概率论与数理统计期末考试复习资料

1、第1章随机事件及其概率（1）排列组合公式P：=从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。（m一n）!cm=“唧、从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。n!（m-n）!加法和乘法原埋加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m#7法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n种方法来完成。乘法原埋（两个步骤分别不能完成这件事）：记n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m#方法完成，第二个步骤可由n种方法来完成，则这件事可由铲n种方法来完成。一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个）顺序问题（4）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条

2、件卜可以重复进行，而每次试验的可能结果不止个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件,它具有如下性质：每进行一次试验，必须发生且只能发生这组中的个事件；任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。基本事件的全体，称为试验的样本空间，肋表示。一个事件就是由c中的部分点（基本事件）组成的集合。通常用大写字母A,B,C,表示事件，它们是c的子集。G为必然事件，？为不可能事件。不可能事件（?）的概率为零，而概率为

3、零的事件不一定是不可能事件;同埋，必然事件（Q）的概率为1,而概率为1的事件也不一定是必然事件。（6）事件的关系与运算关系：如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必后事件B发生）：AUB如果同时有A=B,BnA,则称事件A与事件B等价，或称A等于B:A=BA、B中至少有一个发生的事件：AUB,或者A+R属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B,也可表示为A-A域者AB,它表示A发生而B不发生的事件。AB同时发生：AQB,或者ABAQB?则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。C-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件

4、，记为周。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。运算：结合率：A（BC）=（AB）CAJ（BUC）=（AUB）UC分配率：(AB)UC=(AJC)A(BUC)(AUB)AC=(AC)J(BC)德摩根率：nAi=UAiA=AnB，A7=AUBi1LI设为样本空间：a为事件，对每一个事件A都有一个实数P(A)：若满足下列三个条件：(7)概率的公理化定义1 0WP(A)W,2 P(Q)=13 对于两两互不相容的事伍i,A2,有oO、oOPUAi=£P(Ai)(i4Ji4常称为可列(完全)可加性。则称P(A)为事件A的概率。-_1C=也1,色2n)一12P(0i)=P®2)P(

5、71;n)=。(8)古典概型n设任一事件A,它是由明产28m组成的，则有P(AA'Ci)(-2)(m)=P(-l)P(2)P(m)m_A所包含的基本事件数基本事件总数几何概型若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。对任一事件A,P(A)=器'其中L为几何度量(长度、面积、体积)b(10)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)加法公当P(AB)=0时，P(A+B)=P(A)+P(B)式(11)减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)当B=A时，P(A-B)=P(A)-P(

6、B)当A=Q日qP(B)=1-P(B)定义设A、B是两个事件，且P(A)>0,则称(12)条件概率P(AB)P(A)为事件A发生条件下，事件B发生的条件概率，记为P(B/A)=P落。条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。例如P(Q/B)=1=P(B/A)=1-P(B/A)(13)乘法公式：P(AB)=P(A)P(B/A)乘法公更一般地，对事件Al,AA,若P(AAr-A-1)>0,则有式P(A1A2An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(An|A1A2An1)。两个事件的独立性B是相互独立设事件A、B满足P(AB)=P(A)P(B),则称事件A、(

7、14)的。独立性若事件A、B相互独立，且P(A)0,则有P(B|A)=P(AB)=P(A)P(B)=P(B)名事件A、b相互独立，则口传到a与B、AB、A与B也都相互独立。必然事件c和不可能事件？与任何事件都相互独立。?与任何事件都互斥。多个事件的独立性设AB0三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B)P(BC)=P(B)P(C)P(CA)=P(C)P(A)并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互独立。对于n个事件类似。(15)全概公式设事件Bl,B2,，Bn满足1Bi,B2，Bn两两互不相容,P(Bi)A0(i=1,2,，n),n2AuUBi,

8、L1则有P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(Bn)P(A|Bn)。(16)贝叶斯公式设事件B1,B2,，Bn及A满足1B1,B2,，Bn两两互不相容,P(Bi)>0,i=1,2,，n,n2AuUBi,P(A)>0,i4则P(B/A)旧尸小)P(Bi/A)-n,i=1,2,-no工P(Bj)P(A/Bj)jm此公式即为贝叶斯公式。P(B),(i=1,2,，n),通常叫先验概率。P(Bi/A),(i=1,2,，n),通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。(17)伯努利概型我们作了n次试验，且满足每次试验只有两种可

