数学椭圆复习学习教案

1、会计学1数学椭圆数学椭圆(tuyun)复习复习第一页，共54页。12222byax)0(ba12222byax)0, 0(bapxy22)0(p椭圆椭圆双曲线双曲线抛物线抛物线几何条件几何条件与两个定点的距与两个定点的距离的和等于定值离的和等于定值与两个定点的与两个定点的距离的差的绝距离的差的绝对值等于定值对值等于定值与一个定点和与一个定点和一条定直线的一条定直线的距离相等距离相等标准方程标准方程图形图形顶点坐标顶点坐标y xB1B2A1A2OyxoF2 2F1 1MOxyFMP), 0(),0 ,(ba)0 ,( a)0 , 0(第2页/共54页第二页，共54页。对称轴对称轴焦点坐标焦点坐标

2、离心率离心率准线方程准线方程渐近线方程渐近线方程y xB1B2A1A2OyxoF2 2F1 1MOxyFMPax2,长轴长轴by2,短轴长轴ax2,实轴长轴by2,虚轴长轴轴x)0 ,( c22bac)0 ,( c22bac)0 ,2(pace 10 e1e1ecax2cax22pxxaby第3页/共54页第三页，共54页。椭圆椭圆方程方程图形范围对称性顶点离心率12222byax12222bxay xyB2B1A1A2YXoF1F2bybaxa,ayabxb,关于(guny)x轴，y轴，原点 ,对称。关于(guny)x轴，y轴，原点 ,对称。), 0(),0 ,(bBaA)0 ,(), 0(

3、bBaA) 10(eace) 10(eacecax2准线方程第4页/共54页第四页，共54页。 oxy椭圆椭圆(tuyun)的的几何性质几何性质由由12222byax112222byax和即即byax和说明：椭圆位于说明：椭圆位于(wiy)直线直线X=a和和y=b所围成的所围成的矩形之中。矩形之中。22),0 ,(bacc焦点坐标cax2:准线方程10: e离心率第5页/共54页第五页，共54页。求椭圆求椭圆(tuyun) 16 x2 + 25y2 =400的长轴和短轴的长、的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标离心率、焦点和顶点坐标把已知方程化成把已知方程化成(hu chn)标准方程得标准

4、方程得1452222yx31625,4,5cba这里因此，椭圆的长轴长和短轴长分别是因此，椭圆的长轴长和短轴长分别是82,102ba离心率离心率6.053ace焦点坐标分别是焦点坐标分别是)0,3(),0,3(21FF四个顶点四个顶点(dngdin)坐标是坐标是)4,0(),4,0(),0,5(),0,5(2121BBAA解解:第6页/共54页第六页，共54页。.,252522焦点和顶点的坐标短轴的长的长轴和求椭圆 yx练习练习(linx):解解: . 62125, 1, 5cba, 12522 xy椭圆的标准方程为).0 , 1(),5, 0(),62, 0(顶点焦点F, 22.102ba短

5、轴长长轴长第7页/共54页第七页，共54页。P2Fx1FyO,21PFPF .452a由此得. 1204522yx所求椭圆的方程为例例2到两准线的距离若点且为两焦点PPFPFFF,2121.,126求椭圆的标准方程和分别为,为椭圆上一点轴上已知椭圆的焦点在Px解解:,2c焦距为, 1,2222byax设椭圆方程如图,12|,6|21acPFacPF由椭圆定义得,)2(|22212221cFFPFPF22222414436cacac.20. 5,21262222cabcca又第8页/共54页第八页，共54页。.,0916,056:32222线并说明它是什么样的曲求动圆圆心的轨迹方程内切同时与圆外

6、切一动圆与圆例xyxxyx配方分别将两已知圆的方程, 4322yx得.100y3x22xyNPMoR1o2o解法解法(ji f)一一:.,21OOR分别为两已知圆的圆心半径为,yxP设动圆的圆心如图有外切时与圆当圆,1OP, 2RPO1有内切时与圆当圆,2OP.R10PO2第9页/共54页第九页，共54页。得两边分别相加 ,12POPO21.12y3xy3x:2222即.123222xyx:,得两边分别平方将0108y4x322. 127y36x22如图中虚线所示为它的长轴和短轴长分别, 36 ,12,动圆圆心的轨迹是椭圆第10页/共54页第十页，共54页。:解法二同解法一得方程612,120

