学习计算机数学

1、学习计算机数学第八章无穷级数 首页首页前页前页基本要求、重点难点8.1常数项级数及其审敛法8.2幂级数8.3函数展开成幂级数8.4傅里叶(Fourier)级数8.5演示与实验七 基本要求基本要求掌握级数性质及使用方法。掌握级数性质及使用方法。 了解常数项级数及其审敛法。了解常数项级数及其审敛法。掌握幂级数、傅里叶级数的性质和定理，及其使用方法。掌握幂级数、傅里叶级数的性质和定理，及其使用方法。 重点难点重点难点重点：重点：无穷个数的问题无穷个数的问题级数。级数。级数在各种领域的应用及幂级数。级数在各种领域的应用及幂级数。难点：难点：常数项级数收敛性判别、幂级数收敛区间、和函数的求法。常数项级数

2、收敛性判别、幂级数收敛区间、和函数的求法。8.1常数项级数及其审敛法常数项级数及其审敛法定义定义8.1设给定数列设给定数列u1,u2，un，则式子，则式子 u1+u2+un+ 称为常数项无穷级数，简称数项级数或级数。记为称为常数项无穷级数，简称数项级数或级数。记为un，即，即 其中数项级数上式中第其中数项级数上式中第n项项un称为一般项或通项。称为一般项或通项。数项级数上式的前数项级数上式的前n项之和，记为：项之和，记为：snu1+u2+un，称为级数的称为级数的n项部分和。部分和项部分和。部分和s1,s2,，sn，构成一个新的构成一个新的数列数列sn称为级数的部分和数列。称为级数的部分和数列

3、。n1定义定义8.2若当若当n时，部分和数列时，部分和数列sn有极限，即有极限，即 sns， 则称级数是收敛的，且则称级数是收敛的，且s称为级数的和，记为：称为级数的和，记为： su1+u2+un+，或，或uns。若数列若数列sn没有极限，则称级数是发散的。没有极限，则称级数是发散的。limnn1性质性质8.1在级数的前面去掉或加上有限项不会改变级数的敛散性。在级数的前面去掉或加上有限项不会改变级数的敛散性。定义定义8.3对于正项级数的敛散性，我们首先不予证明地给出如下判定定理：对于正项级数的敛散性，我们首先不予证明地给出如下判定定理：定理定理8.1定理定理8.2 (比较审敛法比较审敛法)定理

4、定理8.3(比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式)定理定理8.1继续点击继续点击级数：级数：u1+u2+un+。定义定义8.4定理定理8.1定理定理8.6 (莱布尼茨审敛法莱布尼茨审敛法) 定义定义8.5幂级数幂级数 幂级数及其收敛域幂级数及其收敛域 定理定理8.7(阿贝尔定理阿贝尔定理) 定理定理8.7(阿贝尔定理阿贝尔定理) 幂级数的运算性质幂级数的运算性质 设幂级数设幂级数anxn和和bnxn的收敛半径分别为的收敛半径分别为R1和和R2，且在收敛域内的和，且在收敛域内的和函数分别为函数分别为s1(x)和和s2(x)，记，记RminR1,R2，则在，则在(R，R)内有：内有： (1)a

5、nxn bnxn (an bn)xns1(x) s2(x)；(2) anxn bnxna0b0+(a0b1+a1b0)x+(a0b2+a1b1+a2b0)x2+(a0bn+a1bn1+an1b1+anb0)xn+s1(x)s2(x)。n0n0n0n0n0n0n0且幂级数在收敛区间内有下列性质：且幂级数在收敛区间内有下列性质： (1) s1(x)在收敛区间在收敛区间(R1，R1)内连续；内连续； (2) s1(x)在收敛区间在收敛区间(R1，R1)内可积，且内可积，且 (3) s1(x)在收敛区间在收敛区间(R1，R1)内可导，且内可导，且 函数展开成幂级数函数展开成幂级数 麦克劳林麦克劳林(M

6、aclaurin)级数直接展开法级数直接展开法 设函数设函数f(x)在区间在区间(R，R)内有任意阶导数，并假定它可以展开成内有任意阶导数，并假定它可以展开成x的幂级数的幂级数 把一个函数把一个函数f(x)展开为展开为x的幂级数，可按下列步骤进行：的幂级数，可按下列步骤进行：f(x)a0+a1x+a2x2+anxn+, |x|R。 求求f(x)的幂级数展开都需要求出的幂级数展开都需要求出f(x)的任意阶导数，求出的任意阶导数，求出f(n)(0)代入公式，显然比较麻烦。代入公式，显然比较麻烦。下面介绍利用已知函数展开式以及幂级数的运算法则求函数展开式的方法，这种方法下面介绍利用已知函数展开式以及