9、能结果，a发生或A不发生；n次试验是重复进行的，即a发生的概率每次均一样；每次试验是独立的，即每次试验A发生与否与其他次试验a发生与否是互不影响的。这种试验称为伯努利概型，或称为n重伯努利试验。用P表示每次试验A发生的概率，则A发生的概率为1-p=q，用Pn(k)表示n重伯努利试验中a出现k(0k<n)次的概率，Pn(k)=Cnpkqn”,k=0,1,2,，n。第二章随机变量及其分布(1)离散型随机变量的分布律设离散型随机变量X的可能取值为X(k=1,2,)且取各个值的概率，即事件(X=X)的概率为P(X=x)=pk,k=1,2，则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。有时也用分布

10、列的形式给出：X,x1,x2，xk,|。P(X=xk)p1,p2,，pk,显然分布律应满足卜列条件：qQ(1)pk>0,k=1,2,，(2)£pk=1。连续型随机变量的分布密度设F(x)是随机变量X的分布函数，若存在非贝函数f(x),对任意实数X,有xF(x)=ff(x)dx，则称X为连续型随机变量。f(x)称为X的概率将度函数或省度函数，简称概率密度。密度函数具有卜面4个性质：1 f(x)之0。2 f(x)dx=1。Lao离散与连续型随机变量的关系P(X=x)上P(x<X<x+dx)归f(x)dx积分元f(x)dx在连续型随机变量理论中所起的作用与P(X=xk)=

11、pk在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。分布函数设X为随机变量，x是任意实数，则函数F(x)=P(X<x)称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。P(a<XMb)=F(b)-F(a)可以得到X落入区间(a,b的概率。分布函数F(x)表示随机变量落入区间(-s,x内的概率。分布函数具有如下性质：1 0<F(x)<1,_g<xM十*;2 F(x)是单调不减的函数，即x1Mx2时，有F(x1)WF(x2)；3 F(-«)=limF(x)=0F(")=limF(x)=1.4 F(x+0)=F(x),即F(x)是右连续的；5 P(X=x)=F

12、(x)F(x0)。对于离散型随机变量，F(x)=pk；xk/'x对于连续型随机变里，F(x)=ff(x)dx。皿(5)八大分布0-1分布P(X=1)=p,P(X=0)=q二项分布在n重贝努里试验中，设事件A发生的概率为P。事件A发生的次数是随机变量，设为X,则X可能取值为0,1,2,，n。P(X=k)=Pn(k)=C：pkqn”，其中q=1-p,0cp<1,k=0,1,2,，n,则称随机变量X服从参数为n,P的二项分布。记为XB(n,p)。当n=1时，p(x=k)=pkq，k=0.1,这就是(0-1)分布，所以(0-1)分布是二项分布的特例。泊松分布设随机变量X的分布律为.kp(

13、X=k)=Je功，九：>0,k=0,1,2一，k!则称随机变量X服从参数为九的泊松分布，记为Xn(K)或者P(?J。泊松分布为二项分布的极限分布(np=x,n-8)。超几何分布P(Y1八CMCN。k=0,1,2-,1CN'l=min(M,n)随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为H(n,N,M)。几何分布P(X=k)=qk,p,k=1,2,3，其中p>0,q=1-p。随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G(p)。均匀分布设随机变量X的值只落在a,b内，其密度函数f(x),1一在a,b上为吊数，即b-a1awx<bf(x)=b-a,甘,0,其他，则称随机变量

14、X在a,b上服从均匀分布，记为xu(ab)。分布函数为0,x<a,x-ab-aa<x<b1xF(x)=(/(x)dx=1,x>b。当aWx1<x2Wb时,X落在区间(x1,x2)内的概率为_x2一x1P(x1<X<x2)-21°b-a指数分布>启飞,x>0,f(x)=0,x<0,J其中九A0,则称随机变量X服从参数为九的指数分布。X的分布函数为1e少，x之0,F(x)=00,x<0。记住积分公式：-boJxne，dx=n!0正态分布设随机变量X的密度函数为,(xj2一.1一"f(x);e,-00<x&l

