行列式按行列展开ppt课件

1、五五. 行列式按行列展开行列式按行列展开对于三阶行列式，容易验证：对于三阶行列式，容易验证：333231232221131211aaaaaaaaa333123211333312321123332232211aaaaaaaaaaaaaaa 可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式的计算。可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式的计算。问题：一个问题：一个n 阶行列式是否可以转化为若干个阶行列式是否可以转化为若干个 n1 阶行列式阶行列式 来计算？来计算？定义定义1： 在在 n 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素ija所在的第所在的第 i 行和行和 第第 j 列划去后，余下的列划去后，余下的

2、 n1 阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素ija的的 余子式。余子式。记为记为ijM称称 ijjiijMA 1为元素为元素ija的代数余子式。的代数余子式。例如：例如：44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD 44424134323114121123aaaaaaaaaM 2332231MA .23M 44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD 44434134333124232112aaaaaaaaaM 1221121MA 12M 33323123222113121144aaaaaa

3、aaaM 444444441MMA 注：行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和一个注：行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和一个 代数余子式。代数余子式。行列式等于它的任一行列的各元素与其对应行列式等于它的任一行列的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即的代数余子式乘积之和，即ininiiiiAaAaAaD 2211 ni, 2 , 1 定理定理1：证明：证明： （先特殊，再一般）（先特殊，再一般）分三种情况讨论，我们只对行来证明此定理。分三种情况讨论，我们只对行来证明此定理。(1)假定行列式假定行列式D的第一行除的第一行除11a外都是外都是 0 。nnnnnaaaaaaaD2122221

4、1100 由行列式定义，由行列式定义，D 中仅含下面形式的项中仅含下面形式的项nnnjjjjjjaaaa32323211),1()1( nnnjjjjjjaaaa323232),1(11)1( 其中其中nnnjjjjjjaaa323232), 1()1( 恰是恰是11M的一般项。的一般项。所以，所以，1111MaD 111111)1(Ma 1111Aa (2)设设 D 的第的第 i 行除了行除了ija外都是外都是 0 。nnnjnijnjaaaaaaaD1111100 把把D转化为转化为(1)的情形的情形把把 D 的第的第i行依次与第行依次与第1 i行，第行，第2 i行，行，第第2行，第行，第

5、1行交换；再将第行交换；再将第j列依次与第列依次与第1 j列，列，第第2 j列，列， 第第2列，第列，第1列交换，这样共经过列交换，这样共经过2)1()1( jiji次交换行与交换列的步骤。次交换行与交换列的步骤。由性质由性质2，行列式互换两行列行列式变号，行列式互换两行列行列式变号，得，得，nnjnnjnijijiijjiaaaaaaaD1, 11, 1, 1200)1( ijjiijijjiAMa )1()1(3)一般情形一般情形nnnniniinaaaaaaaaaD212111211 nnnniniinaaaaaaaaa212111211000000 nnnninaaaaaaa21111

6、21100 nnnninaaaaaaa2121121100 nnnninnaaaaaaa211121100 ininiiiiAaAaAa 2211 ni, 2 , 1 例如，行列式例如，行列式277010353 D27013 D按第一行展开，得按第一行展开，得27005 77103 证毕。证毕。行列式任一行列的元素与另一行列的对应行列式任一行列的元素与另一行列的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即元素的代数余子式乘积之和等于零，即., 02211ikAaAaAainknikik 定理定理2：证明：证明：由定理由定理1，行列式等于某一行的元素分别与它们，行列式等于某一行的元素分别与它们代数余子

7、式的乘积之和。代数余子式的乘积之和。在在nnnnknkkiniinaaaaaaaaaaaaD21212111211 中，如果令第中，如果令第 i 行的元素等于行的元素等于另外一行，譬如第另外一行，譬如第 k 行的元素行的元素那么，那么， inknikikAaAaAa2211nnnnknkkknkknaaaaaaaaaaaa21212111211第第i行行右端的行列式含有两个相同的行，值为右端的行列式含有两个相同的行，值为 0 。综上，得公式综上，得公式 inknikikAaAaAa2211 ），（当当）（当当ikikD0 , njnljljlAaAaAa2211 ），（当，（当）（当（当jlj

8、lD0 ,在计算数字行列式时，直接应用行列式展开公式并不一定在计算数字行列式时，直接应用行列式展开公式并不一定简化计算，因为把一个简化计算，因为把一个n阶行列式换成阶行列式换成n个个n1阶行列阶行列式的计算并不减少计算量，只是在行列式中某一行或某一式的计算并不减少计算量，只是在行列式中某一行或某一列含有较多的零时，应用展开定理才有意义。但展开定理列含有较多的零时，应用展开定理才有意义。但展开定理在理论上是重要的。在理论上是重要的。利用行列式按行按列展开定理，并结合行列式性质，可简利用行列式按行按列展开定理，并结合行列式性质，可简化行列式计算：计算行列式时，可先用行列式的性质将某化行列式计算：计