7、幂级数的运算法则求函数展开式的方法，这种方法叫做间接法。叫做间接法。傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 三角级数，三角函数系的正交性三角级数，三角函数系的正交性 定义定义8.8 以以2为周期的函数的傅里叶级数展开为周期的函数的傅里叶级数展开 傅里叶级数：傅里叶级数： 定理定理8.9收敛定理收敛定理(狄利克雷狄利克雷(Dirchlet)充分条件充分条件) 注意：由上述例子可以看出：注意：由上述例子可以看出： 函数的周期延拓函数的周期延拓后页后页1.设函数设函数f(x)在在,上有定义，且满足收敛定理。此时在上有定义，且满足收敛定理。此时在，)或或(，外补充定义，把它延拓为以外补充定义，把它延拓

8、为以2为周期的函数为周期的函数F(x)(称为周期称为周期延拓延拓)，使在，使在(，)内有内有F(x)f(x)。将将F(x)展开成傅里叶级数，这样得到关于展开成傅里叶级数，这样得到关于f(x)在在,上的傅里叶级数，上的傅里叶级数，根据收敛定理，设级数在区间的端点根据收敛定理，设级数在区间的端点x 处收敛于处收敛于 f(0)+f(+0)。 返回返回2.设设f(x)只在只在0,上有定义，且满足收敛定理的条件，我们可以作以上有定义，且满足收敛定理的条件，我们可以作以 2为周期的函数为周期的函数F(x)，使得在，使得在(0，)内，内，F(x)f(x)，然后将，然后将F(x)展开成为傅里叶级数，则在展开成

9、为傅里叶级数，则在(0，)上，该傅里叶级数就是上，该傅里叶级数就是f(x)在在(0，)上的傅里叶级数，对于区间端点上的傅里叶级数，对于区间端点x0,x,可根据收敛定理判定可根据收敛定理判定其收敛性，由于这里仅给出半个周期里函数的定义，所以在作周期延拓时，首先需定义其收敛性，由于这里仅给出半个周期里函数的定义，所以在作周期延拓时，首先需定义,上上F(x)的值，这里可以用两种延拓方法来定义的值，这里可以用两种延拓方法来定义F(x)：(1) 将将f(x)延拓成以延拓成以2为周期的奇函数为周期的奇函数(称为奇延拓称为奇延拓) (2) 将将f(x)延拓成以延拓成以2为周期的偶函数为周期的偶函数(称为偶延

10、拓称为偶延拓) 返回返回以以2l为周期函数的傅里叶级数为周期函数的傅里叶级数设设f(x)是是2l为周期的函数，且在为周期的函数，且在l,l上满足收敛定理的条件，则作变上满足收敛定理的条件，则作变换令换令x t,即即t x，令，令F(t)f()t是以是以2为周期的函数，且在为周期的函数，且在,上满足收敛定理的条件。所以，对于上满足收敛定理的条件。所以，对于f(x)的傅里叶展开级数，只的傅里叶展开级数，只要先求出要先求出F(t)的傅里叶级数，再将的傅里叶级数，再将x t或或t x代回即可，即代回即可，即F(t)的傅的傅里叶级数为里叶级数为 l l l前页前页演示与实验七演示与实验七 实验目的实验目

11、的 1. 学习用学习用Mathematica求级数的和；求级数的和；2. 学习用学习用Mathematica将函数展开成幂级数；将函数展开成幂级数；3. 学习用学习用Mathematica演示函数逼近过程；演示函数逼近过程；4. 学习用学习用Mathematica演示周期函数的傅里叶级数展开。演示周期函数的傅里叶级数展开。内容与步骤内容与步骤 1. 用用Mathematica求级数的和求级数的和命令格式：命令格式：Sumf(n),n,n1,n2 NSumf(n),n,n1,n22. 用用Mathematica将函数展开成幂级数将函数展开成幂级数 将将f(x)展开成展开成xx0的的n阶泰勒公式，用下面的命令：阶泰勒公式，用下面的