15、t;+a0>J2n仃其中N、。>0为常数，则称随机变量X服从参数为K、仃的正态分布或图斯(GausS分布，记为.2XN”。)。f(x)具有如下性质：1 f(x)的图形是关于x=N对称的；一.1、，一,一2 当xN时为取大值；/2兀仃若XN(Ncr2)，则X的分布函数为1'x一号F(x)=fe2O2dt°°J2s-参数N=0、仃=1时的正态分布称为标准正态分布，记为XN(0,1),其密度函数记为W,，一平(x)=e2，笛<x<+R,分布函被*1x£(x)=.fe2dt。J2nq9(x)是不口未积函数，具函数值，已编制成表口供查用。1(

16、-x)=1-0(x)且(0)=一。X-k2如果XN俨产2),贝U口N(0,1)。P(Xi<X装)-屈-"。1CT1ICT1X>>(6)分位数下分位表：P(XW%)=a;上分位表：P(XANj=a。函数分布离散型已知X的分布列为XX1,X2,，Xn,P(X=Xi)p1,p2,，pn,，Y=g(X)的分雷列(*=g("且不相等)如下：Yg(x1),g(X2),，g(xn),P(Y=yi)p1,p2,，pn,'若由某些g(xi)相等，则应将对应的pi相加作为g(xi)的概率。连续型先利用X的概率密度fX(x)写出Y的分布函数F(y)=P(g(X)wy),

17、再利用变上下限积分的求导公式求出fy)。第三章二维随机变量及其分布(1)联合I离散型如果二维随机向量】(X,Y)的所有可能取值为分布至多可列个有序对仅,y),则称U为离散型随机量。设之=(X,Y)的所有可能取值为(xi,yj)(i,j=1,2,)，且事件七=(x,yj)的概率为pj,称P(X,Y)=(Xi,yj)=Pij(i,j=1,2,)为之二(X,Y)的分布律或称为X和Y的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：工小y2yjX1pnp12p1jX2p21p22pj3aa-aXip1pij99a-9这里pij具有下面两个性质:(1)叱0(i,j=1,2,);ZIpj=1.连续型D

18、对于一维随机向量U=(X,Y),如果存在非负函数f(x,y)(*<x<y<+=c),使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D,即D=(X,Y)|a<x<b,c<y<d有P(X,Y)eD=口f(x,y)dxdy,D则称X为连续型随机向量；并称f(x,y)为X=(X,Y)的分布密度或称为X和Y的联合分布密度。分布密度f(x,y)具有卜面两个性质：f(x,y)>0;C0(x,y)dxdy=1.二维随机变量的本质X=x,Y=y)W(X=xCY=y)(3)联合分布函数设(X,Y)为二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数F(x,y)=PX<x

19、,Y<y称为二维随机向量(X,Y)的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数。分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件(网,切2)|-0c<X(必)<x,-°0<Y®2)£处的概率为函数值的一个实值函数。分布函数F(x,y)具有以下的基本性质：(1)0<F(x,y)<1;F(x,y)分别对x和y是非减的，即当x2>xi时，有F(x2,y)>F(xi,y);当y2>yi时,有F(x,y2)>F(x,yi);(3) F(x,y)分别对x和y是右连续的，即F(x,y)=F(x+0,y),F(x,y)=F(x

20、,y+0);(4) F(f)=F(-«,y)=F(x,-«)=0,F(",z)=1.(5)对于x1<x2,y1<y2,F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(xny2)+F(xny1)之0.(4)离散型与连续型的关系P(X=x,Y=y)电P(x<XWx+dx,y<YWy+dy)f(x,y)dxdy(5)边缘分布离散型X的边缘分布为P“=P(X=X)=£Pij(i,j=1,2,).j，Y的边缘分布为P#=P(Y=yj)=SPij(i,j=1,2,)。连续型X的边缘分布密度为fX(x)=Ljay)dy；Y的边缘分布密度为fy(y)=亡

