连续时间信号的傅利叶变换及MATLAB实现课程设计任务

1、课程设计任务书连续时间信号的傅利叶变换及 MATLA殴现初始条件：MATLA歆件，微机要求完成的主要任务:利用MATLAB虽大的图形处理功能，符号运算功能和数值计算功能，实现连 续时间非周期信号频域分析的仿真波形；1、用MATLA殴现典型非周期信号的频域分析；2、用MATLA映现信号的幅度调制；3、用MATLA映现信号傅立叶变换性质的仿真波形；4、写出课程设计报告。时间安排：学习MATLAB©言的概况第1天学习MATLAB©言的基本知识第2、3天学习MATLAB©言的应用环境，调试命令，绘图能力第4、5天课程设计第 6-9 天答辩第 10 天指导教师签名：系主任（

2、或责任教师）签名：年月日年月日摘要 IIABSTRAC T II绪论 II1傅里叶变换原理概述 11.1 傅里叶变换及逆变换的 MATLAB实现12用MATLA殴现典型非周期信号的频域分析22.1 指数信号时域波形图、频域图 22.2 直流信号时域波形图、频域图 22.3 符号函数信号时域波形图、频域图 32.4 单位阶跃信号时域波形图、频谱图 32.5 单位冲激信号时域波形图、频域图 42.6 门函数信号时域波形图、频域图 43用MATLA殴现信号的幅度调制 63.1 实例1 63.2 实例2 84实现傅里叶变换性质的波形仿真 104.1 尺度变换特性 104.2 时移特性 114.3 频移

3、特性 134.4 时域卷积定理 144.5 对称性质 164.6 微分性质 17心得体会 20参考文献 20附录 21摘要傅立叶变换是一种传统的信号处理方法, 同时也是一种非常重要的信号处理方法作为数字信号处理中的核心内容,在教学中引入MATLEB件，既为教师讲解提供了方便又可以激发学生的学习兴趣, 增强学习效果, 提高对傅立叶变换的理解和应用能力.关键词 : MATLAB, 傅立叶变换, 数字信号处理ABSTRACTFourier transform is a traditional signal processing methods, but also a very important s

4、ignal processing methods. As digital signal processing in the core content of the introduction of MATLBsoftware in teaching, both for teachers on the provision of a convenient, can also motivate students interest in learning, enhance learning, increase the understanding and application of Fourier tr

5、ansform capability.Keywords: MATLAB, Fourier transform, digital signal processing绪论在科学技术飞速发展的今天，计算机正扮演着愈来愈重要的角色。在进行科学研究与工程应用的过程中，科技人员往往会遇到大量繁重的数学运算和数值分析，传统的高级语言 Basic、 Fortran 及 C 语言等虽然能在一定程度上减轻计算量，但它们均用人员具有较强的编程能力和对算法有深入的研究。MATLABE是在这一应用要求背景下产生的数 学类科技应用软件。MATLAB! matrix和laboratory 前三个字母的缩写，意思是“矩 阵实

6、验室”，是Math Works公司推出的数学类科技应用软件。MATLABM有以下基本功能：（1）数值计算功能；（2）符号计算功能；（3）图形处理及可视化功能；（3）可视化建模及动态仿真功能。本文介绍了如何利用MATLAB1大的图形处理功能、符号运算功能以及数值计算功能，实现连续时间系统频域分析。本次课程设计介绍了用MATLA映现典型非周期信号的频谱分析，用MATLA映现信 号的幅度调制以及用MATLA加现信号傅里叶变换性质的仿真波形。1傅里叶变换原理概述信号f (t)的傅里叶变换定义为值得注意的是，f的傅里叶F ( j ) = f (t) e j dt -一变 (J ) J ( )换存在的充分

7、条件是f (t)在无限区oO内绝对值可积，即f (t)满足下式:|dt但上式并非f (t)存在的必要条件。当引入f (t)的广义函数概念后，使一些不满 足绝对可积的f (t)也能进行傅里叶变换。傅里叶逆变换的定义是：f (t)=F ( j )e J td 1.1 傅里叶变换及逆变换的MATLA取现MATLAB的Symbolic Math Toolbox提供了能直接求解傅里叶变换及逆变换的函 数 Fourier()及 Fourier()。1.1 Fourier 变换1. (1) F=Fourier(f)(2) F=Fourier(five)(3) F=Fourier(f,u,v)说明：(1) F

