数值分析张铁编习题答案学习教案

1、会计学1数值分析张铁编习题数值分析张铁编习题(xt)答案答案第一页，共73页。 2-2(1).用列主元Gauss消元法解方程组 解解 6745150710623321xxx65157071046235 . 255 . 201 . 661 . 0070710消元1 . 661 . 005 . 255 . 207071032rr回代得解: x3=1, x2=-1, x1=0651546237071021rr2 . 62 . 6005 . 255 . 2070710消元第2页/共73页第二页，共73页。 2-3(1).对矩阵A进行LU分解,并求解(qi ji)方程组Ax=b,其中 解解 564,22

2、1231112bA ，所以(suy)221231112A1122121112212325211125321232521112535321232521112532325532121112111A5332132153212144564111yyyyyy，得解1114411232153321532325xxxxxx，得再解第3页/共73页第三页，共73页。 2-4.对矩阵A进行LDM分解(fnji)和Crout分解(fnji)，其中 解解15156654212A64264122112634122112634123221112634123221111111263423221A

3、分解：故得Crout11111321431213221ALDM分解为：第4页/共73页第四页，共73页。 2-5.对矩阵A进行LDLT分解(fnji)和GGT分解(fnji)，并求解方程组Ax=b，其中 解解 ,22484548416A22484548416A2121432321214332321214332214332214A分解：故得TGG1119416111232141232141ALDLT分解为：321b第5页/共73页第五页，共73页。7083. 1875. 025. 0321332214321321yyyyyy，得解5694. 02916. 15451. 07083. 1875.

4、025. 0332214321321xxxxxx，得再解 2-6(1).给定(i dn)方程组 21102yxyx a.用Cramer法则求其精确解. b.用Gauss消元法和列主元Gauss消元法求解,并比较结果(ji gu).(用两位浮点计算). 解解 a.x=-1/-0.99=1.010101,y=-0.98/-0.99=0.989899 b.用Gauss消元法第6页/共73页第六页，共73页。21102yxyx 2-8.用追赶(zhugn)法求解方程组:回代得解: y=1, x=0.1102yx1001001102yyx 再用列主元Gauss消元法21102yxyx12yyx2yx回代

5、得解: y=1, x=1.200000100411411411411454321xxxxx第7页/共73页第七页，共73页。 解解411411411411414144111441541114154415411114155615441541111456151556154415411111456209561515561544154111114209565620956151556154415412097802095656209561515561544154111114718.5347847. 07857. 16667. 6252000001001111454321543212097805620915

6、56415yyyyyyyyyy，得解第8页/共73页第八页，共73页。718.53872.147693. 52052. 8051.27,718.5347847. 07857. 16667. 62511111543215432120956561515441xxxxxxxxxx得再解 2-10.证明(zhngmng)下列不等式: (1)x-yx-z+z-y; (2)|x-y|x-y; 证明(zhngmng) (1)x-y=(x-z)+(z-y)x-z+z-y (2) 因为(yn wi) x=(x-y)+yx-y+y 所以 x-yx-y ,同理可证 y-xx-y 于是有 |x-y|x-y . 第9页

7、/共73页第九页，共73页。 2-11.设为一向量范数,P为非奇异矩阵,定义xp= Px, 证明(zhngmng)xp 也是一种向量范数. 证明(zhngmng) (1)xp=Px0,而且Px=0Px=0 x=0 (3)x x+y yp=P P(x+yx+y)=Px+PyPx+PyPxPx+PyPy=x xp+y yp (2)x xp=P P(x x)=PxPx=|PxPx=|x xp所以xp是一种(y zhn)向量范数. 2-12.设A为对称正定矩阵,定义x xA=AxxT ,证明A是一种向量范数. 证明证明 由Cholesky分解有A=GGA=GGT T,所以x xA)()(xGxGTTT

