材料力学 弯曲内力PPT课件

1、第四章第四章 弯曲内力弯曲内力第一节第一节 对称弯曲的概念及梁的计算简图对称弯曲的概念及梁的计算简图第二节第二节 梁的剪力与弯矩梁的剪力与弯矩第三节第三节 剪力方程和弯矩方程、剪力图与弯矩图剪力方程和弯矩方程、剪力图与弯矩图 第四节第四节 弯矩、剪力与分布荷载集度间的关系及其应用弯矩、剪力与分布荷载集度间的关系及其应用第五节第五节 按叠加原理作弯矩图按叠加原理作弯矩图一一、弯曲的概念、弯曲的概念 1、弯曲、弯曲：在垂直于杆轴线的平衡力系的作用下，杆的轴线在变形后成：在垂直于杆轴线的平衡力系的作用下，杆的轴线在变形后成为曲线的变形形式。为曲线的变形形式。 2、梁、梁：主要承受垂直于轴线荷载的杆件

2、主要承受垂直于轴线荷载的杆件 轴线是直线的称为轴线是直线的称为直梁直梁，轴线是曲线的称为，轴线是曲线的称为曲梁曲梁。 有对称平面的梁称为有对称平面的梁称为对称梁对称梁，没有对称平面的梁称为，没有对称平面的梁称为非对称梁非对称梁 3、平面弯曲（对称弯曲）、平面弯曲（对称弯曲）：若梁上所有外力都作用在纵向对称面内，梁：若梁上所有外力都作用在纵向对称面内，梁变形后轴线形成的曲线也在该平面内的弯曲。变形后轴线形成的曲线也在该平面内的弯曲。 4、非对称弯曲、非对称弯曲：若梁不具有纵向对称面，或梁有纵向对称面上但外力：若梁不具有纵向对称面，或梁有纵向对称面上但外力并不作用在纵向对称面内的弯曲。并不作用在纵

3、向对称面内的弯曲。弯曲的概念及梁的计算简图弯曲的概念及梁的计算简图FFsFAFB纵向对称面纵向对称面二、二、 梁的荷载及计算简图梁的荷载及计算简图 研究对象研究对象：等截面的直梁，且外力作用在梁对称面内的平：等截面的直梁，且外力作用在梁对称面内的平面力系。面力系。 1.梁的梁的计算简图计算简图：梁轴线代替梁，将荷载和支座加到轴：梁轴线代替梁，将荷载和支座加到轴线上。线上。 2.梁的支座简化梁的支座简化(平面力系平面力系)：a)活动铰支座活动铰支座b)固定铰支座固定铰支座c)固定端固定端RFRyFRxFRyFRxFRM 3.静定梁静定梁仅用静力平衡方程即可求得反力的梁仅用静力平衡方程即可求得反力

4、的梁(a)悬臂梁悬臂梁(b)简支梁简支梁(c)外伸梁外伸梁 4.作用在梁上的荷载可分为作用在梁上的荷载可分为:(a)集中荷载集中荷载F1集中力集中力M集中力偶集中力偶(b)分布荷载分布荷载q(x)任意分布荷载任意分布荷载q均布荷载均布荷载梁的剪力与弯矩梁的剪力与弯矩一一、截面法求内力：、截面法求内力：切取、替代、平衡切取、替代、平衡FABabASSAy0:0FFFFFbFMbFMMAAC0:0bAFSFMCFSFMBFCABSBSy0:0FFFFFFFFbFblFbFMblFbFMMABBC0:0 剪力剪力平行于横截面的内力，符号：，正负号规定：使平行于横截面的内力，符号：，正负号规定：使梁有