8、=fourier(f)是符号函数f的Fourier变换，缺省返回是关于 的函数。如果 f=f(),则fourier函数返回关于t的函数。(2)F=fourier(f,v)返回函数F是关于符号对象v的函数，而不是缺省的 (3)F=fourier(f,u,v)对关于u的函数f进行变换，返回函数F是关于v的函数1.2 Fourier 逆变换(1) f=ifourier(F)(2) f=ifourier(F,u)(3) f=ifourier(F,v,u)2用MATLAB现典型非周期信号的频域分析2.1 指数信号时域波形图、频域图tf (t) = e 名 的时域波形图和频谱图如图1、图2所示2.2 直流

9、信号时域波形图、频域图直流信号f (t) =A1根据指标要求，画出频率采样序列的图形2根据Hk的对称特点，可以使问题得以简化12 n di值c弼0.6D.60>40-D.24)4-OBQBUW图3直流信号波形图直流信号B.6B.45.8B.2被 6 li田B 8a -0-4-202盹间(1)-10图4直流信号频谱图2.3 符号函数信号时域波形图、频域图苻号信号-1.5-110.5-D.505123睛间(1)图5符号函数信号波形图图6符号函数信号波形图2.4 单位阶跃信号时域波形图、频域图单拉阶盛信号D.2 -JO1111-2-10123456时间图7单位阶跃信号波形图2.5 单位冲激信号

10、时域波形图、频域图取位冲激信号22r111111 120 -一IB F16 -114 rrS 12-1S io -；*18 -E J14 -12 -0 1i11111 1-11-0.5D0.511522.53时间的图9单位冲激信号波形2.6门函数信号时域波形图、频域图、zvvVV . rVvvx -3-6-4-202466图8单位阶跃信号频谱图11r11ii11i8-6-4-2024SB图10单位冲激信号频谱图图11门函数信号波形及频谱图f(t)=u(t+1)-u(t-1)的傅里叶变换3用MATLAB现信号的幅度调制设信号f (t)的频谱为F( jw),现将f (t)乘以载波信号cos (w0

11、t),得到高 频的已调信号y(t ),即：y(t ) = f (t) cos ( wot)f (t)称为调制信号。实现信号调制的原理图如图cos（/）(幅度调制原理图)从频域上看，已调制信号y(t )的频谱为原调制信号f (t)的频谱搬移到0 ±w处，幅度 降为原F( jw)的1/2,即/ co$(gf) g ( +5) + F/(-。)上式即为调制定理，后是傅里叶变换性质中“频移特性”的一种特别情形。注意：这里采用的调制方法为抑制载波方式，即 y(t )的频谱中不含有cos( ) 0w t的频率 分量。MATLAB提供了专门的函数modulate ()用于实现信号的调制。调用格式为

12、：y=modulate(x,Fc,Fs,'method')y,t=modulate(x,Fc,Fs)其中，x为被调信号，Fc为载波频率，Fs为信号x的采样频率，method为所采用的制方式，若采用幅度调制、双边带调制、抑制载波调制，则/ method，为/ am，或/amdsd-sd 其执行算法为y=x*cos(2*pi*Fc*t)其中y为已调制信号，t为函数计算时问问隔向量。下面举例说明如何调用函数 modulate ()来实现信号的调制。例1：设信号f(t尸sin(100冗。,载波y(t)为频率为400Hz的余弦信号。试用MATLAB实 现调幅信号y(t ),并观察f (t

13、)的频谱和y(t )的频谱，以及两者在频域上的关系。解：在下面的MATLAB的实现的程序中，为了观察f (t)及y(t )的频谱，在这里介绍一MATLAB的“信号处理工具箱函数”中的估计信号的功率谱密度函数psd(),其格式是:Px, f=psd(x, Nfft, Fs, window, noverlap, dflag)其中，x是被调制信号(即本例中的f (t) ), Nfft指定快速付氏变换FFT的长度，Fs 为对信号x的采样频率。后面三个参数的意义涉及到信号处理的更深的知识，在此暂不 介绍。用 MATLAB 完成本例的程序如下：Fs=1000; %被调彳S号x的采样频率Fc=400; %载