8、=GTx2,由上题结果知x xA是一向量范数.第10页/共73页第十页，共73页。 2-16.对任意(rny)矩阵范数,求证: 证明(zhngmng) (1)因为A=AEAE ,所以E1. (2)1E E=AAAA-1-1A AA A-1-1 ,故 2-17.证明: (1)如果(rgu)A为正交矩阵,则Cond2(A)=1; (2)如果A为对称正定矩阵,则Cond2(A)=1/n,1和n分别为A的最大和最小特征值. 证明证明 (1)A正交,则ATA=AAT=E,Cond2(A)=A A2A A-1-12=1. (2)A对称正定,ATA=A2, A A2=1. A A-1-12=1/n.BABA

9、BAAAE11111) 3(1)2(1) 1 (.11AA (3)A A-1-1-B-B-1-1=A A-1-1(B-A)B(B-A)B-1-1A A-1-1B B-1-1A-BA-B第11页/共73页第十一页，共73页。 3-2.讨论(toln)求解方程组Ax=b的J迭代法和G-S迭代法的收敛性.其中122111221)2(211111112) 1 (AA 解 (1) J迭代(di di)法的迭代(di di)矩阵为 ,0101021212121U)(LDB1得(2+5/4)=0, i25011|21212121BE令 即1=0,2= ,3= , i25 故(B)= 25 所以J迭代法不收敛

10、.第12页/共73页第十二页，共73页。1()GDLU (2)类似(li s)可得(B)=0,(G)=2, 故J迭代法收敛,G-S迭代法不收敛.所以(suy),(G)=1/2, 故G-S迭代法收敛. G-S迭代(di di)法的迭代(di di)矩阵为:0001001102110110021212121212100000001001100010021212121021112或由 , 得(2+1)2=0,故(G)=1/2. 第13页/共73页第十三页，共73页。 3-3.用J迭代法和G-S迭代法求解(qi ji)方程组301532128243220321321321xxxxxxxxxJ迭代法有x

11、(1)=(1.2,1.5,2)T, x x(1)(1)-x-x(0)(0)=2取初始近似x(0)=(0,0,0)T,问各需迭代(di di)多少次才能使误差x(k)-x*10-6. 解 J迭代(di di)法和G-S迭代(di di)法的迭代(di di)矩阵分别为 ,000511528181203101U)(LDB18001120019160178012031011000)(ULDGG-S迭代法有x(1)=(1.2,1.35,2.11)T, x x(1)(1)-x-x(0)(0)=2.11 B B=1/3=0.33333 , G G=1/4=0.25第14页/共73页第十四页，共73页。易得

12、:(B)=|,(G)=2.故当|1 ,(G G)=31. 实际上,(B B)=1/31/2(G G)=1/3.第17页/共73页第十七页，共73页。 3-8.判定求解下列(xili)方程组的SOR方法的收敛性.000121001210012100124321xxxx 解 直接(zhji)可验证系数矩阵A是负定矩阵,所以-A是对称正定矩阵,故当00, (1)=-sin10,故方程在0,1内有根,又(x)=-1-cosx0, x0,1,所以(suy)方程在0,1内仅有一个根. 可见,需要计算14步. 由于4111021212kkkabx ,所以k4/log2=13.29 4-3.比较使用下述方法求

13、方程ex+10 x-2=0的正根，准确到三位小数所需要的计算量: (1) 在区间0,1内用二分法; (2) 用迭代法10/ )2(1kxkex ,取x0=0.第20页/共73页第二十页，共73页。 解解 (1)(1)由 (2) 迭代(di di)法的迭代(di di)函数为(x)=(2-ex)/10, |(x)|= ex/10e/101,取L=e/10,且x1=0.1,由 k3/log2=9.97 ,所以需要(xyo)计算10步.3111021212kkkabx ,可得所以(suy),只需迭代5步.可得 30110211xxLLxkk31. 4ln2001lnLLk若取L=e0.1/10,可得

14、k2.46,所以只需迭代3次. 4-4.设(x)=cosx,证明:任取x0,迭代式xk+1=(xk),k= 0,1,2,均收敛于方程x=(x)的根 .第21页/共73页第二十一页，共73页。 证明 因为对任意x0,都有x1=cosx0-1,1,所以(suy)只需证明迭代式在区间-1,1收敛. 因为(x)=cosx连续可导,|(x)|=|sinx|sin11,所以(x)是区间(q jin)-1,1上的压缩映射,因此结论成立.这里迭代(di di)函数(x)= 解解 记(x)=x3+2x-5C0,2,且(0)=-50, 所以方程在区间0,2内有根,建立迭代格式 4-5.4-5.验证区间0,2是方程