5、左上右下错动趋势的剪力为正，反之为负梁有左上右下错动趋势的剪力为正，反之为负(左截面上的剪左截面上的剪力向上为正，右截面上的剪力向下为正力向上为正，右截面上的剪力向下为正)； MMMMFSFSFSFS 弯矩弯矩绕截面转动的内力，符号：绕截面转动的内力，符号：M，正负号规定：使，正负号规定：使梁变形呈上凹下凸的弯矩为正，反之为负梁变形呈上凹下凸的弯矩为正，反之为负(梁上压下拉的弯矩梁上压下拉的弯矩为正为正)。剪力为正剪力为正剪力为负剪力为负弯矩为正弯矩为正弯矩为负弯矩为负二、平面弯曲梁横截面上的内力：二、平面弯曲梁横截面上的内力：剪力符号规定：剪力符号规定：弯矩符号规定：弯矩符号规定：左上右下为

6、正左上右下为正下侧受拉下侧受拉(上凹下凸、左顺右逆上凹下凸、左顺右逆)为正为正或使该段梁顺或使该段梁顺时针转动为正时针转动为正MMMMFsFsFsFs对未知的剪力、弯矩按正方向设定对未知的剪力、弯矩按正方向设定求图示梁求图示梁1-11-1、2-22-2、3-33-3、4-44-4截面上的截面上的剪力和弯矩剪力和弯矩.例例1BAP=q11223344q解：由得MB0RqaA54由得MA0RqaB74MRaqaA1254M2MRaqa aqaA322322454qaM BAP=qFs3M3AP=qFs2M2M1Fs1ARAFs4M4qRBFs1 RFsaA54 Fs2RqaFsaA4Fs3Fs4q

7、aRqaB34 BA P=qq1 21 23344RBRARARA)0(kN29030kN1502335 .460y的正误或校核求也可由BBABBAAABFFMFqFFFFFqFFMmkN26)5 . 12(2kN7A1A1SFFMFFFmkN3025 . 15 . 15 . 1kN115 . 1B2B2SqFMFqF例例2 2 求下图所示简支梁求下图所示简支梁1-11-1与与2-22-2截面的剪力和弯矩。截面的剪力和弯矩。2112m21.5mq=12kN/m3m1.5m1.5mF=8kNABFAFB解：解： 1、求支反力、求支反力2、计算、计算1-1截面的内力截面的内力3、计算、计算2-2截

8、面的内力截面的内力F=8kNFAS1F1MFBq=12kN/mS2F2M 通过上述计算可以看出，截面上通过上述计算可以看出，截面上的内力与该截面一侧杆上的外力相平的内力与该截面一侧杆上的外力相平衡，因而可以直接通过一侧杆段上的衡，因而可以直接通过一侧杆段上的外力直接求得截面上的内力外力直接求得截面上的内力外力外力简化法。简化法。符号如何确定？符号如何确定？Mll Mll l:力的作用线至所求截面的距离力的作用线至所求截面的距离MFsMFsmmFsFs左段右段1 11 12 22 21.5m1.5m1.5m3m2mP=8kNFs=12kN/m再作例2： 求图示简支梁求图示简支梁1-11-1、2-

9、22-2截面的剪力和弯矩截面的剪力和弯矩. .ABRA RB 解：由得MB0RA =15kN由得MA0RB =29kN请思考：请思考： R RB B还可如何简便算出？还可如何简便算出？1 11 12 22 21.5m1.5m1.5m3m2mP=8kNFs=12kN/mABRA RB RA =15kNRB =29kN根据根据1-1截面截面左左侧的外力计算侧的外力计算FS1 、 M1 FS1=+RA-P =15-8 =+7kN M1 =+RA2-P(2-1.5) =152-80.5 =+26 kNm根据根据1-1截面截面右右侧的外力计算侧的外力计算FS1 、 M1FS1=+(Fs3)-RB =12

10、3-29 =+7kNM1 =-(Fs3)2.5+RB4 =-(123)2.5+294 =+26 kNm1 11 12 22 21.5m1.5m1.5m3m2mP=8kNFs=12kN/mABRA RB RA =15kNRB =29kN根据根据2-2截面截面右右侧的外力计算侧的外力计算FS2 、 M2FS2 =+(Fs1.5)-RB =121.5-29 =-11kNM2 =-(Fs1.5)1.5/2+RB1.5 =-(121.5)1.5/2+291.5 = +30 kNm根据根据2-22-2截面左侧外力计算截面左侧外力计算FS2、M2 , , 请自己完成请自己完成! !FABaxASSAy0:0