14、波信号的载波频率N=1000; %FFT 的长度n=0:N-2;t=n/Fs;x=sin(2*pi*50*t); % 被调信号subplot(221)plot(t,x);xlabel('t(s)');ylabel('x');title('被调彳S号')；axis(0 0.1 -1 1)Nfft=1024;window=hamming(512);noverlap=256;dflag='none'Pxx,f=psd(x,Nfft,Fs,window,noverlap,dflag); subplot(222)plot(f,Pxx)xla

15、bel('f(Hz)');ylabel('功率谱(X)');title('被调信号白功率谱')gridy=modulate(x,Fc,Fs,'am'); %已调信号subplot(223)plot(t,y)xlabel('t(s)');ylabel('y');axis(0 0.1 -1 1)title('已调信号)Pxx,f=psd(y,1024,Fs,window,noverlap,dflag);subplot(224)plot(f,Pxx)xlabel('f(Hz)');

16、ylabel('功率谱(Y)');title('已调信号的功率谱');grid上述程序的运行结果如图9.4 所示，其中左边上下两图为f (t) 及 y(t ) 信号，即时域波形，右边上下两图分别为对应f (t) 及 y(t ) 的功率谱。由图可见，f (t) 的功率频谱处在频域的频率f=400HZ 为中心的两侧、偏移值为50HZ的双边带。显然，上述结果与信号与系统分析的理论结果完全一致。"1 00.05己调信号1A0.5t(s) 0100200400 3 £00f(Hz)己调信号的功率谱25-1 000.050.10200t(s)(被调信号、

17、已调信号及其谱线)需要指出的是，一个信号的频谱与功率谱在数值上及定义上是有差别的，但两者的联 系也是很密切的，其关系为：400600其中T为信号的周期。本例中的主要目的是观察被调用信号f (t)及已调用信号y(t )的谱线在频域上的位置变化及关系，验证调制定理，而在数值上的差别予以忽略。另外，一般“信号与系统”教材介绍的信号调制多为幅度、双边带且抑制载波调制方式，所以例 9.5也仅涉及这种方式。但是，函数modulate ()中的method'可设置多种调制方式以适合于具体的调制要求，有兴趣的读者可查阅相关资料，这里丛略。此外，也可以直接生成调制信号 A(0 = /(0cos(wor)

18、,并用MATLAB编程求()i f t的频谱。用下例说明。例2 设/ = £(,+1)-E(r- 1)=/()COS(10；T7),试用 MATLAB画出 f (t)、 ()if t的时域波形及其频谱，并观察傅里叶变换的频移特性。解：实现该过程的 MATLAB命令程序如下：R=0.005;t=-1.2:R:1.2;f=Heaviside(t+1)-Heaviside(t-1);f1=f.*cos(10*pi*t); % 已调信号 subplot(221)plot(t,f)xlabel('t');ylabel('f(t)')；subplot(222);p

19、lot(t,f1)；xlabel('t');ylabel('f1(t)=f(t)*cos(10*pi*t)');W1=40;N=1000;k=-N:N;W=k*W1/N;F=f*exp(-j*t*W)*R;求 F(jw)F=real(F);F1=f1*exp(-j*t*W)*R;求 F1(jw)F1=real(F1);subplot(223);plot(W,F);xlabel( 'w');ylabel( 'F(jw)');subplot(224);plot(W,F1);xlabel( 'w');ylabel( &#

20、39;F1(jw)');程序运行结果如图所示。由图5可见，f1( t)的频谱Fi( jw)即是将f (t)的频谱F( jw)搬移到土 10兀处，且 幅度为F( jw)的幅度的一半。(武苜吕*cub工(二图原信号f (t)、调制信号f1( t)的波形及其频谱F( jw)、Fi( jw)4用MATLAB现信号傅立叶变换性质的仿真波形4.1 傅里叶变换的尺度变换特性若f (t) ? F( jw),则傅里叶变换的尺度变换特性为：口工0下面举例说明傅里叶变换的尺度特性。例1:设/(，)=仪，4 1)-&/一1)二，即门宽为T=2的门信号，用MATLAB求1(，)=£(2/ +

