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文档简介

1、Sept 38, 2012四川大学数学学院 徐小湛白鹭溪Sept 38, 2012四川大学数学学院 徐小湛考虑以下递归定义的数列：考虑以下递归定义的数列：121321,.,.nnxm xmxxmxxmx其中其中m是任何正实数。是任何正实数。可以证明：以上数列可以证明：以上数列(1)当当m=2时是常数时是常数列；列；(2)当当m2时单调减少的；时单调减少的；(3)当当m2时单调减少，且有下界；时单调减少，且有下界；以上数列当以上数列当m2时数列单调减少，且有下界。时数列单调减少，且有下界。首先，首先，1122xmmmxx然后假设，然后假设，1nnxx那么那么11nnnnxmmxxx所以，由数学归

2、纳法，对所有的所以，由数学归纳法，对所有的 n，都有，都有1nnxx，于是数列是单调减少的。，于是数列是单调减少的。（因为（因为 ）22mm显然，这个正数列以显然，这个正数列以0为下界。为下界。Sept 38, 2012四川大学数学学院 徐小湛(3) 数列当数列当m2时单调增加，且有上界时单调增加，且有上界m+2。首先，首先，1122xmmmxx然后假设，然后假设，1nnxx那么那么11nnnnxmmxxx所以，由数学归纳法，对所有的所以，由数学归纳法，对所有的 n，都有，都有1nnxx，于是数列是单调增加的。，于是数列是单调增加的。（因为（因为 ）22mmSept 38, 2012四川大学数

3、学学院 徐小湛这就证明了，这就证明了， 是数列的上界。是数列的上界。下面用数学归纳法证明数列有上界下面用数学归纳法证明数列有上界2m首先，首先，12xmm然后假设，然后假设，2nxm。那么。那么12222nnxmxmmmm（因为（因为 ）2222(2)44mmmm所以，由数学归纳法，对所有的所以，由数学归纳法，对所有的 n，都有，都有2nxm2mSept 38, 2012四川大学数学学院 徐小湛根据单调有界数列必有极限的准则，根据单调有界数列必有极限的准则，对所有大于对所有大于0的数的数m，以上数列都收敛。，以上数列都收敛。记记 limnnxA由由1nnxmx，得，得21limlim()nnnnxmx两端取极限：两端取极限：得得 或或2AmA20AAm由二次方程的求根公式，解得由二

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