高数 函数的单调性与极值（课堂PPT）

1、1主讲教师主讲教师: 王升瑞王升瑞高等数学 第十八讲2第九节一、函数的单调性一、函数的单调性二、函数的极值及其求法二、函数的极值及其求法函数的单调性与极值 第二二章 3一、一、 函数的单调性函数的单调性若定理定理 1. 设函数)(xf0)( xf则 在 I 内单调递增)(xf, )0)( xf(递减) .证证: 无妨设,0)(Ixxf任取)(,2121xxIxx由拉格朗日中值定理得)()()(1212xxfxfxf),(21xxI0故. )()(21xfxf这说明 在 I 内单调递增.)(xf在开区间 I 内可导,证毕I 称为单调递增(递减) 区间。4例例1. 确定函数31292)(23xxx

2、xf的单调区间.解解:12186)(2xxxf)2)(1(6xx令,0)( xf得2, 1xxx)(xf )(xf) 1,(2001)2,1 (),2(21故)(xf的单调增单调增区间为, ) 1,();,2()(xf的单调减单调减区间为).2,1 (12xoy12为驻点为驻点5yxo说明说明: 单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点. 例如,),(,32xxy332xy 0 xy32xy 2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 .例如,),(,3xxy23xy 00 xyyox3xy 6例例2 2 证明31tan0.32xxxx证：证：令331tan)(xxxxF

3、22( )sec1F xxx )(tan(tanxxxx令xxxg tan)(22( )sec1tan002g xxxx 0)0(tan)(gxxxg0)(xF0)0()( FxF从而2031tan3xxxx成立22tan xx7例例3. 证明. )0(1arctan)1ln(xxxx证证: 设xxxxarctan)1ln()1 ()(, 则0)0(211)1ln(1)(xxx)0(0 x故0 x时, )(x单调增加 , 从而0)0()(x即)0(1arctan)1ln(xxxx思考思考: 证明) 10(arcsin)1ln(11xxxxx时, 如何设辅助函数更好 ?xxxxxarcsin1)

4、1ln()1 ()(2提示提示:8例例4 4 求证)1ln(arctan22xxx证法一：证法一：设)1ln(arctan2)(2xxxxf0)0(fxxxxxxxfarctan21212arctan2)(220)0()( fxf当0 x时)(0)(xfxf0)0()( fxf0)0()( fxf当0 x时0)(xf综上可知，无论x为什么值，总有)1ln(arctan22xxx则不等式成立。当0 x时)(0)(xfxf9例例4 4 求证求证)1ln(arctan22xxx证法证法2：设)1ln(arctan2)(2xxxxf0)0(fxxxxxxxfarctan21212arctan2)(22

5、0)(xfarctan则无论x为什么值，总有)1ln(arctan22xxx则不等式成立对 f (x) 在 0 与 x 之间应用拉格朗日中值定理，有xxxxarctan2)1ln(arctan22式中在 0 与 x 之间，由于与 x 同号，10例例5 5 证明1( )(1)xf xx(0,)1ln( )ln(1)ln(1)ln f xxxxxx11( )(1) ln(1)ln,1xfxxxxx( )lntt ,1tx x1ln(1)ln, 01xxxx111ln(1)ln0,11xxxx0 x ( )0fx1( )(1)xf xx(0,)在证明证明令 在上利用拉格朗日中值定理得故当时，从而 在

6、内单调增加。内单调增加。此函数为幂指函数，两边取对数11例例5 证明方程2xxe在区间(0,1)内有且仅有一个实根。证明证明： 设 2xxexf在区间0,1 上连续， 020f 021ef由零点定理，,1 , 0使 0f即2xxe的根存在。又 01xexfx xf单调增加。 xf的图形至多与 x轴有一个交点，所以方程仅有唯一解。12二、函数的极值及其求法函数的极值及其求法定义定义:,),()(内有定义在设函数baxf, ),(0bax ，的一个邻域若存在0 x在其中当0 xx 时, )()(0 xfxf(1) 则称 为 的极大点极大点 ,0 x)(xf称 为函数的极大值极大值 ;)(0 xf,

7、 )()(0 xfxf(2) 则称 为 的极小点极小点 ,0 x)(xf称 为函数的极小值极小值 .)(0 xf极大点与极小点统称为极值点极值点 .13注意注意:3x1x4x2x5xxaboy41,xx为极大点52,xx为极小点3x不是极值点2) 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或 不存在的点.1) 函数的极值是函数的局部性质.31292)(23xxxxf例如例如 (P146例例4)1x为极大点 , 2) 1 (f是极大值; 1)2(f是极小值 .2x为极小点 , 12xoy1214定理定理2 2（极值存在的必要条件）( )0.fx0()0fx( )yf x如果在x0处可导，且在x0处