11、FFFFFxFMxFMMAAC0:0 xAFSFMCFSFMBFCABSBSy0:0FFFFFFFFxFxlFxFMxlFxFMMABBC0:0若将前面例题中确定尺寸b改为变量xbFlABFslABFabClABabClABM试列出下列各梁试列出下列各梁ABAB的剪力方程和弯矩方程的剪力方程和弯矩方程, , 作剪力图和弯矩图。作剪力图和弯矩图。xxxxx)()(SSxMMxFF1.剪力、弯矩方程剪力、弯矩方程： 2.剪力、弯矩图剪力、弯矩图：剪力、弯矩方程的图形，横轴沿轴线：剪力、弯矩方程的图形，横轴沿轴线方向表示截面的位置，纵轴为内力的大小。方向表示截面的位置，纵轴为内力的大小。例例1 作图

12、示悬臂梁作图示悬臂梁AB的剪力图和弯矩图。的剪力图和弯矩图。剪力方程和弯矩方程、剪力图与弯矩图剪力方程和弯矩方程、剪力图与弯矩图 FxxMFxFs)()(剪力、弯矩方程：xFsFFlMFlMFFsmaxmax|FlABFsM2qlFFBA由对称性知：222)(2)(22AAqxqLxqxxFxMqxqlqxFxFs822maxmaxqlMqlFs例例2 图示简支梁受均布荷载图示简支梁受均布荷载Fs的作用，作该梁的剪的作用，作该梁的剪力图和弯矩图。力图和弯矩图。qlABx解：解： 1、求支反力、求支反力FAFB2、建立剪力方程和弯矩方程、建立剪力方程和弯矩方程2/ql2/ql8/2ql 例例3

13、在图示简支梁在图示简支梁AB的的C点处作用一集中力点处作用一集中力F，作，作该梁的剪力图和弯矩图。该梁的剪力图和弯矩图。 由剪力、弯矩图知：由剪力、弯矩图知：在集中力作用点，弯矩图发生转折，剪在集中力作用点，弯矩图发生转折，剪力图发生突变，其突变值等于集中力的大小，从左向右作图，突力图发生突变，其突变值等于集中力的大小，从左向右作图，突变方向沿集中力作用的方向变方向沿集中力作用的方向。FabClAB解：解： 1、求支反力、求支反力lFaFlFbFBA；2、建立剪力方程和弯矩方程、建立剪力方程和弯矩方程axlFbxxFxMaxlFbFxFAC段s0)(0)(:AAxFAFB lxaxllFaxl

14、FxMlxalFaFxFCB段sBB)()(:FslFb/lFa/MlFab/ 由剪力、弯矩图知：由剪力、弯矩图知：在集中力偶作用点，弯矩图发生突变，在集中力偶作用点，弯矩图发生突变，其突变值为集中力偶的大小。其突变值为集中力偶的大小。 例例4 在图示简支梁在图示简支梁AB的的C点处作用一集中力偶点处作用一集中力偶M，作该梁的剪力图和弯矩图。，作该梁的剪力图和弯矩图。abClABM解：解： 1、求支反力、求支反力lMFlMFBA；2、建立剪力方程和弯矩方程、建立剪力方程和弯矩方程axlMxxFxMaxlMFxFAC段s0)(0)(:AAxFAFB lxaxllMxlFxMlxalMFxFCB段

