传递函数与频域分析

1、第一章传递函数与频域分析2.1传递函数的概念我们将系统输出量对于系统输入量的微分方程在零初始条件下取拉普拉斯变换，变换后的输出量的象函数与输入量的象函数之比定义为传递函数。这里的零初始条件是指输入量和输出量的初始值及其高阶以下(含次高阶)各阶导数的初始值都为零(任彦硕，2007)。拉普拉斯变换是指对定义在时域区间0,2上的时间函数f完成如下的积分变换：-stF(s)=0f(t)edt(2.1)式(2.1)中，et是拉普拉斯变换因子，又称收敛因子；s是复数，s=o+2式(2.1)完成了将时域函数f(t)转化成复频域函数F(s)的积分变换，为下文的频域分析奠定了基础。为了方便应用，将拉普拉斯变换的

2、基本性质和常用拉普拉斯变换用表格的形式列了出来。表2.1拉普拉斯变换的基本性质1线性定则齐次性Laf(t=aF(s)叠加性LfKt)±f2(t】=Fks)±F2(s)2微分定理一般形式Ld：(t)=sF(s)f(0)dt12fLdff)=s2F(s)-sf(0)-(0)dt._df(t)_n_._n_krk_1.L-=sF(s)-Zsf(0)dtkjfj(t)=*初始条件为零UdfhsnFls)dt3积分定理一般形式F(s)ff(t)dtt,0LJf(t)dt=，)+ss-22F(s)f(t)dtuf(t)(dt)yL仃f(t)(dt)2=-V+-+sssn2F(s)f(t

3、)(dt)nyLJf(dt)2=-V+£nsks初始条件为零n0F(s)L广Jf(t)(dt)2=(n)s4延迟定理Lf(t-T)1(t-t)=F(s)e75衰减定理_atLf(t)e=F(s+a)6终值定理limf(t)=吗sF(s)7初值定理limf(t)=1msF(s)8卷积定理ttL，1(t-T)f2(T)d，=LJ0f1(t)f2(t-T)dT=Fi(S)F2(S)表2.2常用拉普拉斯变换厅p时间函数f(t)拉氏变换F(s)11)121(t)1s3t1s4t2万1H3s5tnn!1n书s6e"1s+a7tet1(s+a)281-eJtas(s+a)9_at_bte

4、-eba(s+a)(s+b)10sin(st)co2,2s+611cos仰t)s2.2s+62.2 系统频域分析2.2.1 系统的稳定性系统在工作过程中，不可避免的受到来自外界或内部的干扰，使得系统偏离平衡位置。如果干扰消除后，系统能够逐渐的恢复到原来的平衡位置，则系统是稳定的；反之，系统在扰动消除后随着时间的增加而越来越偏离平衡位置,则系统是不稳定的；若系统在扰动消除后以平衡位置为中心点做震荡运动，则系统为临界稳定。系统的输入信号也可以看做是某种扰动，则有系统在输入信号撤销后，系统能够逐渐的恢复到原来的平衡位置，则系统是稳定的；反之，系统在输入信号撤销后随着时间的增加而越来越偏离平衡位置，则

5、系统是不稳定的。线性系统是否稳定，取决于系统的内部构成与参数，与外部条件无关。造成系统不稳定的原因主要有三方面：系统中存在相位滞后环节，如惯性、延迟环节等；系统存在反馈作用；系统的参数选择不合适。由于传递函数完全代表了系统的微分方程，因此可以从它的零极点来分析系统响应。特别是系统的极点直接影响了系统响应。设系统有n个极点Si=R（i=1,2,3-n）（2.2）由表2.2可知每一个极点都在时域范围内对应着一个形式如下的分量yi（t）=GePit（2.3）Ci是由系统所决定的常数。由式（2.2）可知，当极点位于复平面的左半平面时，即极点具有负实部，式（2.2）是衰减的；当极点位于复平面的右半平面时

6、，即极点具有正实部，式（2.2）是发散的；当极点位于虚轴上时，系统是震荡的。2.2.2 系统的频率特性频域分析法是在频率域中研究控制系统的规律，由于频率域。是复频域s的子域，所以我们可以令T（s）s=T（JG）（2.4）这样就可以在频率域中研究系统的传递函数，从而来研究控制系统的规律。为了更好的研究函数T（严）的响应特性，我们可以在坐标系以切为自变量作图，这里简要叙述以下奈奎斯特图（Nyquise）和伯彳i图（bode的画法，以及我们如何从图中分析系统的稳定性。首先传递函数可以表示为以下的函数形式T(®)=P(0)+jQ&)(2.5)函数PF)称为传递函数的实频函数，函数QF

7、)称为传递函数的虚频函数。定义以下的函数A(co)=Jp2(cd)+Q2(co)(2.6)?(，)=arctanQ()(2.7)P()函数Ag)称为传递函数的幅频函数，函数中(8)称为传递函数的相频函数。奈奎斯特图(Nyquise),简称奈氏曲线(或奈氏图)。是以口为参变量将幅频特性和相频特性绘制在极坐标系上，极坐标的模代表幅频值，极角代表相频值。从奈奎斯特图判断系统的稳定性的方法叫做奈奎斯特稳定判据，在本文章中我们用不到，就不在叙述了。用对数幅频坐标系和半对数相频坐标系描述的对数幅频特性和半对数相频特性称为伯德图(bode。两个坐标系的横轴都是lg(6)。对数幅频坐标系的纵轴是幅频特性AF)取常用对数的20倍，用L®)表示，即L(co)=20lgA(。)(2.8)单位为分贝(dB);半对数相频坐标系的纵轴是相频特性的)。从伯德图(bode)出发分析系统的相对稳定程度的方法是相位裕度与幅值裕度。相位裕度幅值裕度2.3 系统的结构图在本节中我们简要叙述一下控制系统的结构图。控制系统的结构图是将系统中所有的元部件都有方框表示，在方框中表明其传递函数，按照信号传递方向把各个传递函数方框依次连接起来的一种图形（姚佩阳，2005）。控制系统的结构图一般包含4种基本单元，如图2.1所示。ft士二