9、算行列式时，可先用行列式的性质将某一行列化为仅含一行列化为仅含1个非零元素，再按此行列展开个非零元素，再按此行列展开,变为低一阶的行列式，如此继续下去，直到化为三阶或变为低一阶的行列式，如此继续下去，直到化为三阶或二阶行列式。二阶行列式。例例1: 1: 计算行列式计算行列式3351110243152113 D03550100131111115 312 cc 34cc 0551111115)1(33 055026115 5526)1(31 5028 .40 12rr 例例2:2:证明范德蒙德证明范德蒙德(Vandermonde)(Vandermonde)行列式行列式 1112112222121)

10、.(111jinjinnnnnnnxxxxxxxxxxxD)1( 证明：证明：用数学归纳法用数学归纳法21211xxD 12xx , )(12 jijixx(1) 当当n=2时时,结论成立。结论成立。(2) 设设n1阶范德蒙德行列式成立，往证阶范德蒙德行列式成立，往证n阶也成立。阶也成立。112112222121111 nnnnnnnxxxxxxxxxD11 nnrxr211 nnrxr112rxr )()()(0)()()(0011111213231222113312211312xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxnnnnnnnn ,)(11提提出出因因子子列列展展开开，并并把把

11、每每列列的的公公按按第第xxi 223223211312111)()( nnnnnnxxxxxxxxxxxx n-1阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式)()()(211312jjininxxxxxxxx ).(1jjinixx 证毕。证毕。练习：用降阶法练习：用降阶法 （按行按列展开）（按行按列展开） 计算行列式的值。计算行列式的值。2421164214112111 =57五加）五加）. 利用性质及展开定理计算行列式的例题：利用性质及展开定理计算行列式的例题：例例1：29031132434124141 214rr 232rr 29035500341281707 按第二列展开按第二列展开29355

12、08177)1(122 32cc 21135008257 按第二行展开按第二行展开113257)1(532 10)7577(5 例例2：axaaaaaxaaaaaxaaaaaxD nccc 21)2(anx axaaaaxaaaaxaaa 111111312 rrrrrrn )2(anx axaxaxaaa2000020000201 1)2()2( naxanx例例3 3：nD001030100211111 箭形行列式箭形行列式目的：把第一列化为目的：把第一列化为0011a成三角形行列式成三角形行列式ncnccc13121321 nini00003000020111112 )11( !2 ni

13、in例例4：baaaaabaaaaabaaaaabaDnnnn 32132132132111312 rrrrrrn bbbbbbaaaban 000000321nccc 21箭形行列式箭形行列式bbbaaabaaann 000000000)(3221121)()( nnbbaaa例例5：4321xaaaaxaaaaxaaaaxD )4 , 3 , 2 , 1,( iaxi（可以化为箭形行列式）（可以化为箭形行列式）14131312rrrrrrrr axxaaaxxaaxxaaaax 413121100000)()(4321axaxaxax 10010101001143211 axaaxaaxa

14、axx4321cccc 41)(iiax1000010000104324211axaaxaaxaaxaaxxii 414211)(iiiiaxaxaaxx思考题思考题: :阶行列式阶行列式设设nnnDn00103010021321 求第一行各元素的代数求第一行各元素的代数余子式之和余子式之和.11211nAAA 解解:第一行各元素的代数余子式之和可以表示成第一行各元素的代数余子式之和可以表示成nAAA11211 n001030100211111 .11!2 njjn六六. Cramer 法则法则引入行列式概念时，求解二、三元线性方程组，当系数引入行列式概念时，求解二、三元线性方程组，当系数行列

15、式行列式0 D时，方程组有唯一解，时，方程组有唯一解，)3 , 2 , 1( iDDxii含有含有n个未知数，个未知数，n个方程的线性方程组，与二、三元线性方个方程的线性方程组，与二、三元线性方程组类似，它的解也可以用程组类似，它的解也可以用n阶行列式表示。阶行列式表示。Cramer法则：法则：如果线性方程组如果线性方程组)1(22112222212111212111 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa的系数行列式不等于零，的系数行列式不等于零，nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 0 即即.,232211DDxDDxDDxDDxnn 其中其中

