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文档简介
1、2.3 调和函数定义定义1 1 内的调和函数：为区域实函数Dyxu),(内有二阶连续偏导数，在区域Dyxu),(0yyxxuuu且满足(称为调和方程或Laplace方程) 定理定理1 1： 内的解析函数是区域Dyxivyxuzf),(),()(内的调和函数是区域与Dvu证明： 内解析在Dzf)(,xyxyuvvu 且u, v有任意阶连续偏导数 xyyyxyxxvuvu,0.xxyyuu同样可得 0.xxyyvv注：逆定理显然不成立，即 对区域D内的任意两个调和函数 u, v, ivuzf)(不一定是解析函数 .例如： 2222f zzxyi xy是解析函数， 222fzxyi xy不是解析函数
2、。定义定义2 2 若u与v是区域D内的调和函数且满足C-R程， 则称v为u的共轭调和函数 .定理定理2 2： ( )( , )( , )f zu x yiv x y函数在区域D内解析 v为u的共轭调和函数 .解析函数的虚部为实部的共轭调和数已知共轭调和函数中的一个，可利用 C-R 方程求得另一个，从而构成一个解析函数。例题1 已知一调和函数22,u x yxyxy求一解析函数f(z)=u+iv解：2,2xyuxy uyx 由 C-R 方程22yxvuxyvxy dy 2122xyyc x 2,xvycx 22xyvuyc xyx 由 21,2c xxc 2211,2.22v x yyxyxc所以于是（法一） 222211222fzxyxyiyxyxc即为所求解析函数。是任意实常数。这里 ciczizf,)2(21)(2（法三） 22xxxyfzuivuiuxyiyx222xi yyixxiyi xiy2i z 21.2ifzzc注意到u(x,y)不包含任意常数,所以c为纯虚数,即c=ic1,这里c1是任意实数.（法三） 22xxxyfzuivuiuxyiyx 21.2ifzzc有关。仅与方程zyxivyxuzfzfRC),(),()(, 0).()0()(, 0 xfixfzfixz则令.2)(,0ix
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