7、 , 3O0 , 3Oy, xP,21且的距离和为常数和到点动圆圆心由方程可知的轨迹为椭圆点P12a2 , 6c2:即6a , 3c.27936b2. 127y36x22. 36 ,12,长轴和短轴长分别为动圆圆心的轨迹是椭圆,12POPO21第11页/共54页第十一页，共54页。例题例题(lt):,)( 1212222是焦点上一点是椭圆设FFbabyaxP.:,22121bPFFPFPF的面积是求证若F2F1oPxy又|F1 F2| = 2c ，PF1 PF2， 如图,由椭圆(tuyun)的定义得|PF1|+|PF2| = 2a证明证明(zhngmng):由此得|PF1|2+|PF2|2+2

8、|PF1|PF2|=4a2故故|PF1| 2 + |PF2| 2 = | F1 F2| 2 = 4C2.2)(2|22221bcaPFPF221|2121bPFPFSPFF第12页/共54页第十二页，共54页。_,111_,111) 1 (2222的取值范围是则表示双曲线若方程的取值范围是则表示椭圆若方程kkykxkkykx练习练习(linx):_),2, 3(),1 ,6(,)2(21则椭圆的方程是焦点在坐标轴上已知椭圆的中心在原点PP_,149)3(212122横坐标的取值范围是点为钝角时当为其上的动点的焦点为椭圆PPFFPFFyx_,3,13664)4(21212122的面积为那么且焦点

9、上一点是椭圆PFFPFFFFyxP11k13922yx3121k看过程看过程(guchng)看过程看过程(guchng)第13页/共54页第十三页，共54页。第14页/共54页第十四页，共54页。12222byax2.几何几何(j h)性质：性质：(1)范围：范围：xa或或x-a关于x轴，y轴，原点对称。A1（-a，0），A2（a，0）(4)轴：实轴轴：实轴 A1A2 虚轴虚轴 B1B2(5)渐近线方程：渐近线方程：(6)离心率：ace xaby(2)对称轴：对称轴：(3)顶点：顶点：YXA1A2B1B2F2F1第15页/共54页第十五页，共54页。12222bxay2.几何几何(j h)性质

10、：性质：(1)范围：范围：Y a或或y-a关于x轴，y轴，原点对称。A1（0,-a），A2（0,a）(4)轴：实轴轴：实轴 A1A2 虚轴虚轴 B1B2(5)渐近线方程：渐近线方程：(6)离心率：ace xbay(2)对称轴：对称轴：(3)顶点：顶点：oYXB1B2A1A2F2F2第16页/共54页第十六页，共54页。例例1:求双曲线求双曲线14416922yx的实半轴长的实半轴长,虚半轴长虚半轴长,焦点坐标焦点坐标,离心率离心率.渐近线方程。渐近线方程。把方程把方程(fngchng)化为标准方程化为标准方程(fngchng)：1342222yx可得可得:实半轴长实半轴长a=453422c虚半

11、轴长虚半轴长b=3半焦距半焦距(jioj)焦点焦点(jiodin)坐标是坐标是(-5,0),(5,0)离心率离心率:45ace渐近线方程渐近线方程:xy43解解:第17页/共54页第十七页，共54页。方程方程 2a2b范围范围顶点顶点焦点焦点离心率离心率渐近线渐近线32822 yx81922yx-422yx1254922yx28424|x0 ,240 , 6423exy42618|x|3(3,0)0 ,10310ey=3x44|y|2(0,2)22, 0 2eyx1014|y|5(0,5)74, 0 574eyx57第18页/共54页第十八页，共54页。例例:已知双曲线的两个已知双曲线的两个(

12、lin )焦点的距离为焦点的距离为26，双曲线上，双曲线上一点到两个一点到两个(lin )焦点的距离之差的绝对值为焦点的距离之差的绝对值为24，求双，求双曲线的方程。曲线的方程。.242,262,21acxFF由题意知轴上在设焦点解：.251213,13,1222222acbca. 125144,22yxx双曲线的方程为轴上时故当焦点在. 125144,22xyy双曲线的方程为轴上时当焦点在第19页/共54页第十九页，共54页。的距离到两个定点若一个动点例)0 , 1 (),0 , 1(),(:21FFyxP.,并说明轨迹的形状的轨迹方程求点之差的绝对值为定值Pa解：, 2|21FF;),11

