDC1 ;(n)当 AAi 2AE时，求三棱锥 Ci EBD的体积.x2y2. 一120 .已知椭圆C： -y'1(a b 0)的左、右顶点分别为A, B,其离心率e ,点a2

7、 b22P为椭圆上的一个动点，PAB面积的最大值为2J3 .(I)求椭圆的标准方程；(n)动直线l过椭圆的左焦点 F1，且l与椭圆C交于M , N两点，试问在x轴上是否存uuur Luur在定点D ,使得DM DN为定值？若存在，求出点 D坐标并求出定值；若不存在，请说明理由.21 .已知函数 f(x) 2ln x x2 ax 2(a R).(I)讨论函数 f(x)的单调性；(n)若存在x0 (0,1,使得对任意的a 2,0),不等式2a .f(xo) a 3a 2 2me (a 1)(其中e是自然对数的底数)都成立，求实数 m的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所

8、做的第一题记分.22 .选彳4-4:坐标系与参数方程x 、3 cos在直角坐标系xOy中，直线C1 : yV3x ,曲线C2的参数万程是(y 2 sin为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(I )求Ci的极坐标方程和 C2的普通方程；(n)把Ci绕坐标原点沿顺时针方向旋转 一得到直线C3, C3与C2交于A, B两点，求 3| AB|.23 .选彳4-5 :不等式选讲已知a 0, b 0,函数f(x) | x a | | x b |的最小值为4.(I)求a b的值；, 、 ，、1 21 . 2 一 .(n)求一a -b的最小值.49哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实

9、验中学2017年高三第一次联合模拟考试文科数学试卷答案、选择题1-5： ACAAB二、填空题6-10:DBCAD 11、12： AB13.814.三、解答题15.16.an17.解：(I) Q A B Csin(A B) sinC,，圣 sin A sinB ,a b sinC由正弦定理得 即 b2 a2 c2 ac,1 _结合余弦te理，有 PosB , B (0, ), B 一. 23(n) 2R 2解得 b J3,sin 一3所以，b2 3 a2 c2 2accos 2ac ac ac (-当且仅当 a c 时取等)， 3所以S1一-3.3 acsin .23418.解：(1)设在 支持

10、”的群体中抽取n个人一其中年龄在30岁以下的人被抽取 x人.120 260 900 3003由题忌 ，得 n 60 .贝U x n 45人.19n4所以在 支持”的群体中，年龄在 30岁以下的人有45人被抽取.(n )设所选的人中，有 m人年龄在30岁以下.则 一280 2 m , m 4. 280 140 36即从30岁以下抽取4人，另一部分抽取 2人.分别记作 A,A2,A3, A4,B1,B2.则从中任取2人的所有基本事件为（Ai,A）,（A,A3）,（AA）,（A,Bi）,（Ai,B2）（A2, A）人A2N,（%Bi）,（A2,B2）0,A ,(A3,Bi),(142),(1,凯(&

11、amp;区),但用2),共 15 个其中至少有1人在30岁以上的基本事件有 9个.分别是（A,Bi）,（A,B2）（A2,B）,（A2, B2）（A3,Bi）,（A3,B2）, （ A4B , （BJ ,旧,民）.93所以在这6人中任意选取2人，至少有1人在30岁以上的概率为 3 .15 519. （I）证明：Q ABC为正三角形，点 D为AC的中点，BD AC , BD 面 ACCA ,从而 BD DE .连接 EC , Q AA14AE , AB AA2 , EA 1, ED , EC1 22- -,2242C1D 5 , 222_则 EC1 ED C1D , . ED C1D ,又 GD

12、 I BD D , DE 平面 BDC1 . 3（n） Q AA 2AE , ED 72,C1D C1E V5,S cde 一，12由（I）知BD 面ACC1A ,所以BD为三棱锥B C1DE的高，所以 VC EBDvB c deC1 EBD B C1 DE1 c-S C1DE BD1 2ab ab 2«,且 a2 b2 c2. 23- c 1 ,20.解：（i ）由题息，e - -, （S PAB）max a 2解得 a 2,b. 3, c 1.22椭圆的标准方程为1.43(n)假设存在定点D(m,0),使得向量uuuur uuurDM DN为定值n .当直线l的斜率不为0时，椭圆