15、x3+2x-5=0的有根区间,并建立一个收敛的迭代格式,使对任何初值x00,2都收敛,并说明理由., 2 , 1 , 0,2531kxxkk325x ,由于 第22页/共73页第二十二页，共73页。 01(x) 所以(x)是区间(q jin)0,2上的压缩映射,故迭代式收敛. 证明 这里(x)=x-(x),由于(yuy)对任意(0,2/M)均收敛(shulin)于(x)=0的根 . 4-7.4-7.给定函数(x),设对一切x,(x)存在且0m(x) M,证明对任意(0,2/M),迭代式, 2 , 1 , 0,)(1kxfxxkkk35 2 , x0,2 且 |(x)|= 32)25(32 x

16、2/31 , x0,2 -1=1-2(x)=1-(x)1所以|()|1,试问如何将x=(x)化为适于迭代(di di)的形式?将x=tanx化为适于迭代(di di)的形式,并求在x=4.5附近的根.由于|-1(x)|=1/|(x)|1/k 0),分别导出求na 的迭代公式,并求 21)/()(limknknkxaxaC第25页/共73页第二十五页，共73页。由于(yuy) 解解 迭代迭代(di di)(di di)格式分别为格式分别为 所以(suy)对(1)有, 2 , 1 , 01) 1 (11knxaxnnxnkkk 4-13.4-13.证明迭代公式：xk+1=xk(xk2+3a)/(3

17、xk2+a),k=0, 1,2,是求a, 2 , 1 , 0)1()2(1kaxnnxxnkkk)(2)()(lim21ffxxkkk nnC21 ,对(2)有.21nnC 证明证明 设 的三阶方法.kkxlim ,则有: =(2+3a)/(32+a) 故 2=a , 即axkklim第26页/共73页第二十六页，共73页。又由于(yuy) 所以(suy)有axaxaaxxaxkkkkk22213)3()3(因此(ync)是三阶方法.axaxaaxxkkkk23233)33axaxkk233)(aaxaxaxkkkkk4131lim)(lim231第27页/共73页第二十七页，共73页。 5-

18、1.用Gerschgorin圆盘定理估计(gj)下列矩阵的特征值. 解 (1)三个圆盘为|-1|0.2,|-2|0.4,|-3|0.3.是相互(xingh)独立的,因此,三个特征值分别为;(2)三个圆盘为|-4|2,|-2|1,|-9|2.前两个圆盘连通,后一个独立,因此, 1,2,落在前两个圆盘的连通区域内, 7311. 0.811.2 , 1.622.4 , 2.733.3 5-5.求矩阵A按模最大和最小特征值.其中902120114)2(31 . 02 . 04 . 0201 . 01 . 01) 1 (第28页/共73页第二十八页，共73页。 解解 用幂法求A的按模最大特征值,计算公式

19、为: v v(k)=AuAu(k-1)31815108109A k=max(v v(k) u u(k)=v v(k)/k ,k=1,2,.取初值u(0)=(1,1,1)T,计算结果如下(rxi):取17=19.301 k01234567u1(k)11111111u2(k)10.51850.71270.64870.67480.66590.66930.6681u3(k)10.37040.50110.43660.45630.44820.45100.4499k2717.148220.135818.979819.398419.244619.301第29页/共73页第二十九页，共73页。 解解 用反幂法求

20、A A的按模最小特征值,计算公式为: AvAv(k)=u u(k-1) k=max(v v(k) u u(k)=v v(k)/k ,k=1,2,.取初值u(0)=(1,1,1)T,计算结果如下(rxi):k01234567u1(k)11-0.1318-0.6500-0.1902-0.3689-0.0590-0.2550u2(k)1-0.18920.14931-0.33231-0.58111u3(k)10.21621-0.39691-0.69171-0.9204k0.11310.1204-0.1353-0.2192-0.1659-0.2225-0.1724k89101112131415u1(k)

