第五章 变形监测网数据处理的方法

1、朱宝训朱宝训测绘与城市空间信息系测绘与城市空间信息系5.1 基于经典平差的变形网数据处理5.2 秩亏自由网概述5.3 基于秩亏自由网平差的变形网数据处理5.4 自由网拟稳平差minPVVT022)(PAVdXdVPVdXPVVdTTT0PVATAXVL误差方程式：设观测值权为P，根据最小二乘原理：求极值，有：PlANXT1lEPAANlAXVT)(1PlAANAXVllT1PlANXT平差值: PlAPAXAlAXPATTT0)(XXd（1）变形网为测角网、边角网或GPS网选择稳定可靠的点作为已知点。建立误差方程式。 列出各观测的误差方程后，便可组成法方程，最后求出各点坐标及有关平差量。 计算

2、变形值。根据不同时期两次观测的平差，可以求出两次观测时网点的位置网点移动的变形值为：（2）高程变形监测网 当网中只有一个稳定点时，可以该稳定点为起算点，对网进行平差，确定各点高程，然后根据各期观测中网点的高程，确定网点的变形：HHd任选一点为起算点，进行平差，确定各点的高程（坐标）。分析确定各稳定点，将上述平差后的高程（坐标）作为这些稳定点的已知高程，然后以这些稳定点为固定点对各期进行平差计算。根据各期观测网点的高程（坐标）确定网点的变形值。（3）当网中有多个稳定点时，可按下列步骤计算： 某水电站蓄水前建立的变形测角网，并以实测基线为起算边进行平差。 大坝蓄水后80年代重新观测，除测角外，观测

3、4条边。 这之前通过水准测量发现原基线两端都产生了移动。 第二次平差发现，所有边平均增加12cm，通过实际分析，认为两次观测边长中包含系统误差。必须舍弃边观测值，采用纯测角网进行平差。1.选择初次观测时基线的两个端点为已知点或选择其中一个端点为已知点，任选一个方向为已知方向，按间接平差求出各点坐标。2.选择两个稳定点，以这两个点为已知的起始点，这两个点的已知坐标取上述平差取得的坐标，把整个网看作一个测角网重新平差。3.以后各期观测都以上述两个稳定点为起始点进行平差。4.根据各期观测结果计算网点移动变形值。0000,yyyxxxssss已知点坐标已知点误差坐标理论值 假定边长观测值表示的是一已知

4、点与待定点 之间的距离，i200200)()(siisiiiyyyxxxVsiisiisiilysyyxsxxV0000线性化后有：则误差方程式为：理论值Ai0200200)()(iisisiiissyyxxsl000000200200)()(ysyyxsxxyyxxslsisisisiii其中：化简：)2()1()2(0iiiiilllssl有实际计算时取： 2020)()(sisiiiyyxxsl有： 20002000)()(yyyxxxslsisiii)()2()1(11llPANPlANXlAXVTT)2(1)1(1PlANPlANTT)2(1)1(1PlANPlANXTT)2(1)1

5、(1PlANPlANXTTXXd 结论：起算数据误差对移动没有影响。 在两期观测过程中，起算点（已知点）能保持稳定不变。0000,yyyxxxssss)2()2( ll,05. 0,05. 033ssyx,05. 0,05. 044ssyx.05. 0,05. 055ssyx表1 固定点不含误差时待定点的坐标及位移量点名第期第期移动量d/mm1x10007.885910007.8888-2.9y9981.49629981.5003-4.12x9999.98389999.98380y12756.950912756.9522-1.3 假定固定点3、4、5的坐标均有50mm的误差，即： 用同一套观测

6、数据算得待定点1、2的坐标及其位移列于表2。点名第期第期移动量d/mm1x10007.927410007.9303-2.9y9981.53019981.5072-4.12x9999.92549999.92540y12756.010312756.0116-1.3 对比表可以看出：待定点坐标发生了较大变化，但移动量仍然保持不变。 表2 固定点含有误差时待定点的坐标及位移量实例：实例：5.1.4 5.1.4 经典网平差算例经典网平差算例(-21) -13.7mm mmmmHP4623.1037 .13476.103mmHHd7 .13476.1034623.1034、求变形量同时要注意：由误差方程式

7、：AXVLlybxaybxaZvkjkkjkjjkjjkjjk200)(jkjkjksya 200)(jkjkjksxb 式中： 141.102200.100265.101455.1032431hHHhHHhHHhHHPDPCPBAP225. 3190. 2314. 1455. 34321hhhh12)(13)(7)(0)(044033022011CPBPDPAPHHhlHHhlHHhlHHhl4623.1033 . 7455.1030mmmHHHPPP如果：mmHHd10476.1034623.103mmHHd7 .13476.1034623.1037.3mm -13.7mm 近似值103.