8、取得极值，则（证明略）使的点称为函数的驻点。驻点。( )yf x定理2告诉我们，可导函数的极值点必定是驻点，但驻点未必是极值点。 寻求函数的极值点首先要找( )yf x的驻点以及不可导的点，再判断其是否为极值点。15定理定理 3 (极值第一判别法极值第一判别法),)(0的某邻域内连续在设函数xxf且在空心邻域内有导数,0时由小到大通过当xx(1) )(xf “左左正正右右负负” ,;)(0取极小值在则xxf(2) )(xf “左左负负右右正正” ,.)(0取极大值在则xxf(自证)点击图中任意处动画播放暂停x)(xf )(xf0 xx 0 xx 0 x0 )(0 xf为极小值0 x为极小点如：

9、16例例1. 求函数求函数32) 1()(xxxf的极值 .解解: 1) 求导数235( )3fxx1323x35235xx2) 求极值可疑点令,0)( xf得;521x令,)( xf得20.x 3) 列表判别x)(xf )(xf0520033. 0)0,(),0(52),(520 x是极大点， 其极大值为0)0(f是极小点， 其极小值为52x33. 0)(52f17定理定理4 (极值第二判别法极值第二判别法)二阶导数 , 且处具有在点设函数0)(xxf,0)(0 xf0)(0 xf,0)() 1 (0 xf若则 在点 取极大值 ;)(xf0 x,0)()2(0 xf若则 在点 取极小值 .)

10、(xf0 x证证: (1)(0 xf 00)()(lim0 xxxfxfxx0)(lim0 xxxfxx,0)(0知由 xf存在,0,00时当xx0)(0 xxxf时，故当00 xxx;0)( xf时，当00 xxx,0)( xf0 x0 x0 x由第一判别法知.)(0取极大值在xxf(2) 类似可证 .18例例2. 求函数1) 1()(32 xxf的极值 . 解解: 1) 求导数,) 1(6)(22xxxf) 15)(1(6)(22 xxxf2) 求驻点令,0)( xf得驻点1,0, 1321xxx3) 判别因,06)0( f故 为极小值 ;0)0(f又,0) 1 () 1( ff故需用第一

11、判别法判别.,1)(左右邻域内不变号在由于xxf.1)(没有极值在xxf1xy119试问 为何值时,axxaxf3sin31sin)(32x在时取得极值 ,解解: )(xf由题意应有)32(f2a又 )(xf)32(f )(xf取得极大值为3)(32f,3coscosxxa)32(3cos)32cos(a0,3sin3sin2xx 0并求出该极值。指出它是极大还是极小，例例31)21( a12a20内容小结内容小结1. 可导函数单调性判别Ixxf,0)()(xf在 I 上单调递增Ixxf,0)()(xf在 I 上单调递减2. 连续函数的极值(1) 极值可疑点 : 使导数为0 或不存在的点(2)

12、 第一充分条件)(xf 过0 x由正正变负负)(0 xf为极大值)(xf 过0 x由负负变正正)(0 xf为极小值(3) 第二充分条件0)(,0)(00 xfxf)(0 xf为极大值)(0 xf为极小值0)(,0)(00 xfxf21思考与练习思考与练习1. 设, 1)()()(lim2axafxfax则在点 a 处( ).)()(xfA的导数存在 ,；且0)( af)()(xfB取得极大值 ;)()(xfC取得极小值;)()(xfD的导数不存在.B提示提示: 利用极限的保号性 .222. 设)(xf在0 x的某邻域内连续, 且,0)0(f,2cos1)(lim0 xxfx则在点0 x处).(

13、)(xf(A) 不可导 ;(B) 可导, 且;0)0( f(C) 取得极大值 ;(D) 取得极小值 .D提示提示: 利用极限的保号性 .,2)(lim0 xxfx233. 设)(xfy 是方程042 yyy的一个解,若,0)(0 xf且,0)(0 xf则)(xf在)(0 x(A) 取得极大值 ;(B) 取得极小值 ;(C) 在某邻域内单调增加 ;(D) 在某邻域内单调减少 .提示提示:,)(代入方程将xf0)(4)(00 xfxfA得令,0 xx 24作业作业P149 1（1）（2）；2；3 (2)(4) ; 4 ；5(2), (3) (6); 6；7；8.25思考与练习思考与练习 1 ,0上

14、,0)( xf则, ) 1 (, )0(ff)0() 1 (ff或) 1 ()0(ff的大小顺序是 ( )0() 1 ()0() 1 ()(ffffA)0()0() 1 () 1 ()(ffffB)0() 1 ()0() 1 ()(ffffC)0() 1 ()0() 1 ()(ffffD提示提示: 利用)(xf 单调增加 ,) 10()()0() 1 (fff及B1. 设在26 .),(21)1,(2121e2. 曲线21xey的凹区间是凸区间是拐点为提示提示:)21 (222xeyx ),(2121),(21及及yox)1,(2121e)1,(2121e ; ;274、设函数( )yy x3222221yyxyx( )yy x223xyyxyy 0y yx1xy11021y xy( )yy x1x 1.y 由方程所确定，求的极值。