21、f(x,y)dx.(6)条件分布离散型在已知X=x的条件下，Y取值的条件分布为PijP(Y=yj|X=Xi)=；Pi.在已知Y=y的条件下，X取值的条件分布为PjP(X=Xi|Y=yj)=±L,Pd连续型在已知Y=y的条件下，X的条件分布密度为f(x|y)=3.fY(y)'在已知X=x的条彳下，Y的条件分布密度为f(x,y)f(y|x)=fX(x)(7)独立性一般型F(X,Y)=FXx)FMy)离散型Pij=P4有零不独立连续型f(x,y)=f乂x)f乂y)直接判断，充要条件：可分离变量正概率密度区间为矩形二维正态分布1辿'|2/_«)(y串)里121_#)

22、|l*f(x,y)-:-e-、21ra'i。2Vl一PP=0随机变量的函数若X,X2，汽Xm+厂-相互独立，h,g为连续函数，则：h(X,用篇)和g(Xn+厂-乂)相互独立。特例：若X与Y独立，则：h(X)和g(Y)独立。例如：若X与Y独立，则：3X+1和5Y-2独立。（8）二维均匀分布设随机向量（X,Y）的分布密度函数为1，、C（x,y）uDSdf（x,y）0,其他其中SD为区域D的面积，则称（X,Y）服从D上的均匀分布,记为（XY）U（D）。例如图3.1、图3.2和图3.3。y图3.1图3.2D3二维正态分布图3.3设随机向量(X,Y)的分布密度函数为_1x_、12一;(x&quo

23、t;)(y-2),y-221-2(1-；2)I',1一；二：2。2f(x,y)-e-,2二二1,.1-P其中艮1,与,%>0产2%0,1p|<1是5个参数,则称XY）服从二维正态分布，记为（XY）N（1,2,；4,7）.由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，即XN（1,二12）,YN（2二2）.但是若XN（）,。12）,丫N。；），（X,Y）未必是二维正态分布。(10)函数分布Z=X+Y根据定义计算：Fz(z)=P(Zwz)=P(X+Ywz)-bo对于连续型，fz(z)=Jf(x,zx)dx两个独立的正态分布的租仍为正态分布(»+卜

24、2,仃1+仃2)。n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。_2_22C=HCiB仃=£Ci5i'iZ=max,min(Xi,X2，X)若X1,X2Xn相互独立，其分布函数分别为F%(x),鼠鼠，贝UZ=max,min(XX2,)的分布函数为：Fmax(x)=Fx1(x).Fx2(x)-Fxn(x)Fmin(x)=1-1-Fx1(x)1-Fx2(刈1Fxn(x)工2分布设n个随机变量X1,X2，Xn相互独立，且服从标准正态分布，可以证明它们的平方和n一2w=zXiiz!的分布密度为12_u-u2e2u>0,f(u)=Qdni0,u<0.我们称随机变量WI艮

25、从自由度为n的X分布，记为W?2(n),其中四=广x2,e«dx。所谓自由度是指独立止态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。72分布满足可加性：设丫-*(n)则kZ=£Yi72(n+n2+nji=1t分布F分布设X,Y是两个相互独立的随机变量，且XN(0,1),Y2(n),可以证明函数T=X%Y/n的概率密度为n1f(t)=一2(-二：二t：二二).2我们称随机变量T服从自由度为n的t分布，记为Tt(n)。ti-.(n)-t.(n)设*(必)>*(山)，且X与Y独立，可以证明X/nFY7-的概率密度函数为n2,v-02；nil2fnini.，、311v2

26、1+vf(y)=<g；H'"n2/<n2NE0,y<0我们称随机变量F服从第一个自由度为ni,第二个自由度为n2的F分布，记为Ff(ni,n2).(i)一维随机变量的数字特征离散型连续型期望期望就是平均值设X是离散型随机变量，其分布律为P(X=Xk)=pk,k=i,2,n,nE(X)=£XkPkk=i(要求绝对收敛)设X是连续型随机变量，其概率密度为f(x),-boE(X)=Jxf(x)dx(要求绝对收敛)函数的期望Y=g(X)nE(Y)=Eg(Xk)PkkTY=g(X)-boE(Y)=fg(x)f(x)dx方差D(X)=EX-E(X)：标准差仃(

