几何概型经典练习习题

1、1几何概型题目选讲几何概型题目选讲1在长为 12 cm 的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于 32 cm2的概率为()错误错误!错误错误!错误错误!错误错误!解析：设ACx，由题意知x(12x)320 x4 或 8x12，所求事件的概率P401281223.2已知圆 C：2212, :4325xylxy在圆上任取一点 P,设点 P 到直线l的距离小于 2 的事件为 A 求 P(A)的值。解：P(A)=163设不等式组0 x20y2表示的平面区域为 D.在区域 D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是解析：坐标系中到原点距离不

2、大于 2 的点在以原点为圆心，2 为半径的圆内及圆上，0 x2，0y2表示的区域 D为边长为 2 的正方形及其内部，所以所求的概率为444444.4在区间0,9上随机取一实数 x，则该实数 x 满足不等式 1log2x2 的概率为_解析：由 1log2x2，得 2x4，根据区间长度关系，得所求概率为29.5在6,9内任取一个实数 m，设 f(x)x2mxm，则函数 f(x)的图像与 x 轴有公共点的概率等于_解析： 函数 f(x)的图像与 x 轴有公共点应满足m24m0， 解得 m4 或 m0， 又 m6,9， 故6m4 或 0m9，因此所求概率 P29151115.6甲、乙两艘轮船驶向一个不

3、能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的(1)如果甲船和乙船的停泊时间都是 4 小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率； (2)如果甲船的停泊时间为 4 小时，乙船的停泊时间为 2 小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率解析：(1)设甲、乙两船到达时间分别为 x、y，则 0 x24,0y24 且 yx4 或 yx4.作出区域0 x24，0y24，yx4 或 yx4.设“两船无需等待码头空出”为事件 A，则 P(A)212202024242536.(2)当甲船的停泊时间为 4 小时， 乙船的停泊时间为 2 小时， 两船不需等待码头空出， 则满足 xy

4、2 或 yx4.2设在上述条件时“两船不需等待码头空出”为事件 B，画出区域0 x24，0y24，yx4 或 xy2.P(B)1220201222222424442576221288.7.知 k 2,2 ， 则 k 的值使得过 A(1,1)可以作两条直线与圆 x2y2kx2y54k0 相切的概率等于【解析】.圆的方程化为222k5kk(x)(y 1)1244 ，5kk240，k1.过 A(1,1)可以作两条直线与圆222k5kk(x)(y 1)1244 相切，A(1,1)在圆外，得222k5kk(1)(1 1)1244 ，k040，k k 1.1.过过A A(1,1)(1,1)可以作两可以作两

5、条直线与圆条直线与圆x xk k2 22 2( (y y1)1)2 25 5k k4 4k k2 24 41 1 相切，相切，A A(1,1)(1,1)在圆外，得在圆外，得1 1k k2 22 2(1(11)1)2 2 5 5k k4 4k k2 24 41 1，k k00，故，故k k( (1,0)1,0)，其区间长度为，其区间长度为 1 1，因为，因为k k 2,22,2，其区间长度为，其区间长度为 4 4，P P1 14 4. .9 9已知集合已知集合A A x x| |33x x11，B Bx x|x x2 2x x3 300.(1).(1)求求A AB B，A AB B；(2)(2)

6、在区间在区间( (4,4)4,4)上任取一个实数上任取一个实数x x，求求“x xA AB B”的概率的概率；(3)(3)设设( (a a，b b) )为有序实数对为有序实数对，其中其中a a是从集是从集合合A A中任取的一个整数，中任取的一个整数，b b是从集合是从集合B B中任取的一个整数，求中任取的一个整数，求“b ba aA AB B”的概率的概率解：解：(1)(1)由已知由已知B B x x| |22x x33，A AB B x x| |22x x11，A AB B x x| |33x x3(a ab b) )2 2恒成立恒成立”的概率的概率3解解：(1)(1)由题意可知由题意可知：

7、n n1 11 1n n1 12 2，解得解得n n2.2.(2)(2)不放回地随机抽取不放回地随机抽取 2 2 个小球的所有基本事件为个小球的所有基本事件为：(0,1)(0,1)，(0,2(0,21 1) )，(0,2(0,22 2) )，(1,0)(1,0)，(1,2(1,21 1) )，(1,2(1,22 2) )，(2(21,1,0)0)，(2(21,1,1)1)，(2(21,1,2 22 2) )，(2(22,2,0)0)，(2(22,2,1)1)，(2(22,2,2 21 1) )，共共 1212 个个，事件事件A A包包含的基本事件为：含的基本事件为：(0,2(0,21 1) )

8、，(0,2(0,22 2) )，(2(21,1,0)0)，(2(22,2,0)0)，共，共 4 4 个个P P( (A A) )4 412121 13 3. .记记“x x2 2y y2 2(a ab b) )2 2恒成立恒成立”为为事件事件B B，则事件，则事件B B等价于等价于“x x2 2y y2 244”，( (x x，y y) )可以看成平面中的点，则全部结果所构成的区域可以看成平面中的点，则全部结果所构成的区域(x x，y y)|0)|0 x x2,02,0y y2 2，x x，y yRR，而事件B所构成的区域B(x，y)|x2y24，(x，y)，P(B)SBS222214.11、

9、“已知圆 C：x2y212，设 M 为此圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点 N，连接 MN.”求弦 MN 的长超过 26的概率解：如图，在图上过圆心 O 作 OM直径 CD.则 MDMC2 6.当 N 点不在半圆弧 CMD上时，MN2 6.所以 P(A)2 322 312.12(1)已知 A 是圆上固定的一点，在圆上其他位置上任取一点 A，则 AA的长度小于半径的概率为_(2)在 RtABC 中，BAC90，AB1，BC2.在 BC 边上任取一点 M，则AMB90的概率为_解析：(1)如图，满足 AA的长度小于半径的点 A位于劣弧 BAC上，其中ABO 和ACO为等边三角形，可知BOC23

10、，故所求事件的概率 P23213.(2)如图，在 RtABC 中，作 ADBC，D 为垂足，由题意可得 BD12，且点 M 在 BD 上时，满足AMB90，故所求概率 PBDBC12214.答案：(1)13(2)1413在体积为 V 的三棱锥 SABC 的棱 AB 上任取一点 P，则三棱锥 SAPC 的体积大于V3的概率是_解析：如图，三棱锥 SABC 的高与三棱锥 SAPC 的高相同作 PMAC 于 M，BNAC 于 N，则PM、BN 分别为APC 与ABC 的高，所以VSAPCVSABCSAPCSABCPMBN，又PMBNAPAB，所以APAB13时，满足条件设ADAB13，则 P 在 B

11、D 上，所求的概率 PBDBA23.14在区间0,1上任取两个数 a，b，则函数 f(x)x2axb2 无零点的概率为解析：要使该函数无零点，只需 a24b20，即(a2b)(a2b)0.4a，b0,1，a2b0，a2b0.作出0a1，0b1，a2b0的可行域，易得该函数无零点的概率 P1121121134.15设 AB6，在线段 AB 上任取两点(端点 A、B 除外)，将线段 AB 分成了三条线段(1)若分成的三条线段的长度均为正整数，求这三条线段可以构成三角形的概率；(2)若分成的三条线段的长度均为正实数，求这三条线段可以构成三角形的概率解：(1)若分成的三条线段的长度均为正整数，则三条线段的长度的所有可能情况是 1,1,4；1,2,3；2,2,2 共 3种情况，其中只有三条线段长为 2,2,2 时，能构成三角形，故构成三角形的概率为 P13.(2)设其中