21、-0.02920.19750.06170.15640.09160.13550.10580.1259u2(k)-0.7168-0.9940-0.7713-0.9089-0.8119-0.8765-0.8319-0.8618u3(k)11111111k-0.23300.17940.23450.19380.21970.20160.21370.2054取n1/15=4.8686 第30页/共73页第三十页，共73页。 5-7.利用带位移(wiy)的反幂法计算矩阵的特征值. 解 作位移(wiy)矩阵B=A-7E ,建立计算公式:720101350144PA BvBv(k)=u u(k-1) k=max(

22、v v(k) u u(k)=v v(k)/k ,k=1,2,.取初值u(0)=(1,1,1)T,计算结果如下(rxi):k01234567u1(k)11111111u2(k)10.750.72220.71620.71480.71440.71430.7143u3(k)1-0.4-0.8044-0.9403-0.9828-0.9951-0.99870.9998k-2-1.125-1.0278-1.0067-1.0018-1.0004-1.0000取7+1/7=6 第31页/共73页第三十一页，共73页。 5-9(2)利用Jacobi方法(fngf)求矩阵A的所有特征值，其中 解解 记4212421

23、24A取p=1，q=2，则有 cos=(1+t2)-1/2=0.7071, sin=tcos0.7071 421242124)0(A, 02)0(12)0(22)0(11aaa1t10007071. 07071. 007071. 07071. 01000cossin0sincos)(pqRR1第32页/共73页第三十二页，共73页。类似(li s)地有470711. 012132. 270711. 02012132. 2061)0(1)1(RARTA65479. 259716. 0059716. 0237868. 0037868. 034521. 7)2(A00841. 3019295. 00

24、64638. 132583. 019295. 032583. 034521. 7)3(A00841. 301098. 019264. 001098. 062781. 1019264. 0036378. 7)4(A99991. 201097. 0001097. 062781. 100048. 0000048. 037228. 7)5(A所以(suy)取 17.37228 ,22.99991 ,31.62781 5-10.设矩阵H=E-2xxT,向量(xingling)x满足xTx=1,证明: (1)H为对称矩阵,即H HT T=H=H; (2)H为正交矩阵,即H HT TH=EH=E; (3)H

25、为对合矩阵,即H H2 2=E=E. 第33页/共73页第三十三页，共73页。 证明 (1)因为(yn wi)HT=(E-2xxT)T=E-2xxT=H,故H对称. 6-1.当x=1,-1,2时,(x)分别(fnbi)为0,-3,4,求(x)的二次插值多项式p2(x).(2)因为(yn wi)HTH=(E-2xxT)T(E-2xxT)=E-4xxT+4xxTxxT=E,故H正定.(3)由(1)和(2)即得,H H是对合矩阵. 解法一解法一. . 基函数法: p2(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2=-3l1(x)+4l2(x) )2)(1(61)()()(2101201xxx

26、xxxxxxxxl) 1)(1(31)()()(1202102xxxxxxxxxxxl第34页/共73页第三十四页，共73页。 6-2.设l2(x)是以xk=x0+kh,k=0,1,2,3为插值节点(ji din)的3次插值基函数,求 解法(ji f)二. 待定系数法,设p2(x)=(x-1)(ax+b), 则有 p2(x)=-3l1(x)+4l2(x) ) 1)(1(34)2)(1(21xxxx)1(8)2(3)1(61xxx)145)(1(61xx 2(a-b)=-3, 2a+b=4 ,解得,a=5/6, b=7/3, 所以(suy) p2(x)=1/6(x-1)(5x+14). )(ma

27、x230 xlxxx第35页/共73页第三十五页，共73页。 6-3.设l0(x),l1(x),ln(x)是以x0,x1,xn为节点的n次Lagrange插值基函数(hnsh),求证: 解解 )()()()()(3212023102xxxxxxxxxxxxxl 证明(zhngmng) (1)记(x)=xk,则yj=(xj)=xjk,j=0,1,n.于是)3)(1(21max)(max30230tttxltxxx30)3)(1(21)(0ttttthxx令271077374时）（t., 1 , 0,)() 1 (0nkxxlxkjnjkj., 1 , 0,0)()()2(0nkxlxxjnjkj