27、X)=V'D(X),D(X)=£Xk-E(X)2Pkk-boD(X)=fx-E(X)2f(x)dxFi_：.(ni,n2)iF;.(n2,ni)第四章随机变量的数字特征矩对于正整数k,称随机变量X的k次哥的数学期望为X的k阶原点矩，记为Vk,即,kk丫k=E(X)=、XiPi,k=1,2,.对于正整数k,称随机变量X与E(X)差的k次哥的数学期望为X的k阶中心矩，记为即也=E(X-E(X)k.=£(Xi-E(X)kpii，k=1,2,.对于正整数k,称随机变量X的k次哥的数学期望为X的k阶原点矩，记为Vk,即丫k=E(X)=J8xkf(x)dx,0k=1,2,.对于

28、正整数k,称随机变量X与E(X)差的k次哥的数学期望为X的k阶中心矩，记为即k九=E(X-E(X).一k.=j(x-E(X)kf(x)dx,k=1,2,.切比雪夫不等式设随机变量X具有数学期望E(X)=w,方差D(X)=一，则对于任意正数£,后卜列切比雪夫不等式2P(|X邑”)，切比雪夫不等式给出了在未知X的分布的情况下，对概率P(|X一耳之君)的一种估计，它在理论上有重要意义。)期望)的惶质)4)E(C)=CE(CX)=CE(X)nnE(X+Y)=E(X)+E(Y)E(£GXi)=£GE(Xj)iTIE(XY)=E(X)E(Y),充分条件：X和Y独立；充要条件：

29、X和Y不相关。)方澄)的性)质4)5)D(C)=QE(C)=C_2_D(aX尸aD(X);E(aX)=aE(X)_2_D(aX+b)=aiD(X);E(aX+b)=aE(X)+bD(X)=E(X)-E2(X)D(X±Y)=D(X)+D(Y)充分条件：X和Y独立；充要条件：X和Y不相关。D(X土Y)=D(X)+D(Y)±2E(X-E(X)(Y-E(Y),无条件成立。而E(X+Y尸E(X)+E(Y)无条件成立。常见分布的期望和期望方差0-1分布B(1,p)pp(1-p)二项分布B(n,p)npnp(1-p)泊松分布P(K)九九几何分布G(p)1p1-p2p方差超几何分布H(n,

30、M,N)nMNnMNJ)NJ，Nn)、N-1均匀分布U(a,b)a+b2(b-a)212指数分布e(八)1T1铲正态分布N(巴02)p2x2分布n2nt分布0nn2(n>2)n2二维随机变量的数字特征期望nE(X)=£XiPqiAnE(Y)=£yjP.-boE(X)=JxfX(x)dx-boE(Y)=yfY(y)dy函数的期望EG(X,Y)=工工G(Xi,yj)PjEG(X,Y)=-be-beGG(x,y)f(x,y)dxdyoO-oO方差D(X)=£xD(Y)=£xi-E(X)2pi.-E(Y)2p4-boD(X)=x-E(X)2fx(x)dx_

31、n0-bo2D(Y)=fy-E(Y)2fY(y)dy协力差对于随机变量X与Y,称它们的二阶混合中心矩%为X与Y的协万差或相关矩,记为0xy或cov(X,Y),即Oxy=巳1=E(XE(X)(YE(Y).与记号Oxy相对应，X与Y的方差D(X)与D(Y)也可分别记为。XX与。YY。相关系数(对于随机变量X与Y,如果D(X)>0,D(Y)>0,则称仃XYVDX5VDY5为X与Y的相关系数，记作Pxy(有时可简记为P)。|P|W1,当|P|=1时，称X与Y完全相关：P(X=aY+b)=1人正相关，当P=1时(a>0),兀王'口大、负相关，当P=-1时(a<0),而当P