16、是把系数行列式是把系数行列式 中第中第 列的元素用方程列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即阶行列式，即jDDjnnnjnnjnnnjjjaabaaaabaaD1,1,111, 111, 111 则线性方程组则线性方程组(1)(1)有唯一解，有唯一解，证明：证明： njnnjnnnnnjjnnjjnnAbAxaxaxaAbAxaxaxaAbAxaxaxa221122222221211111212111 得得个个方方程程的的依依次次乘乘方方程程组组列列元元素素的的代代数数余余子子式式中中第第用用,1,21nAAAjDnjjj再把再把 方程依次相加，得

17、方程依次相加，得n,111111 nkkjknnkkjknjnkkjkjnkkjkAbxAaxAaxAa由代数余子式的性质可知由代数余子式的性质可知, , njDDxjj, 2 , 1 DDxDDxDDxDDxnn ,232211于是于是 2当当 时时, ,方程组方程组(2)(2)有唯一的一个解有唯一的一个解0 D上式中除了上式中除了jx的系数等于的系数等于D,其他其他)(jixi 的系数均等于的系数均等于0，而等式右端为，而等式右端为jD由于方程组由于方程组(2)(2)与方程组与方程组(1)(1)等价等价, ,所以所以.,232211DDxDDxDDxDDxnn 也是方程组的也是方程组的(1

18、)(1)解。解。例例1： 用用Cramer法则解线性方程组。法则解线性方程组。 067452296385243214324214321xxxxxxxxxxxxxx解：解：6741212060311512 D212rr 24rr 127702120603113570 12772121357 212cc 232cc 277010353 2733 27 67402125603915181 D81 67012150609115822 D108 60412520693118123 D27 07415120903185124 D27 ,32781 11 DDx所所以以, 42 x, 13 x. 14 x注

19、注:1. Cramer法则仅适用于方程个数与未知量个数相等的情形。法则仅适用于方程个数与未知量个数相等的情形。理论意义：给出了解与系数的明显关系。理论意义：给出了解与系数的明显关系。 但用此法则求解线性方程组计算量大，不可取。但用此法则求解线性方程组计算量大，不可取。3. 撇开求解公式撇开求解公式,DDxjj Cramer法则可叙述为下面定理：法则可叙述为下面定理：定理定理1：如果线性方程组如果线性方程组(1)(1)的系数行列式的系数行列式 则则(1)(1)一定有解一定有解, ,且解是唯一的且解是唯一的 . .定理定理2：如果线性方程组如果线性方程组(1)(1)无解或有两个不同的解，无解或有两

20、个不同的解，则它的系数行列式必为零则它的系数行列式必为零. .0 D nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111线性方程组线性方程组不不全全为为零零, ,若若常常数数项项nbbb,21 则称此方程组为非齐次线性方程组。则称此方程组为非齐次线性方程组。,21全全为为零零若若常常数数项项nbbb此时称方程组为齐次线性方程组。此时称方程组为齐次线性方程组。非齐次与齐次线性方程组的概念非齐次与齐次线性方程组的概念: : 2000221122221211212111 nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa齐次线性方程组齐次线性方

21、程组易知，易知，021 nxxx一定是一定是(2)的解，的解， 称为零解。称为零解。若有一组不全为零的数是若有一组不全为零的数是(2)的解，称为非零解。的解，称为非零解。 000221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa有非零解有非零解. .系数行列式系数行列式0 D定理定理3：定理定理4：如果齐次线性方程组有非零解，如果齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式必为则它的系数行列式必为0。如果齐次线性方程组的系数行列式如果齐次线性方程组的系数行列式, 0 D则齐次线性方程组没有非零解。则齐次线性方程组没有非零解。例例2： 问问 取何值时，取何值时

22、， 齐次线性方程组齐次线性方程组 有非零解？有非零解？ 010320421321321321xxxxxxxxx 解：解： 111132421D 101112431 31214313 )3)(2(312123 齐次方程组有非零解，那么齐次方程组有非零解，那么0 D所以所以 或或 时齐次方程组有非零解。时齐次方程组有非零解。2, 0 3 对于对于n元齐次线性方程组的元齐次线性方程组的Cramer法则的推论，常被用来法则的推论，常被用来解决解析几何的问题。解决解析几何的问题。例例3:求空间的四个平面求空间的四个平面0 iiiidzcybxa相交于一点的条件。相交于一点的条件。解：解： 四个平面相交于一点，即线性方程组四个平面相交于一点，即线性方程组 00004444333322221111dzcybxadzcybxadzcybxadzcybxa有唯一解。有唯一解。从另一角度看，形式上可以把从另一角度看，形式上可以把)1 ,(zyx看作是四元看作是四元线性方程组线性方程组 000044342414433323134232221241312111xdxcxbxaxdxcxbxaxdxcxbxaxdxcxbxa的一组非零解。的一组非零解。因为齐次线性方