15、sBB)()(:FslM /MlMa/lMb/xFsFFlMFlABabClABMxFAFBFslM /MlMa /lMb /FabClABxFAFBFslFb /lFa /MlFab /FsMFslABxFAFB2/ql2/ql8/2ql机械机械MFSM土木土木由以上例题可总结以下几条：由以上例题可总结以下几条：1 1、在集中力作用点，剪力图发生突变，弯矩图发生转折，其、在集中力作用点，剪力图发生突变，弯矩图发生转折，其突变值等于集中力的大小，从左向右作图，突变方向沿集突变值等于集中力的大小，从左向右作图，突变方向沿集中力作用的方向。中力作用的方向。2 2、在集中力偶作用点，剪力图无变化，弯

16、矩图发生突变，其、在集中力偶作用点，剪力图无变化，弯矩图发生突变，其突变值为集中力偶的大小。突变值为集中力偶的大小。3 3、无载荷的梁段，剪力图为一平行于轴线的直线，弯矩图为、无载荷的梁段，剪力图为一平行于轴线的直线，弯矩图为斜直线。斜直线。4 4、作用着均布载荷的梁段，剪力图为斜直线，弯矩图为二次、作用着均布载荷的梁段，剪力图为斜直线，弯矩图为二次抛物线。抛物线。是普遍规律吗？例例 PBALx简支梁受移动荷载简支梁受移动荷载P作用，试求梁的最作用，试求梁的最大弯矩为极大时荷载大弯矩为极大时荷载P的位置的位置. .解：荷载荷载P移至移至x截面处，截面处，Mmax (x)=Px(L-x)/L位置

17、：位置：x截面截面令令 dMc dx=0 x=L/2时，时， Mmax =P L/4跨中为最不利位置ARLxLPRA例例作图示平面刚架的内力图作图示平面刚架的内力图. .BCA20kN10kN3m2m解：xBC段段FN =0FS =10kNM= -10 x kNm (0 x2)BA段段xFN =-10kNFS =20kNM= -20-20 x kNm (0 x3)一般将竖直杆的下端看作左端一般将竖直杆的下端看作左端10kN轴力图轴力图剪力图剪力图10kN 20kN20kNm弯矩图弯矩图20kNm80kNm注意： 轴力轴力 正值画在外侧，负值画在内侧。正值画在外侧，负值画在内侧。 剪力剪力 正值

18、画在外侧，负值画在内侧。正值画在外侧，负值画在内侧。 弯矩弯矩 本教材画在受压侧，不标注正负。本教材画在受压侧，不标注正负。 一般机械类教材弯矩图画在受压侧，一般机械类教材弯矩图画在受压侧，土木类教土木类教材弯矩图画在受拉侧材弯矩图画在受拉侧。一一、剪力、弯矩和分布载荷间的微分关系、剪力、弯矩和分布载荷间的微分关系 1.假设：规定假设：规定Fs(x)向上为正，向下为负；任取微段，认为向上为正，向下为负；任取微段，认为其上其上Fs(x)为常数，无集中力、集中力偶；内力作正向假设。为常数，无集中力、集中力偶；内力作正向假设。 2.微分关系推导：微分关系推导：弯矩、剪力与分布载荷集度间的关系弯矩、剪

19、力与分布载荷集度间的关系yxMFq(x)ABxdxq(x)dxOM(x)Fs(x)M(x)+dM(x)Fs(x)+dFs(x)(d)(d0d)()(d)()(0 xqxxFxxqxFxFxFFssssy：)(d)(d0d)(21d)()()(d)(02xFxxMxxqxxFxMxMxMMssO：)(d)(d22xqxxM载荷集度、剪力和弯矩的微分关系载荷集度、剪力和弯矩的微分关系: :d)d( )Fs(xxq xd( )d)M xxFs(xd( )dd)d( )22M xxFs(xxq x1.微分关系的几何意义：微分关系的几何意义： 剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小；弯矩图上某