13、(0,2) 1 (轨迹是两条射线或轨迹方程是时当xxya; 0,0)2(21xFFa的垂直平分线轨迹是线段时当;, 1414,20) 3(2222轨迹是双曲线轨迹方程是时当ayaxa.,2)4(无轨迹时当 a第20页/共54页第二十页，共54页。.,1916:22倍它到右焦点的距离的两使它到左焦点的距离是上求一点在双曲线例Pyx解一,),(21为双曲线的左右焦点点的坐标为设FFyxP. |2|, 5, 3, 421PFPFcba又,45|516|516|21xPFxPF,45|516|2|516|45xx,548x由此得11953,y代入双曲线方程得).11953,548( ,的坐标为故点P,

14、516,xP准线方程为在双曲线的右支上第21页/共54页第二十一页，共54页。.,1916:22倍它到右焦点的距离的两使它到左焦点的距离是上求一点在双曲线例Pyx解二,),(21为双曲线的左右焦点点的坐标为设FFyxP. |2|, 5, 3, 421PFPFcba又,45|516|8|516|2xxPF,548x由此得11953,y代入双曲线方程得).11953,548( ,的坐标为故点P,516,xP准线方程为在双曲线的右支上, 8|21 PFPF又16.|PF| , 8|12PF第22页/共54页第二十二页，共54页。.,1916:22倍它到右焦点的距离的两使它到左焦点的距离是上求一点在双

15、曲线例Pyx解三,),(21为双曲线的左右焦点点的坐标为设FFyxP. |2|, 5, 3, 421PFPFcba又,548x11953y).11953,548( ,的坐标为故点P).0 , 5(),0 , 5(,21FFP 在双曲线的右支上,)5(2)5(2222yxyx2222224) 5( 4) 5(1916yxyxyx由第23页/共54页第二十三页，共54页。.,44) 1 , 8(P:22的方程求直线的中点是线段且两点相交于的直线与双曲线过点例ABABPBAyx解一 . 0152 yxAB的方程为直线)8(1xkyAB的方程为设直线得解方程组)8(1, 4422xkyyx, 22,1

16、62121kyyxx解得再由),(),(,2211yxByxABA的坐标为点, 04)81 ( 4)8k1 (8)4k1 (222kxkx第24页/共54页第二十四页，共54页。.,44) 1 , 8(P:22的方程求直线的中点是线段且两点相交于的直线与双曲线过点例ABABPBAyx解二： , 44, 44),(),(222221212211yxyxyxByxA则设得由方程组, 444422222121yxyx0)(4)(21212121yyyyxxxx. 2,16,) 1 , 8(2121yyxxABP的中点是段, 2)(421212121yyxxxxyy故直线故直线(zhxin)AB的斜率

17、为的斜率为2,)8(21xy其方程为 . 0152: yx即第25页/共54页第二十五页，共54页。.,44) 1 , 8(P:22的方程求直线的中点是线段且两点相交于的直线与双曲线过点例ABABPBAyx解三 )2 ,16(),(yxByxA的坐标为则点的坐标为设点, 是双曲线上的点BA, 4)2(4)16( , 442222yxyx得由方程组4)2(4)16(442222yxyx. 0152 yxAB的方程为直线第26页/共54页第二十六页，共54页。练习练习(linx)的两个焦点分别为设双曲线年广东省会考154)97.(122yx_,212121的面积为那么如果在这双曲线上点PFFPFP

18、FPFF12122,1169)01.(2PFFFyx若的两个焦点为双曲线年高考题_,2轴的距离为到则点xPPF_1412. 32222的焦距是双曲线mymx_,_,145. 422离心率为渐近线方程为方程为准线虚轴长为的实轴长为双曲线yx83,1916. 5212122PFFFFPyx且是双曲线的两个焦点上一点双曲线_21的面积是则PFF5516. 553e52435x. 39.552xy看过程看过程(guchng)第27页/共54页第二十七页，共54页。第28页/共54页第二十八页，共54页。 图图 形形 焦焦 点点 准准 线线 标准方程标准方程xxxxyyyyooooFFFF)0 ,2(p

19、F2px)0(22ppxy)0 ,2(pF )2, 0(pF)2, 0(pF2px 2py 2py)0(22ppxy)0(22ppyx)0(22ppyx第29页/共54页第二十九页，共54页。练习:已知抛物线的焦点为F（-2，0）准线(zhn xin)方程x=2,则抛物线方程为（ ）A. B. C. D.xy42xy82281yx 241yxxy82抛物线的方程为, 82 , 22,pp依题意得解:故选B.(如图)yox第30页/共54页第三十页，共54页。求它的标准方程经过点并且顶点在坐标原点轴对称已知抛物线关于例),32, 3(,:My解解:).0(22PPyx故可设抛物线方程为.43),