21、1)£(万一1)二&()的频谱丫( jw),并与f(t)的频谱F(jw)进行比解：本题中，y(t )信号相当于原信号f (t)在时域上压缩一倍，即y(t ) = f (2t),a = 2 ，按式，Y ( jw) 的频域宽度应是F( jw)的两倍，而幅度下降为 F( jw)的一 半。f (t)的频谱F( jw)已在例9.4中给出。在该例的MATLABE序中，将信号改为： f = Heaviside (2*t+1 ) - Heaviside (2*t-1 )，其他语句不变。这样形成的程序即为 本例的MATLAB®序。程序运行的结果如图3.1所示。为便于观察比较，请读者将

22、3.1与 对比起来看，显然，Y ( jw) 将F( jw)展宽了一倍，而幅度降为 F( jw)的幅度的一时域上压缩一倍的信号4.2 傅里叶变换的时移特性若f (t) ? F( jw),则傅里叶变换的时移特性为：下面举例说明傅里叶变换的时移特性。例2:设顼产他，试用MATLAB绘出f (t)及其频谱(幅度谱及相位谱) 解：程序为下列命令文件。r=0.02;t=-5:r:5;N=200;W=2*pi*1;k=-N:N;w=k*W/N;f1=1/2*exp(-2*t).*Heaviside(t);F=r*f1*exp(-j*t'*w);F1=abs(F);P1=angle(F);subplo

23、t(311);plot(t,f1);grid;xlabel('t');ylabel('f(t)');title('f(t)');subplot(312);plot(w,F1);xlabel('w');grid;ylabel('F(jw)');subplot(313);Plot(w,P1*180/pi);grid;xlabel('w');ylabel('P(度)');程序运行结果如图4.2所示。ftl)lilt Illi 4iiidill 4I1I(iaaI¥kah1IH1

24、F 1 II 1) 1q 4 111 dillli i i I | | |1- F | li1I 15-43-2 d D 123450401B 而 H 与 D 2 A 60-S_-1-B -6-4-2 D 2 A 68图4.2 f(t)及其幅频特性与相频特性例3：设")-g*。？求用MATLAB绘出信号f (t)及其频谱，观察信号时移对信号 频谱的影响。解：MATLAB实现的程序为下列命令文件。r=0.02;t=-2:r:2;N=200;W=2*pi*1;k=-N:N;w=k*W/N;f1=1/2*exp(-2*(t-0.3).*Heaviside(t-0.3);F=r*f1*exp

25、(-j*t'*w);F1=abs(F);P1=angle(F);subplot(311);plot(t,f1);grid;xlabel('t');ylabel('f(t)');title('f(t)');subplot(312);plot(w,F1);grid;xlabel('w');ylabel('幅度');subplot(313);plot(w,P1*180/pi);grid;xlabel('w');ylabel('相位(度)')；程序运行结果如图4.3所示。由图可见，与

26、例4.3的图4.4目比，可知当时域波形右移后幅度谱不变，相位增加-0.3w 。g0.5:1图4.3 f (t)及其幅频特性与相频特性4.3傅里叶变换的频移特性若f (t)1F( jw),则傅里叶变换的频移特性为：/冷曲'一*八干g)例4:设f (t) = e (t +1) - e (t - 1),试用 MATLAB 绘出的频谱 Fi( jw)及F 2 ( jw),并与f (t)的频谱F( jw)进行比较。解：用MATLAB实现的程序如下R=0.02;t=-2:R:2;f=Heaviside(t+1)-Heaviside(t-1);f1=f.*exp(-j*20*t);f2=f.*exp

27、(j*20*t);W1=2*pi*5;N=500;k=-N:N;W=k*W1/N;F1=f1*exp(-j*t*W)*R;f 1(t)的傅里叶变换 F1(j 3)F2=f2*exp(-j*t*W)*R;f 2(t)的傅里叶变换 F2(j 3)F1=real(F1);F2=real(F2);subplot(121);plot(W,F1);xlabel( 'w');yla bel('F1(jw)')；title('F(w)左移到 w=20处的频谱 F1(jw)');subplot(122);plot(W,F2);xlabel('w')