28、第36页/共73页第三十六页，共73页。 6-4.设(x)C2a,b,且(a)=(b)=0,证明(zhngmng) )()!1()()()(10)1(xnfxlyxfxnnjxnjjk 证明(zhngmng) 以a,b为节点作(x)的线性插值有L1(x)=0,故njjkjxlx0)( (2)记(t)=(t-x)k,则yj=(xj)=(xj-x)k,j=0,1,n.于是(ysh)()!1()()()()(10)1(tnftlytfxtnnjtnjjknjjkjtlxx0)()(取t=x,则有njjkjxlxx00)()(bxaMabxf,)(81)(22其中,. )(max2xfMbxa |(x

29、)|=|(x)-L1(x)|22)(81)(2)(Mabbxaxfx 第37页/共73页第三十七页，共73页。 6-5.利用(lyng)y=x115 的近似值,并由误差公式给出误差界,同时与实际(shj)误差作比较. 解 由二次Lagrange插值得(zh d): 在x=100,121,144点的函数值 ,用插值方法求722756.1012)121144)(100144()121115)(100115(11)144121)(100121()144115)(100115(10)144100)(121100()144115)(121115()115(1152 L144100,108383525 x

30、xy3521063125. 1)144115)(121115)(100115(1083! 31)115(115 L 实际误差：3210049294. 1)115(115 L第38页/共73页第三十八页，共73页。 6-8.(x)=x5+4x4+3x+1,求差商20,21,25和20, 21,26. 解解 20,21,25= 1! 5)()5(f 20,21,26= 0 6-9.设(x)=x5+x3+1, 取x0=-1,x1=-0.8,x2=0,x3=0.5, x4=1,作出(x)关于(guny)x0,x1,x2,x3,x4的差商表,给出(x)关于(guny)x0,x1,x2,x3的Newton

31、插值多项式,并给出插值误差. 解解 差商表为 xk(xk)一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商x0=-1x1=-0.8x2=0 x3=0.5x4=1-10.1603211.1562535.80161.04960.31253.6875-4.752-0.5673.3752.792.19-0.3第39页/共73页第三十九页，共73页。Newton插值多项式为: |R3(x)|=|-1,-0.8,0,0.5,x(x+1)(x+0.8)x(x-0.5)| 6-10.设(x)=x4+2x3+5, 在区间-3,2上, 对节点x0= -3,x1=-1,x2=1,x3=2,求出(x)的分段三次(sn c)Hermi

32、te插值多项式在每个小区间xi,xi+1上的表达式及误差公式. 解解 在-3,-1上,由y0=32,y1=4,y0=-54,y1=2,h=2,得 N3(x)=-1+5.8016(x+1)-4.752(x+1)(x+0.8) +2.79(x+1)(x+0.8)x 5|(x+1)(x+0.8)x(x-0.5)| H3(x)=320(x)+41(x)-540(x)+21(x)令0(x)=(x+1)2(ax+b),可得a=1/4,b=1,所以(suy) 0(x)=(x+1)2(x+4)/4第40页/共73页第四十页，共73页。同理可得: 0(x)=(x+3)(x+1)2/4 1(x)=-(x+3)2x

33、/4 1(x)=(x+3)2(x+1)/4 H3(x)=8(x+1)2(x+4)-(x+3)2x -13.5(x+3)(x+1)2+0.5(x+3)2(x+1) =-6x3-22x2-24x-4所以(suy)有误差(wch)为 R(x)=(x+3)2(x+1)2类似(li s)地,在区间-1,1上有 H3(x)=2x3+2x2+4 R(x)=(x+1)2(x-1)2第41页/共73页第四十一页，共73页。 H3(x)=写到一起(yq)就是 R(x)=在区间(q jin)1,2上有 H3(x)=8x3-13x2+12x+1 R(x)=(x-1)2(x-2)2 -6x3-22x2-24x-4 ,