20、32(2)3(2PP.23,2yx故所求抛物线方程为).32, 3(,My顶点在原点且过点轴对称因抛物线关于,在抛物线上点M第31页/共54页第三十一页，共54页。., 5|),3,(,:求抛物线方程并且经过点轴上在抛物线的焦点例AFmAxF解解一一).0(2222PPxyPxy或设抛物线方程为,) 3,(在抛物线上点mA,2)3(2)3(22PmPm或,29Pm5|2|mPAF由抛物线的定义得. 91, 0910, 52922PPPPPP或解这个方程得即.182,22xyxy或故所求抛物线方程为第32页/共54页第三十二页，共54页。., 5|),3,(,:求抛物线方程并且经过点轴上在抛物线

21、的焦点例AFmAxF解解二二).0(2222PpxyPxy或设抛物线方程为),() 3,(如图在抛物线上点mAPm2)3(259)2(|)0 ,2(2pmAFpF得由焦点.182,22xyxy或故所求抛物线方程为oyxFA. 91259)2(292或得解方程组ppmpm第33页/共54页第三十三页，共54页。., 5|),3,(,:求抛物线方程并且经过点轴上在抛物线的焦点例AFmAxF解解三三).0(2222PPxyPxy或设抛物线方程为.182,22xyxy或故所求抛物线方程为oyxFAH4| , 5| , 3|,FHAFAHxAH则轴作如图. 42|, 42|pmpm或5|2|mPAF由抛

22、物线的定义得. 91,29|52|42|pPmpmpm或得解方程组第34页/共54页第三十四页，共54页。.:,)0(2:21212物线的准线相切为直径的圆和抛以求证两点交抛物线于任作一条直线的焦点过抛物线例PPPPlFPPxy证明证明(zhngmng):的作准线分别过的中点为设lPPPPPP2121,2211根据抛物线的定义得垂线段QPPQQP|,| |,|222111QPFPQPFP|,|22112121QPQPFPFPPP|,| ,/212211PPPPQPPQQP|,|21|)|(|21|212211PPQPQPPQ,21lPQPQP又三点共圆故.,21准线相切为直径的圆和抛物线的以所

23、以PP1P2PFOyx1Q2QQP第35页/共54页第三十五页，共54页。.:,22,2OBOABAxyxy求证点相交于与抛物线直线如图xyoAB:,x2y2xy:12得中代入将证法x22x204x6x2. 53,5321xx. 51,5121yy5351k,5351kOAOB1kkOAOB.OBOA 例例:第36页/共54页第三十六页，共54页。:1得方程由证法04x6x24xx, 6xx:2121由根与系数关系得2xy, 2xy22112x2xyy21214xx2xx212141244144xyxykk2211OAOB.OBOA 证法证法(zhn f)2:第37页/共54页第三十七页，共5

24、4页。.:,2:221212pyyyypxy求证两个交点的纵坐标为线相交抛物的焦点的一条直线和此过抛物线练习,0,2kpxkyk存在则过焦点的直线为设.21pykx即得将上式代入,px2y2.2pkyp2y2. 02,22kppyky去分母后整理得222121,pkkpyyyy则有设这个方程的两根为证明证明(zhngmng)一一2pxk方程为不存在则过焦点的直线若,22py 由此得, py221pyy第38页/共54页第三十八页，共54页。222121ppxxBBAABFAFyyAyoxABBF2222212221ppxxyy422121222221pxxxxxxpp22142122221py

25、ypxxp4yy,2211得设点yxByxA证明证明(zhngmng)二二:212221xxyy2221212,2pxypxy第39页/共54页第三十九页，共54页。AyoxABBF221pyy证明证明(zhngmng)三三:)( , 如图连结FBFAFBFA ),2( ),2( 21ypBypA点点,22011pyppykFA,22022pyppykFB,1得由FBFAkk第40页/共54页第四十页，共54页。;. 2221pyy两交点纵坐标有抛物线焦点抛物线焦点(jiodin)弦的几何性质弦的几何性质:).,(),(2211yxByxAAB交抛物线于点过焦点的弦1.当当AB垂直于对称轴时垂