28、;ylabel('F2(jw)');title('F(w)右移至ij w=20处的频谱 F2(jw)');F (w声移到w=2 口处的频漕F2 jw)图4.4傅里叶变换的频移特性的例子由图4.4可见，对比的结果可知F(jw)及)F2 (jw)是将F(jw)分别搬移到w = -20及w = 20处的频谱。4.4 傅里叶变换的时域卷积定理变换的时域卷积定理如下：若信号fi( t) , f2( t)的傅里叶变换分别为，Fi( jw)F2( jw),则：fi( t)f2( t)、Fi( jw) F2 (jw)例5：设f (t) = e (t +1) -e (t -1),

29、 y(t ) =f (t) * f (t )试用 MATLAB给出 f(t) 、y(t)、F(j co )、F(j co )?F(j co )及Y (j co)的图形，验证式(9-13)的时域卷 积定理。解：MATLAB程序如下：R=0.05;t=-2:R:2;f=Heaviside(t+1)-Heaviside(t-1); subplot(321)plot(t,f)xlabel( 't');ylabel( 'f(t)');y=R*conv(f,f); n=-4:R:4; subplot(322);plot(n,y);xlabel('t');yl

30、abel('y(t)=f(t)*f(t)');axis(-3 3 -1 3);W1=2*pi*5;N=200;k=-N:N;W=k*W1/N;F=f*exp(-j*t*W)*R;F=real(F);Y=y*exp(-j*n*W)*R;Y=real(Y);F1=F.*F%>tF(j 3)XF(j 3)subplot(323);plot(W,F);xlabel('w');ylabel('F(jw)');subplot(324);plot(W,F1); xlabel('w');ylabel('FQw).F(jw)'

31、);axis(-20 20 0 4);subplot(325);plot(W,Y);xlabel('w');ylabel('Y(jw)');axis(-20 20 0 4);f (t), y(t ),F( jw) , F(j co)M F(j 3)及Y (jco)的图形如图 3.5所示。由图3.5可见，Y (jco)与F(jco)M F(jco)的图形一致，而y的波形正是我们熟知的t)*f(t)的波形，Y (jco)也是熟知的y(t)的付氏变换，从而验证时域卷积定理。4.5 傅里叶变换的对称性傅里叶变换的对称性为：若：f (t) ? F(jw),贝U:F( jt

32、) ? 2pf (-w)下面举例说明付里叶变换的对称性。例6:设f(t ) = Sa(t ),已知信号f(t)的傅里叶变换为：R/加二唯二巾的刊用MATLAB 求做t)=pg (t)的傅里叶变换F1 (jw),并验证对称性。解：MATLAB程序为：r=0.01;t=-15:r:15;f=sin(t)./t;f1=pi*(Heaviside(t+1)-Heaviside(t-1);N=500;W=5*pi*1;k=-N:N;w=k*W/N;F=r*sinc(t/pi)*exp(-j*t*w);F1=r*f1*exp(-j*t*w);subplot(221);plot(t,f);xlabel( &

33、#39;t' );ylabel( 'f(t)');subplot(222);plot(w,F);axis(-2 2 -1 4);xlabel( 'w' );ylabel( 'F(w)');subplot(223);plot(t,f1);axis(-2 2 -1 4);xlabel( 't' );ylabel( 'f1(t)');subplot(224);plot(w,F1);axis(-20 20 -3 7);xlabel( 'w');ylabel( 'F1(w)');程序运

34、行结果如图4.6所示。14图4.6傅里叶变换对称性实例由图可见，f (t ) =Sa(t )的傅里叶变换为)二冗g式)，F(jf)=/W)=咫(r)的傅里叶变换为匕(j)=2乃，() = 2可()考虑到sa(w)是w的偶函数，因此我们有：F jt 2pf ( w),即验证了傅里叶变换的对称性。4.6 傅里叶变换的时域微分特性傅里叶变换的时域微分特性为：若 f (t)F jw ，则：下面举例说明傅里叶变换的一阶微分特性。例7:已知f (t)的波形如图9.13所示，试用MATLAB求f (t)及df (t)/ dt的傅里叶变换, F(jw)及F1jw,并验证时域微分特性。图4.7 f(t) 的波形