32、=0时，称X与Y不相关。以卜五个命题是等价的： /XY=。； cov(X,Y)=0; E(XY尸E(X)E(Y);3)D(X+Y)=D(X)+D(Y); D(X-Y尸D(X)+D(Y).协方差矩阵XXXYSJ(J,<YXYYJ混合矩对于随机变量X与Y,如果有E(XkY)存在，则称之为X与Y的k+l阶混合原点矩，记为vh;k+l阶混合中心矩记为：Ukl=E(X-E(X)k(Y-E(Y)lj.6、耳彻质l协差性cov(X,Y)=cov(Y,X);cov(aX,bY)=abcov(X,Y);cov(X1+X,Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y);cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E

33、(Y).独立和不相关若随机变量X与Y相互独立，则Pxy=0；反之不真。若(X,Y)N(七,匕，52,tt；,p),则X与Y相互独立的充要条件是X和Y不相关。第五章大数定律和中心极限定理(1)大数定律X切比雪夫大数定律设随机变量Xi,K,相互独立，均具有有限方差,且被同一常数C所界：D(X)<C(i=1,2,)，则对于任意的正数e,有111n1n'limPI-ZXi-ZE(Xi)=1.nel|nyn匕/特殊情形：若X,X(X)=p,则上式成为111n'limP!ZXiR<名=1.fgm；具有相同的数学期望E伯努利大数定律设w是n次独立试验中事件A发生的次数,p是事件A

34、在每次试验中发生的概率，则对于任意的正数e,有伯努利大数定律说明，当试验次数n很大时，事件A发生的频率与概率有较大判别的可能性很小，即limP1p之J=0.廿Qn|/这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。辛钦大数定律设X,X，X,是相互独立同分布的随机变量序列，且E(X)=p,则对于任意的正数e有limPZXi<z=1.nTUnim/(2)中心极限定理_2XN(J)n歹I维林德伯格定理莫一普斯理棣弗拉拉定limP<n-CXn-np、np(1-p)t2Xe2dt.(3)二项定理(4)泊松定理(N').设随机变量X,X,相互独立，服从同一分布,且具有相同的数学期望和方差：E(

35、Xk)=出D(Xk)=。2#0(k=1,2，)，则随机变量n'Xk-nY_k-n.n。的分布函数Fn(x)对任意的实数X,有n、XXknNt2k/I1X；TlimFn(x)=limP-xe2dt.n,二二、n二-2二二IJ此定理也称为独立同分布的中心极限定理。设随机变量Xn为具有参数n,p(0<p<1)的二项分布，则对于任意实数X,有若当Nts时,M-ap(n,k不变)则N7kn-kCMCNJMckknAnCnp(1-p)CN超几何分布的极限分布为二项分布。若当nT8时,np->人A0,则kC：pk(1-p)n"-e-，(n：).k!其中k=0,1,2,，n

36、,。二项分布的极限分布为泊松分布。第六章样本及抽样分布(1)数理统计的基本概念总体在数理统计中，常把被考察对象的某一个(或多个)指标的全体称为总体(或母体)。我们总是把总体看成一个具有分布的随机变量(或随机向量个体总体中的每一个单兀称为样品(或个体1样本我们把从总体中抽取的部分样品X1,X2，Xn称为样本。样本中所含的样品数称为样本容量，一般用n表示。在一般情况下，总是把样本看成是n个相互独立的且与总体有相同分布的随机变量，这样的样本称为简单随机样本。在泛指任一次抽取的结果时，Xi,X2，Xn表示n个随机变量(样本);在具体的一次抽取之后，X1,x2,，人表小n个具体的数值(样本值)。我们称之

37、为样本的两重性。样本函数和统代设Xi,X2，Xn为总体的一个样本，称9=*(Xi，XQ为样本函数，其中平为一个连续函数。如果中中不包含任何未知参数，则秤(Xi,X2，Xn)为一个统代。常见统计量及其性质-1n样本均值x=_£Xi.ny样本方差4n_S2=z(Xi-X)2.n-1i=i样本标准差S=J7f(Xi-x)2.n-1y样本k阶原点矩11kMk=-EXi,k=1,2，.ni4样本k阶中心矩1 n-kMk=£(Xi-X),k=2,3，.ny2E(X)=R,D(X)=J,n2 2_2n12E(S2)-。2,E(S*)-仃,n一.01一其中s*2=Z(Xi-X)2,为二阶中

