经济学专业数学复合函数和隐函数的偏导数配套课件

1、2022年年4月月17日星期日日星期日1第三节 复合函数和隐函数的偏导数 第六章第六章 一、复合函数的偏导数一、复合函数的偏导数 二、隐函数的偏导数二、隐函数的偏导数 三、小结与思考练习三、小结与思考练习2022年年4月月17日星期日日星期日2复习引入一元复合函数一元复合函数)(),(xuufy求导法则求导法则xuuyxyddddddxxufuufyd)()(d)(d微分法则微分法则多元复合函数的多元复合函数的求导法则求导法则和和微分法则微分法则推广推广2022年年4月月17日星期日日星期日3)(),(ttfz一、复合函数的偏导数定理定理1 若函数,)(, )(可导在点ttvtu),(vufz

2、 处偏导连续, ),(vu在点在点 t 可导, tvvztuuztzddddddz则复合函数证证: 设 t 取增量t ,vvzuuzz)()(22vu)(o则相应中间变量且有链式法则vutt有增量u ,v ,2022年年4月月17日星期日日星期日4,0t令,0,0vu则有to)( 全导数公式全导数公式 )tvvztuuztzto)(zvutt)()(22vu )(o )()(22tvtu0(t0 时,根式前加“”号)tvtvtutudd,ddtvvztuuztzdddddd2022年年4月月17日星期日日星期日5若定理中 ),(),(vuvuf在点例如例如:),(vufztvtu ,易知:,0

3、)0 , 0()0 , 0(ufuz但复合函数),(ttfz 21ddtztvvztuuzdddd010100)0 , 0()0 , 0(vfvz偏导数偏导数连续连续减弱为偏导数偏导数存在存在, 2t0,22222vuvuvu,0022vu则定理结论不一定成立.说明说明: 2022年年4月月17日星期日日星期日61) 中间变量多于两个的情形. 例如例如, ),(wvufz 设下面所涉及的函数都可微 .tzdd321fff2) 中间变量是多元函数的情形.例如例如,),(, ),(, ),(yxvyxuvufzxz1211ff2221ffyzzzwvuvuyxyxttttuuzddtvvzddtw

4、wzddxuuzxvvzyuuzyvvz)(, )(, )(twtvtu推广推广:2022年年4月月17日星期日日星期日7),(, ),(yxvvxfz当它们都具有可微条件时, 有xz121ffyz22 ffz xyx注意注意:这里xzxfxz表示固定 y 对 x 求导,xf表示固定 v 对 x 求导口诀口诀 :分段用乘分段用乘, 分叉用加分叉用加, 单路全导单路全导, 叉路偏导叉路偏导xfxvvfyvvf与不同,v又如又如,2022年年4月月17日星期日日星期日82lnsin2e(cos ).xxxx2022年年4月月17日星期日日星期日9则则 16ln4vvzv uxuux22421224

5、2226 (42 )(3)4(3)ln(3).xyxyxxyxyxyxy12ln2vvzv uyuuy 224212242222 (42 )(3)2(3)ln(3).xyxyyxyxyxyxy2022年年4月月17日星期日日星期日102ee ()yyuuuuyxuxyzuufffffx yyy eeeeyyyyuuuuyxuxyfxffxff2022年年4月月17日星期日日星期日11为简便起见 , 引入记号,2121vuffuff ),(1zyxzyxff 具有二阶连续偏导数, ),(zyxzyxfw求.,2zxwxw解解: 令,zyxvzyxuxwwvuzyxzyx),(vufw 11 fz

6、yf 2),(2zyxzyxfzy则zxw2111 f22221211)(fyfzyxfzxyf yxf 122fy zy121 fyxf 2221,ff例例5 设 2022年年4月月17日星期日日星期日12全微分的形式不变性设函数),(, ),(, ),(yxvyxuvufz的全微分为yyzxxzzdddxxvvzxuuzd)(yyvvzyuuzd)(uzvzuz可见无论 u , v 是自变量还是中间变量, )dd(yyuxxu)dd(yyvxxv则复合函数) (fz ),(, ),(yxyxudvzvd都可微, 其全微分表达 形式都一样, 这性质叫做全微分形式不变性全微分形式不变性.202

7、2年年4月月17日星期日日星期日13 利用全微分的形式不变性，可以比较容易地得到全微分的四则运算公式： 2d()dd ,d(),(0).uvduudvuvuvuvudvvdudvvv2d()dd ,d(),(0).uvduudvuvuvuvudvvdudvvv例如，例如， ()()d()dddd .uvuvuvuvv uu vuv()()d()dddd .uvuvuvuvv uu vuv()()d()dddd .uvuvuvuvv uu vuv()()d()dddd .uvuvuvuvv uu vuv以上其余两个公式的证明类似. 利用全微分的形式不变性及全微分的四则运算，可使全微分的运算利用全