35、解：在MATLAB中，有专门的三角波形生成函数sawtooth。，其格式为： f = sawtooth(t, width)其中width(0<widthW1的标量)用于确定最大值的位置，即当t从0到2冗'width变化时，f从-1上升到+1,然后当t从2J width至2九时f又线性地从+1下降到-1,周而复始。当width=0.5时，可产生一对称的标准三角波。利用此三角波与一门信号g2兀(t)相乘，再进 行必要的幅度调整(乘系数2/冗)，并时移(左移冗)可得到f(t):f (/)+ 江。5) x (Heaviside(t + 九)一 Heaviside(f tf)又设f 1 (

36、 t) = df( t)/dt ,其波形为：4)一兀0冗-1fi( t)可用阶跃函数Heaviside()生成：fy (t) = Heaviside(t + 兀 j - 2 Heaviside(t) + Heaviside(t - K)即验证:r=0.01;t=-5:r:5;f1=Heaviside(t+pi)-Heaviside(t-pi);f2=Heaviside(t+pi)-2*Heaviside(t)+Heaviside(t-pi);f=pi/2*(sawtooth(t+pi,0.5)+1).*f1;w1=2*pi*5;N=200;k=-N:N;w=k*w1/N;F=r*f*exp(-

37、j*t*w);F2=r*f2*exp(-j*t'*w)F3=F2./(j*w);subplot(411);plot(t,f2);set(gca, 'box', 'off' )xlabel('t');ylabel( 'f2(t)');subplot(412);plot(t,f);set(gca,'box','off')xlabel('t');ylabel('f(t)');subplot(413);plot(w,F);set(gca,'box',&

38、#39;off')xlabel('w');ylabel('F(jw);subplot(414);plot(w,F3); set(gca, xlabel( ylabel('box','off')；程序运行结果如图4.8所示。结果表明，F( jw)与“)型回1'w')；'F3(jw)'-1m0-40-30-20-10102030图4.8时域微分特性的例子 从而验证了时域微分特性。心得体会在本次课程设计中，我学会了很多，例如会强迫自己动手，整合思路，查找资料，为己所用。平时所学的理论知识只是基础，真正应用

39、软件做设计的时候才能知道自己的局限性。一味停留在老师的教学中自己能做的实在是少之又少。老师只是在较高的层次上为自己的学习指明道路，为数字信号处理的整体概念指出思路。至于具体的某个程序要怎么编写，某个新后要怎么处理，不可能手把手的交给自己。所以就应该学会利用资料，首先就是互联网，然后是图书馆。由于本次课设的时间限制，最合理的资料应该是互联网，快速，方便。搜集到资料以后不能照抄，应该仔细阅读，读懂，然后根据自己的要求改变参数。总之，只有知道怎么自己学习，才能知道怎么自己动手。还有就是，在具体的方面，我的收获是了解了MATLAB 这个软件，熟悉了 MATLAB在数字信号处理过程中的应用，并能正确地运

40、用它对语音信号进行采样、设计滤波器、分析频谱特性等。能将之前所学的理论知识和这次的设计及仿真结合起来，掌握了滤波器的设计和正确使用，加深了对数字信号处理的理解。比如之前对时域，频域，FFT等概念只是有了抽象上的了解，并没有很深刻的掌握，通过这次的反复利用，加深了理解和印象。对于FIR 并不知道各种滤波器到底怎么用，到底有什么不同，这次设计把这些滤波器全都利用了一遍，实在是获益匪浅。参考文献1、 MATLAB 及在电子信息课程中的应用，陈怀琛主编，电子工业出版社，2003.07（第二版）2、信号与系统分析及MATLAB 实现，梁虹编，电子工业出版社，2002.02参考书3、 MATLAB6.X

41、信号处理，邹鲲等编，清华大学出版，2002.05（第一版）4、精通MATLAB6.5 版，张志涌编，北京航空航天大学出版社，2003.03（第一版）5、 MATLAB M 语言高级编程，陈永春编，清华大学出版社，2004.01（第一版）6、 MATLAB 程序设计，阮沈勇、王永利等编，电子工业出版社，2004.01（第一版）附录MATLAB 常用函数表函数名功能abs求绝对值或第数求模angle求复数相角axis设置坐标轴范围cla清除当前他标轴clc清除工作空间显示的所有内容clear清除工作空间变量elf清除当前图形conv求离散序列卷积和cos余弦函数deconv解卷积diff符号微分exp指数函数eye产生单位矩阵ezniesh符号函数三维作图ezplot符号函数二维作图函数名功能gcf当前图形窗口句柄get获取