20、点剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小；弯矩图上某点处的切线斜率等于该点剪力的大小。处的切线斜率等于该点剪力的大小。 2.各种荷载下剪力图与弯矩图的形态各种荷载下剪力图与弯矩图的形态：二二、讨论微分关系的几何意义、讨论微分关系的几何意义外力情况外力情况q0C0C0有有极小值极小值)(d)(d22xqxxM当0有有极大值极大值注意坐标方向注意坐标方向不同，曲线开不同，曲线开口方向不同口方向不同FsFs0Fs0Fs0Fs0M由：由：EDxCxxMDCxxFs(xxM221)()d)(d求出令0)d)(dxFs(xxM各种形式荷载作用下的剪力、弯矩图各种形式荷载作用下的剪力、弯矩图载荷情

21、况剪力图 弯矩图无载荷（q=0）均布载荷（q=c） P mCC尖角尖角突变突变PC无变化无变化突变突变mFs0Fs0Fs0Fs0Fs0Fs0Fs0Fs0突变突变1.先利用计算法则计算分段点（控制点）先利用计算法则计算分段点（控制点）FS、M值；值；2.利用微分关系判断并画出分段点之间的利用微分关系判断并画出分段点之间的FS、M图。图。 实例：实例：利用微分关系作剪力弯矩图利用微分关系作剪力弯矩图例例六六 外伸梁外伸梁AB承受荷载如图所示，作该梁的承受荷载如图所示，作该梁的FS-M图。图。解：解： 1、求支反力、求支反力kN8 . 3kN2 . 7BAFF2、判断各段、判断各段FS、M图形状：图

22、形状：CA和和DB段：段：Fs=0，Fs图为水平线，图为水平线， M图为斜直线。图为斜直线。AD段：段：Fs0， Fs 图为向下斜直线，图为向下斜直线， M图为上凸抛物线图为上凸抛物线。DABm1m4m1kN3kN/m2mkN6C3、先确定各分段点的先确定各分段点的FS 、M值，用相应形状的线条连接。值，用相应形状的线条连接。Fs+_3(kN)4.23.8Ex=2.1mM(kNm)3.81.412.2_+FAFB3例例l2l2qMql21638qlql838qlql891282qlFs例例aqQMqPqaaaqa2qaqa22/qa22/qaqaqa一般作剪力图一般作剪力图时，从左往右，时，从

23、左往右，随力的方向走。随力的方向走。Fs例例MamPaaPPPaA端约束力端约束力= =PABB端约束力端约束力= =0Fs例例QMamPaaaPPPP Fs例例qa3qa2qa22qa22qa22qaq2qaa2aaMqa5qaACBDFs例例qa22/qaaMqqa / 2qa / 2qaqa / 2qa / 2qa22/qa28/Fs例例qa22/qaaMaqaqaqaqaqaqa22/qa22/Fs例例qaaM2qa74qa54qa74qa34qa54qa /542qa /Fs例例综综合合应应用用题题4m4m4m3mABCDEM1P2Pq外伸梁外伸梁kNmMmKNqKNPP101221

24、解：解：一、求支反力一、求支反力ARBRkNRkNRBA57二、作剪力图二、作剪力图Fs7331kNqRFskNRFsACACAA347:斜直线段kNPqRFskNPqRFsCDADAC3814:11斜直线段4m4m4m3mABCDEM1P2PqARBRFs7313BD：水平直线水平直线BE：水平直线：水平直线2三、作弯矩图三、作弯矩图M2020.516xkNmPRMkNmqqxxRMADA16441885.2021maxkNqRMMACACA202440:抛物线 mkNFsB3kNPFsB22mqPRxPqxRxFs(CDAA50:11令抛物线4m4m4m3mABCDEM1P2PqARBRF

25、s73132M2020.51666xkNmMkNmMMMBDBDD63261016:斜直线0:EMBE斜直线aaaqqa /42FSqa /42qa/4Mxx3qa/4qa /42qa /322ABC D44432qamqaRqaRDDBBRDRDmx?xaaqRxB47E3283434343422qaaqaaqaqaME 例例 绘制刚架内力图绘制刚架内力图解：一）求支反力：解：一）求支反力：Fs=1kN/mAB8kN1kNCDE4m1m2m3mRAXRAYRB0AM8 14 2 153BRkN kNRRqXAxAx3014:008:0BAyRRYkNRAy3二）分析内力：二）分析内力：1）B