34、-3x-1 2x3+2x2+4 , -1x1 8x3-13x2+12x+1 , 1x2 (x+3)2(x+1)2 , -3x-1 (x+1)2(x-1)2 , -1x1 (x-1)2(x-2)2 , 1x2 6-12.确定(qudng)a，b，c使函数31) 1() 1() 1(10)(23213xcxbxaxxxxS第42页/共73页第四十二页，共73页。是一个(y )三次样条函数。 解 因为S(x)是分段(fn dun)三次多项式,故只需S(x)C20,3 由 1=S(1-0)=S(1+0)=c ,得 c=1所以,当a=b=3,c=1时,S(x)是三次(sn c)样条函数. 6-13.确定

35、a，b，c,d,使函数3110)(3232xdxcxbxaxxxxS 由 3=S(1-0)=S(1+0)=b ,得 b=3 由 6=S(1-0)=S(1+0)=2a ,得 a=3是一个三次样条函数,且S(2)=12. 解解 由已知可得: a+b+c+d=2, b+2c+3d=5,2c+6d=8,6d=12, 解之得:a=-1,b=3,c=-2,d=2.第43页/共73页第四十三页，共73页。 6-19.给出函数(hnsh)表 解 线性拟合(n h),即形如y=a+bx的拟合(n h)曲线.构造向量 0=(1,1,1,1,1,1)T, 1=(-1,-0.5,0,0.25,0.75,1)T, =(

36、0.22,0.8,2,2.5,3.8,4.2)T. 则得正则方程组: 6a+0.5b=13.52 xi-1-0.500.250.751yi0.220.822.53.84.2试分别(fnbi)作出线性,二次曲线拟合,并给出最佳均方误差. 0.5a+2.875b=7.055 解得:092353. 2078971. 2ba所以,线性拟合曲线为:y=2.078971+2.092353x最佳均方误差为:*2= =0.386592)(iiybxa第44页/共73页第四十四页，共73页。 二次拟合(n h),即形如y=a+bx+cx2的拟合(n h)曲线.构造向量 0=(1,1,1,1,1,1)T, 1=(

37、-1,-0.5,0,0.25,0.75,1)T, 2=(1,0.25,0,0.0625,0.5625,1)T， =(0.22,0.8,2,2.5, 3.8,4.2)T.则得正则方程组: 6a+0.5b+2.875c=13.52 0.5a+2.875b+0.3125c=7.055 解得:a=1.94448,b=2.0851,c=0.28191.二次拟合(n h)曲线为:y=1.94448+2.0851x+0.28191x2.最佳(zu ji)均方误差为:*2= =0.06943.22)(iiiycbxa 2.875a+0.3125b+2.3828125c=6.91375 6-20.用最小二乘法求

38、一个形如y=a+bx2的经验公式,使与下列数据拟合,并计算均方误差.第45页/共73页第四十五页，共73页。 解 这里(zhl)基函数为0(x)=1,1(x)=x2,构造向量 0=(1,1,1,1,1)T, 1=(361,625,961,1089,1936)T, =(19,32.2,49,73.3,97.8)T.则得正则方程组: 5a+4972b=271.3 4972a+6378484b=343237.5 解得:a=3.33339,b=0.051213.所求拟合(n h)曲线为:y=3.33339+0.051213x2.最佳(zu ji)均方误差为:*2= =15.9329922)(iiybx

39、axi1925313344yi1932.24973.397.8 6-22.用最小二乘法求下列方程组的近似解:第46页/共73页第四十六页，共73页。 解解 记G(x,y)=(2x+4y-11)2+(3x-5y-3)2+(x+2y-6)2+(4x+2y-14)2 就是(jish)求G(x,y)的最小值,令解得: x=2.977413,y=1.2258731424623531142yxyxyxyx, 0186660yxxG0138986yxyG第47页/共73页第四十七页，共73页。 7-1.建立右矩形(jxng)和左矩形(jxng)求积公式,并导出误差式. 解法. 右矩形(jxng)公式为：由于