8、微分的形式不变性及全微分的四则运算，可使全微分的运算更简便更简便.2022年年4月月17日星期日日星期日14解：解：2222222222()dd()d()xyzxxxyzuxyz2222222222()dd()d()xyzxxxyzuxyz2222222222()dd()d()xyzxxxyzuxyz2222222222()dd()d()xyzxxxyzuxyz2d()dd ,d(),(0).uvduudvuvuvuvudvvdudvvv2222222()d(2 d2 d2 d )()xyzxxx xy yz zxyz2222222()d2d2d()yzxxxy yxz zxyz 根据全微分的

9、计算公式，求出du 时也就得到了u的3个偏导数，即2222222()uyzxxxyz22222()uxyyxyz22222()uxzzxyz2022年年4月月17日星期日日星期日15内容小结1. 复合函数求导的链式法则复合函数求导的链式法则“分段用乘分段用乘,分叉用加分叉用加,单路全导单路全导,叉路偏导叉路偏导”例如例如, ),(, ),(yxvvyxfuuvyxyxxu1f 3f;1yu2f 3f22. 全微分形式不变性全微分形式不变性, ),(vufz 对不论 u , v 是自变量还是因变量,vvufuvufzvud),(d),(d课后练习课后练习习题习题632022年年4月月17日星期日

10、日星期日16本节讨论 :1) 方程在方程在什么条件什么条件下才能确定隐函数下才能确定隐函数 .例如例如, 方程02Cyx当 C 0 时, 不能确定隐函数;2) 在方程能确定隐函数时在方程能确定隐函数时,研究其研究其连续性、可微性连续性、可微性 及及求导方法求导方法问题问题 .二、隐函数的偏导数二、隐函数的偏导数2022年年4月月17日星期日日星期日17定理定理3 3 设函数),(00yxP),(yxF;0),(00yxF则方程00),(xyxF在点单值连续函数 y = f (x) , )(00 xfy 并有连续yxFFxydd(隐函数求导公式隐函数求导公式)定理证明从略，仅就求导公式推导如下：

11、 具有连续的偏导数;的某邻域某邻域内内可唯一确定一个在点的某一邻域内满足0),(00yxFy满足条件导数2022年年4月月17日星期日日星期日180)(,(xfxF两边对 x 求导0ddxyyFxFyxFFxydd0yF,0),()(所确定的隐函数为方程设yxFxfy在),(00yx的某邻域内则2022年年4月月17日星期日日星期日19解解 222222121()21( )xxyxyFyxyxxyx 22222121121( )yyyxFyxyxxyx d.dxyFyxyxyxFyxxy 2022年年4月月17日星期日日星期日20若函数 ),(000zyxP),(zyxFzyzxFFyzFFx

12、z,的某邻域内具有连续偏导数连续偏导数 ,则方程0),(zyxF在点),(00yx并有连续偏导数, ),(000yxfz 定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 定理证明从略, 仅就求导公式推导如下:满足0),(000zyxF0),(000zyxFz 在点满足:某一邻域内可唯一确定理定理42022年年4月月17日星期日日星期日210),(,(yxfyxF两边对 x 求偏导xFzxFFxzzyFFyz同样可得,0),(),(所确定的隐函数是方程设yxFyxfz则zFxz00),(000zFzyx的某邻域内在2022年年4月月17日星期日日星期日22因此因此,所以所以,2022年年4月

13、月17日星期日日星期日23内容小结1. 隐函数存在定理隐函数存在定理2. 隐函数隐函数 求导方法求导方法方法方法1. 利用复合函数求导法则直接计算利用复合函数求导法则直接计算 ;方法方法2. 代公式代公式课后练习课后练习习题习题63思考练习思考练习1. 设设, ),(zyxzyxfz求求.,yxzxxz2022年年4月月17日星期日日星期日24zx ),(zyxzyxfzxz1f xz 12f xzyxzyxz21fzyf211fyxf 11f 1zx2f yxzxzy 211fyxf21fzyfyx 01f 1yx2f zxyxzy 21fzxf21fzyf解法解法1:2022年年4月月17日星期日日星期日25),(zyxzyxfz,yxzd1f zyxddd2f zyxyzxxzyddd:dx解出 d x21fzyfzfyxfd121yfzxfd21.zx由d y, d z 的系数即可得解法解法2： 利用全微分形式不变性同时求出各偏导数利用全微分形式不变性同时求出各偏导数.2022年年4月月17日星期日日星期日26雅可比(1804 1851)德国数学家. 他在数学方面最主要的成就是和挪威数学家阿贝儿相互独地奠定了椭圆函数论的基础. 他对行列式理论也作了