13、C左焦点F1( 1,0),设直线l的方程为x ty 1.联立22L匕143，消去 x ,得（3t2 4） y2x ty 1、几6t9设 M (X，yi), N(x2, y2),贝U % V2 2,4V223t 4 3t 4uuruuurDM(xim, y1),DN(x2m, y2)，uuLur uuur2DMDN(x1 m)(x2m)y1y2x1x2m(x1x2)m y1y22(tyi 1)(ty2 1) m(t(yi y) 2) my,2/、，/、 ，、，/、2(ti)y1y2(mi)t(yiy?)(mi)-29(t1)3t2 4-26t (m 1)3t2 4(m 1)2_2 一(6m 15

14、)t93t2 42(m 1) .uuur uult若DM DN为定值n ,则当直线l的斜率为0时，6m 15311,此时n811 uuur uuurA( 2,0),B(2,0),D(,0), DM DN8135.645 278 -8理亦64符合题意;，存在点D(11c、,一 一 一,0),使得向重 8DM DN为定值n1356422x2 ax 221.解：(I )f (x) - 2x a (xxx令 h(x) 2x2 ax 2,a2 16 .当a 0时，ax 0, f (x) 皿 0,函数f (x)在(0,)上单调递增； x当0 a 4时， a2 16 0 ,所以h(x) 0,函数f(x)在(

15、0,)上单调递增;.当a 4时,a2 16 0,令 h(x) 0 ,得 x1aa2 1640, x2aa2 164f (x) 0 x (0,x1)U(x2,);f (x) 0 x 国保).所以，f (x)在0, x1和乂2,+ '上单调递增，在(为，*2)单调递减.综上，1o当a 1时，函数f(x)在(0,)上单调递增;2o当a 1时，f (x)在0,x1和x2,上单调递增，在(x1,x2)单调递减.不写综上不扣分；如果每种情(注：如果在每种情况中已说明函数在哪个区间上的单调性,况只解出不等式，最后没写综上 ,扣1分)(n)由(I)知，a 2,0)时，函数f(x)在区间(0,1上单调递

16、增一所以当x (0,1时,函数f(x)的最大值是f(1) 3 a,对任意的a 2,0),都存在X0 (0,1,使得不等式2mea(a 1) f(&) a2 3a 2成立, 即对任意的 a 2,0) , 2mea(a 1) f (x0)max a2 3a 2 都成立，a2即对任息的a 2,0),不等式2me (a 1) a 4a 1 0都成立,记 h(a) 2mea(a 1) a2 4a 1 ,贝U h (a)2mea(a 2) 2a 4 2(a 2)( mea 1).Qa 2,0), ea,1),且 a 2 0. e当m 1时，mea 1 0, h (a) 0,即a 2,0)时，h(a

17、)单调递减.11 h(a) 0 ,只需 h(0) 0 ,解得 m /. m -,1.22当m 1时，令h(a) 0得a 2或a In m ,因为a 2,0),所以2(a 2) 0.(i )当 1 m e2 时,In m 2,0)，当 a ( 2, In m)时，h'(a)0;2当 a ( In m,0)时，h (a) 0 , h(a)min h( In m) In m 2ln m 3 0,1 QO斛信 m (-,e )，.二 m (1,e ).e1当m e2时，因为 2 a 0 ,所以下 ea 1,所以mea 1 ,所以h'(a) 0,e则 h(a)5e2c 5e2在2,0)上单调递增，得h( 2) 5 2me2 0,即m 至，m e2,王).22八 工 1 5e2综上，m的取值范围是1,5).2 2-2_22.解：(I)直线 C1 ： sin33 cos( R),3曲线C2的普通方程为(x J3)2 (y 2)2 1 .(n) C3：圆C2的圆，.心到直线C3的距离d 所以 |AB 2,12 1 B(x a)