40、(x)-(a)=(x)(x-a), (x)-(b)=(x)(x-b) )()(abbfdxxfba 左矩形公式为：)()(abafdxxfba所以有 ),()(2)()()()()(2bafabdxbxfabbfdxxffRbaxba),()(2)()()()()(2bafabdxaxfabafdxxffRbaxba第48页/共73页第四十八页，共73页。 7-2.说明中矩形公式的几何(j h)意义,并证明 证明(zhngmng) 由Taylor展开式有),()(24)()2()()(3bafabbafabdxxfba 所以(suy)有 3)(24)()(2()(abfabbafdxxfba

41、2)2(2)()2)(2()2()(baxfbaxbafbafxfx 7-3.若(x)0,证明用梯形公式计算定积分所得结果比准确值大,说明几何意义. 证明证明 因为(x)0,所以y=(x)是凹函数,故结论成立.第49页/共73页第四十九页，共73页。 7-5.确定下列积分(jfn)公式中的待定参数，使其代数精度尽可能高，并说明代数精度是多少？)()0()()() 1 (101hfAfAhfAdxxfhh 解 令公式(gngsh)对(x)=1,x,x2都精确成立,则有 解得:A-1=A1=h/3,A0=4h/3. A-1+A0+A1=2h -hA-1+hA1=0 h2A-1+h2A1=2h3/3

42、求积公式(gngsh)为:)()0(4)(3)(hffhfhdxxfhh (x)=x3时,左=右=0,公式也精确成立 (x)=x4时,左=2h5/5,右=2h5/3,公式不精确成立所以公式的代数精确为3.第50页/共73页第五十页，共73页。)(3)(2) 1()()2(213111xfxffdxxf 解 令公式对(x)=1,x,x2都精确(jngqu)成立,则有 解得: 2=2 2x1+3x2-1=0 2x12+3x22+1=2求积公式(gngsh)为: (x)=x3时,公式都不精确成立(chngl),故代数精度为2.126599. 0689899. 021xx526599. 0289899

43、. 021xx或)126599. 0(3)689899. 0(2) 1(31)(11fffdxxf)526599. 0(3)289899. 0(2) 1(31)(11fffdxxf或)()0()()0(2)()3(20hffhhffhdxxfh 解解 当(x)=1时,左=h，右=h，对所有都成立。第51页/共73页第五十一页，共73页。 (x)=x时有左=右=h2/2，对所有(suyu)都成立。 故公式(gngsh)的代数精度为3.)()()5(00112xfAdxxfx)()0(12)()0(2)(20hffhhffhdxxfh 解 令公式对(x)=1,x精确(jngqu)成立,则有 (x)

44、=x2时,左=h3/3,右=h3/2-2h3，故取=1/12,则有 (x)=x3时,左=h4/4,右=h4/2-h4/4=h4/4，也精确成立. (x)=x4时,左=h5/5,右=h5/2-h5/3=h5/6，不精确成立. A0=2/3 A0 x0=0 解得A0=2/3,x0=0. 所以公式为)0(32)(112fdxxfx ,其代数精度为1.第52页/共73页第五十二页，共73页。 7-7.设 解 因为(yn wi)|(lnx)|=1/x21, |(lnx)(4)|=6/x46 要|I-Tn|9.13,故取n=10.IS2=1/12ln1+2ln1.5+ln2+4ln1.25+4ln1.75

45、=0.386260 导出两点Gauss型求积公式(gngsh). 若取=10-3,分别求出n使复化梯形公式Tn,复化Simpson公式Sn的截断误差满足: |I-Tn|,及|I-Sn| ,并计算Sn .,ln21xdxI,1012132n要|I-Sn|1.201,故取n=2. 7-10.对积分10,)(1lndxxfx 解解 区间0,1上权函数为ln(1/x)的正交多项式为: P0(x)=1, p1(x)=x-1/4, p2(x)=x2-(5/7)x+17/252 令 p2(x)=0 ，解出Gauss点为：第53页/共73页第五十三页，共73页。 再令公式(gngsh)对(x)=1,x精确成立