26、直于对称轴时,称弦称弦AB为通径为通径,);,2(),2(PPBPPA交点坐标|AB|=2P,;4. 3221pxx两交点横坐标有; ,. 4FBFAlBBlAA则如图AyoxABBFlPH|;|21,. 5ABPHHlPHABP则于中点为如图.)()(|. 6212212yyxxAB弦长第41页/共54页第四十一页，共54页。._6. 12准线方程是的焦点坐标是抛物线xy _, ,104. 22的坐标是点则的距离是到焦点上一点抛物线PFPxy ).9 , 6)();6 , 9)();6, 9)();9 , 6)(DCBA_, 5), 3(,. 3则标准方程是焦点的距离为到其上点轴上已知抛物线

27、的焦点在mPx_,) 1 , 4(,6. 42程是则这条弦所在的直线方被平分使它恰在点引一条弦过点已知抛物线PPxy 练习练习(linx)23x)0 ,23(xy820113 yxB看答案看答案(d n)第42页/共54页第四十二页，共54页。_,) 1 , 4(,6. 42程是则这条弦所在的直线方被平分使它恰在点引一条弦过点已知抛物线PPxy 0113 yx解一解一:AP(4,1)oyxBl如图如图,设所求直线设所求直线(zhxin)方程为方程为y-1=k(x-4), 024666)4(122kykyxyxky由. 3, 26, 122121kkyyyy又故所求直线故所求直线(zhxin)方

28、程为方程为y - 1 = 3(x-4) 即即 3x - y - 11 = 0.解二解二:如图如图,设所求直线设所求直线(zhxin)方程为方程为y-1=k(x-4)66),(),(21221212122211yyyyxxyykyxByxA则点. 36, 22121yykyy又即得所求直线方程为即得所求直线方程为第43页/共54页第四十三页，共54页。_,) 1 , 4(,6. 42程是则这条弦所在的直线方被平分使它恰在点引一条弦过点已知抛物线PPxy 0113 yx解三解三:AP(4,1)oyxBl如图如图,设所求直线设所求直线(zhxin)方程为方程为y-1=k(x-4),66222121x

29、yxy由解四解四:),(),(2211yxByxA点. 3, 2121221xxyykyy又即得所求直线即得所求直线(zhxin)方程为方程为)(6)(121212xxyyyy,48)(6212221xxyy,9121,222121xxyy由由(三三)94)(4)()(1221212212212122xxxxyyyyxxyykK=3或或-3舍去舍去-3得得k=3第44页/共54页第四十四页，共54页。_,) 1 , 4(,6. 42程是则这条弦所在的直线方被平分使它恰在点引一条弦过点已知抛物线PPxy 0113 yx解五解五:AP(4,1)oyxBl设点设点 因因P(4,1)是是AB的中点的中

30、点,),(yxA则点则点B的坐标为的坐标为)2 ,8(yx)8(6)2(622xyxy由Y= 3x - 11解六解六:),2 ,8(),(yxByxA得点设点,211|,23PKPx到准线的距离为故抛物线准线方程为11)2()238()23(2222yxyxHGK|2|PKBGAHBFAF由THE END第45页/共54页第四十五页，共54页。F2F1oPxy_,149)3(212122横坐标的取值范围是点为钝角时当为其上的动点的焦点为椭圆PPFFPFFyx解法解法(ji f)一一|21412121yFFSPFF),(11yxP的坐标为设点54|1y154921x5353x解法解法(ji f)

31、二二),(yxP的坐标为设点21PFPF 又155xyxy522 yx.5314952222即得结果得解方程组xyxyx第46页/共54页第四十六页，共54页。_,149)3(212122横坐标的取值范围是点为钝角时当为其上的动点的焦点为椭圆PPFFPFFyx解法解法(ji f)三三),(,yxP的坐标为设点如图 返回返回(fnhu)F2F1oPxyH)(211xcaacPFacPHPF由,3531xPF,353)353(62xxPF由余弦由余弦(yxin)定理得定理得:0)353)(353 ( 2)52()353 ()353 (cos22221xxxxPFF5353x第47页/共54页第四十七页，共54页。_,3,13664)4(21212122的面积为那么且焦点上一点是椭圆PFFPFFFFyxP解一解一:723664, 6, 8cba.16|,21mPFmPF则设如图oF2F1PxyM021260sin)16(|,mMFMPFMF则于作).1