38、心矩。ny(2)正态总体下的四大分布正态分布设X1,X2，Xn为来自正态总体N(2,。2)的一个样本,则样本函数defXNu一一r-N(0,1).仃7nt分布设X1,X2，为来自正态总体N(邑,。2)的一个样本,则样本函数defxNtt(n1),s/4n其中t(n-1)表示自由度为n-1的t分布。/2分布设”,X2，为来自正态总体N(地。2)的一个样本,则样本函数_2def(n-1)S弋2w=2/2(n-1),CT其中，2(n-1)表示自由度为n-1的2分布。F分布设X1,X2，Xn为来自正态总体N(巴仃2)的一，个样本，而y1,y2,，yn为来自止态总体n但。2)的一个样本，则样本函数def

39、S12/a12F-V-4F(n1-1,n2-1),s；/仃2其中c21n1-2c21n2-2S2=-Z(Xi-X)2,S；=-z(yi-y)2;n1-1i9n2-1iF(n1-1,n；-1)表示第一自由度为n1一1，第二自由度为n；-1的F分布。(3)正态总体下分布的性质X与S2独立。第七章参数估计矩估计(1)点估计设总体X的分布中包含有未知知1,3,，力，则其分布函数可以表成f(X；q,可以，8m).它的k阶原点矩Vk=E(Xk)(k=1,2,，m)中也包含了未知参数由也，2m,即Vk=丫八日1色,，6m)。又设X1,X2，Xn为总体X的n个样本值，其样本的k阶原点矩为1nk'、Xi

40、(k=1,2,m).ni1这样，我们按照“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样本矩”的原则建立方程，即有1nV1(11,口2，m)Xi,ny10v2(71112,m)xi,ny1nmV(111)JqXmvm(1,2,m),Xi.nim由上面的m个方程中,解出的m个未知参数禽C,，e：)即为参数(%,%,，£)的矩估计量。若金为a的矩估计，g(X)为连续函数，则g(国为g(8)的矩估计。极大似然估计当总体X为连续型随机变量时，设其分布密度为f（X；8i62,，8m）,其中年,82,，0m为未知参数。又设Xi,X2，Xn为总体的一个样本，称nL,02,，em）=nf（Xi；&

41、包，Hm）i-i为样本的似然函藏，简记为Ln.当总体X为离型随机变量时，设其分布律为PX=X=p（X；8i,仇，Hm）,则称nL（Xi,X2，Xn；%。,用m）=口P（Xi；&0，3）iU为样本的似然函数。若似然函数L（Xl，X2，XnOQ,，渠）在品命，,fm处取到最大值，则称Si,/,6m分别取1。,包的最大似然估计值，相应的统皆称为最大似然估代。"Ln八.2=0,i=1,2,，m涧今若$为日的极大似然估计,g（X）为单调函数，则g（的为g。的极大似然估计。估计量的评选标准无偏性设8=e（X1,X2,-,Xn）为未知参数日的估“皇。右E（8）-8,则称4为e的无偏估的。E

42、（X）=E（X）,E（S2）=D（X）后效性设仇=仇国,X,2,Xn）和日2=02（X1,X,2,Xn）ZE未知参数日的两个无偏估计货。若D（$、1）<D（A）,则称£比$2有效。一<性设箱是8的一串估代，如果对于任意的正数E,都有AHmoP（|0n-0|>E）=O,则称Sn为H的T估,（或相合估的）。若$邓的无偏估计，且D（囱T0（nTg）,则4为的T估计。只要总体的E（X）和D（X）#在，一切样本矩和样本矩的连续函数都是相应总体的一致估的。区间估计置信区间和置信度设总体X含有个待估的未知参数石。如果我们从样本X1,X,2，Xn出发，找出两个统计量1=3（X1,X,2，Xn）与2=82（X1,X,2，Xn）（4<3）,使得区间。1,。2以1-a（0<a<1）的概率包含这个待估参麴,即PR<e<62=1-%那么称区间区,3为日的置信区间，1为该区间的置信度（或置信水平）。单正态总体的期望和方差的区间估计设X1,X,2，Xn为总体XN(巴仃2)的一个样本,在置信度为1-a下