46、,可得 A1+A2=1, A1x1+A2x2=1/4 ,由此解出所以(suy)两点Gauss型求积公式为:1064921,106492121AA 7-11.用两点Gauss型求积公式(gngsh)计算下列积分的近似值.)4210615()1094921()4210615()1094921()(1ln10ffdxxfx 解解 两点Gauss-Legendre求积公式为: ,42106151x42106152xdxx11221cos1) 1 ()577350. 0()577350. 0()(11ffdxxf第54页/共73页第五十四页，共73页。所以(suy)有 解 两点Gauss-Laguerr

47、e求积公式(gngsh)为: A1=0.8535533905, A2=0.1464466094, 611151. 1cos111221dxxdxxx0sin)2(其中,)()()(2211021xfeAxfeAdxxfxx x1=0.5858864376, x2=3.4142135623, 所以(suy)有096221. 1sin0dxxxdxxex02)3(第55页/共73页第五十五页，共73页。所以(suy)有 解 两点Gauss-Laguerre求积公式(gngsh)为: A1=A21=x2=0.7071067811 ）同（2,)()()(212122110 xxAAxfAxfAdxxf

48、ex所以(suy)有000102. 202dxxexdxxex21)4(2 解解 两点Gauss-Hermit求积公式为:其中,)()()(22112xfAxfAdxxfex170804. 2122dxxex 7-12.证明下列数值微分公式：第56页/共73页第五十六页，共73页。其中(qzhng)，xj=x0+jh，j=0，1，2。 (x)= (x-x1)(x-x2)(x0)-2(x-x0)(x-x2)(x1)+(x-x0)(x-x1)(x2)/2h2 )(3)()(4)(321)() 1 (22100fhxfxfxfhxf (x0)=-3(x0)+4(x1)-(x2)/2h+R2(x0)

49、)(12)()(2)(1)()2()4(221021fhxfxfxfhxf (2) (x)=(x0)-2(x1)+(x2)/h2+R2(x) )(3)2()0(3)(461)0()3(2fhhffhfhf 证明(zhngmng) (1)以x0,x1,x2为节点的二次Lagrange插值为: + (x)(x-x0)(x-x1)(x-x2)/6 (x)=(2x-x1-x2)(x0)-2(2x-x0-x2)(x1)+(2x-x0-x1)(x2)/2h2+R2(x) (x0)=-3(x0)+4(x1)-(x2)/2h+h2 ()/3第57页/共73页第五十七页，共73页。 容易证明 (x1)(x0)-

50、2(x1)+(x2)/h2 对 (x)取次数不超过3次的多项式精确(jngqu)成立. 构造(guzo)三次多项式p3(x)使p3(x0)=(x0), p3(x1)=(x1), p3(x2)=(x2), p3(x1)=(x1), 则有 (x)-p3(x)=(4)(x)(x-x0)(x-x1)2(x-x2)/4!于是(ysh)有 R2(x1)=(x1)-p3(x1)=(4)()(-2h2)/4!=-(4)()h2/12所以 (x1)=(x0)-2(x1)+(x2)/h2-(h2/12)(4)() (3)以x0=-h,x1=0,x2=2h为节点的二次Lagrange插值为: (x)= 2x(x-2

51、h)(-h)-3(x+h)(x-2h)(0)+x(x+h)(2h)/6h2 + (x)x(x+h)(x-2h)/6 第58页/共73页第五十八页，共73页。 (0)=-4(-h)+3(0)+(2h)/6h+ R2(0) (x)=4(x-h)(-h)-3(2x-h)(0)+(2x+h)(2h)/6h2+R2(x) (0)=-4(-h)+3(0)+(2h)/6h-h2 ()/3 8-5.用梯形(txng)方法和四阶标准R-K方法求解初值问题 y+y=0 ， 00,证明如下(rxi)方法的绝对稳定性条件 证明 (1)改进(gijn)Euler公式为： (1)改进(gijn)Euler方法: (2)四阶标准R-K方法:112221hh1144!4133! 3122!21hhhh)(21nnnnnyhyyhyynyhh)1 (2221故改进Euler方法的绝对稳定条件为 . 112221hh (1)四阶标准R-K公式为： 第65页/共73页第六十五页，共73页。1! 41! 31! 211443322hh