26、C段段：（：（0 x1 3）111()1()1sFxkNMxx8kNRAYFs=1kN/mABCDE4m1m2m3mRAXRB1kN1kNRBx1)(1xMFN12）DC段段：（：（0 x2 3）分段列出）分段列出EC段段:（0 x2 2）)(2xMX2RB =5kN3531)(5)12222N2xxxRxMkNRxFs(kNFBB)2xFs()1xFs(kNRFB5N1轴力N2F剪力剪力弯矩弯矩Fs=1kN/mAB8kN1kNCDE4m1m2m3mRAXRAYRBED段段:（2 x2 3）X2X3)(3xM3）AD段段：（：（0 x3 4）RB =5kNRAX = -3kN， RAY =3k

27、N13331)2(8)(58);122222N2xxxxRxMkNRxFs(FBB23323323333N321321)(31)3()3xxFsxxRxMxxFsxRxFs(kNRFAxAxAy)3xFs(N3FFs=1kN/mAB8kN1kNCDE4m1m2m3mRAXRAYRBABDEC1 1）轴力图）轴力图三、作内力图三、作内力图5kN1kN3kNkNFADkNFDCkNFBC3:1:5:N3N2N1杆杆杆Fs=1kN/mAB8kN1kNCDE4m1m2m3mRAXRAYRBABDEC2 2）剪力图）剪力图: :用简易法：取控制点用简易法：取控制点1kNBC段段：取一点（水平线）：取一点

28、（水平线）DC段：取两点（段：取两点（l）5kN3kNDA段段：取两点（斜直线）：取两点（斜直线）1kN3kNRB =5kNRAX = -3kN， RAY =3kNFs=1kN/mAB8kN1kNCDE4m1m2m3mRAXRAYRB3 3）弯矩图）弯矩图用简易法：取控制点用简易法：取控制点BC段段：取两点（斜直线）：取两点（斜直线）DC段：取两点（水平线）段：取两点（水平线）DA段段：取三点（抛物线）：取三点（抛物线）ABDEC0kNm3kNm3kNm7kNm4kNm4.5kNm3mABDEC1kN5kN3kN1kN3kN4kNmRB =5kNRAX = -3kN， RAY =3kNABDE

29、C1kN5kN3kN1kN3kNABDECABDEC0kNm3kNm3kNm4.5kNm7kNm4kNm3m5kN1kN3kN当变形为微小时，可采用变当变形为微小时，可采用变形前尺寸进行计算。形前尺寸进行计算。叠加原理叠加原理：当梁在各项荷载作用下：当梁在各项荷载作用下某一横截面上的弯矩等于各荷载单某一横截面上的弯矩等于各荷载单独作用下同一横截面上的弯矩的代独作用下同一横截面上的弯矩的代数和。数和。叠加法作弯矩图叠加法作弯矩图： 设简支梁同时承受跨间荷载设简支梁同时承受跨间荷载q与与端部力矩端部力矩MA、MB的作用。其弯矩的作用。其弯矩图可由简支梁受端部力矩作用下的图可由简支梁受端部力矩作用下的直线弯矩图与跨间荷载单独作用下直线弯矩图与跨间荷载单独作用下简支梁弯矩图叠加得到。即：简支梁弯矩图叠加得到。即：按叠加原理作弯矩图按叠加原理作弯矩图 xMxMxM21BMBAqMAlB+ 注意注意：这里所说的弯矩叠加，是纵坐标的叠加而不是指图形的拚合。：这里所说的弯矩叠加，是纵坐标的叠加而不是指图形的拚合。图中的纵坐标都是垂直于杆轴线图中的纵坐标都是垂直于杆轴线ABAB的。的。 （1）选定外力的不连续点）选定外力的不连续点(如集中力、如集中力、集中力偶的作用点，分布力的起点和终集中力偶的作用点，分布力的起点和终点等点等)为控制