8、455： 近似值103.476： 一是网中可能有多个稳定点，选择不同的稳定点作为起算点时，其平差结果肯定不同，因而可能有多组平差解；一是可能很难预先确定变形网哪些点是绝对不动的。当变形网作为经典网平差时的两个问题：当变形网作为经典网平差时的两个问题：1971年，E.Mittermayer提出秩亏自由网平差，这种方法的主要特点是：不预先假定固定点，所有网点等同看待，即所有网点坐标都视为待定量。但由于缺少起算数据，按这种方法组成法方程后，求出的法方程系数矩阵是秩亏的。下面举例说明。在A中，任意二阶行列式不为0，由矩阵理论可知 。3232212111lxVlxxVlxV2)(ARlAAXATT12N

9、0212)(AR 设有一水准网，按经典网平差选3点为已知点，则:即： 011V11021xx321lll法方程：即： 2121ll1221xx32ll故，满秩，法方程由惟一解：3x21,xx2)(AR2)(AR如果网中不设起算点，即把与则上述水准网的误差方程为：011V110101321xxx321lll此时系数矩阵A的行列式为：011A1100101110110，故，A为降秩，由此所得的法方程系数阵有：112N1210211120321，故，N为秩亏的矩阵（奇异矩阵），其凯来逆N-1不存在。等同地看作未知数，此时的法方程为相容方程，按经典平差方法不能得到惟一解。A及N产生秩亏可能有两种原因：

10、 1. 是缺少必要观测值,这种秩亏一般称为形亏 2. 是缺少必要的已知数据，这种情况一般称数亏。对秩亏网的讨论主要是针对数亏网的研究。 1. 如果无固定点（没有限制x，y方向的平移），产生的秩亏数为2。2. 如果无固定方向（没有限制网的旋转），产生的秩亏数为1。3. 如果无固定边也没有边观测值（没有限制比例尺伸缩），产生秩亏数为1。4. 如果无起算高程（没有限制高程方向的平移），产生的秩亏数为1。 对于测角网的秩亏数为2114； 测边网或边角网的秩亏数为213； 高程网的秩亏数为1。 用公式表示为： 测角网：4)()(tNRAR 测边网、边角网：3)()(tNRAR高程网：1)()(tNRAR

11、GPSGPS网秩亏网呢？网秩亏网呢？圆内接四边形性质：圆内接四边形的对角互补。 VlAXPlANXT对于误差方程：求得法方程为：minPVVTminXXT条件极值原理： 取一阶导数为0，得 022NKXXTTNKX 5.3.1 直接求解)(2PlANXKXXTTT附加条件：借鉴：代入法方程，有：PlANNKT1)(PlANNNXT1)(NN仍是秩亏的， 但PlANNNXT1)(却是惟一的 lEPANNANlAXVT)(1PlANNKTNKX PlANXT观测改正数： 可以在方阵中任意去掉d行、d列，把余下的式子（已是满秩的）求出凯来逆，再在原来去掉的行、列补上0，即为NN的一个广义逆。 单位权

12、方差：dtnPVVsT求 ：1)(NN5.3.2 5.3.2 伪观测法伪观测法VlAX11ttddXBl 为了消除秩亏的目的，需要引入d个的观测方程。现设附加观测为 自由网平差的观测方程写成如下形式：ddTIBBdnTOAB附加观测方程式中各个观测方程间应线性无关。即要求满足有此外附加观测值与原观测值之间也应彼此线性无关，即XBAll于是观测方程为：OPBATTBAXBAIOOPllIOlBPlAXBBPAATTTT)(BBPAANTT11 NQ或 令 法方程： 则有： )()(11lBPlAQlBPlANXTTTT 现在的问题是如何确定B和 。l 因N具有秩亏d，故N的特征值中必有d个为零，

13、对应这个零特征值，必存在个线性无关的特征向量, ，由此构成矩阵:用 左乘 式得ONBT1 1、确定、确定B B当OSINiti)(1)(i)(iS令 N的特征值为，相应特征向量为，则特征dtdtttOSNSBTOAS ，就转化为。因此有取dnTOABPATTABOPABATT由，即向量方程为：) 1 (SSdt) 2(S)(dS . ) 0iOSINi)( 在自由网中，伪观测值在自由网中，伪观测值 既然未观测，给定任意就有无既然未观测，给定任意就有无穷组解。按自由网平差最小范数原则：穷组解。按自由网平差最小范数原则：2 2、再确定、再确定llminXXT)()(11lBPlAQQlBPlAXX

14、TTTTTT求导并令其为零：OBQBQlBQBPAQllDXdXTTTTT111122OBBBBABBBBAQBQAQTTTTTT111111)()()(11)(TTTBBBBQIBBPAAQTT)(1BBQIPAAQTT11定义定义OABT右乘TB 所以（1）式中必须Ol （1）至此，和已确定至此，和已确定 ， ，需将需将S S标准化，令标准化，令S S的标准化向量为的标准化向量为G,G,即取即取 ，使使TSB Ol IBBT还要求还要求TGB IGGTOAG ， 因此，原方程加上伪观测方程为 XGAOlT此方程由惟一的最小二乘解。其解为: PlAGGPAAXTTT1)(XSAOlTPlAX

15、SSPAATTT)(伪测方程另外一种形式： 法方程PlASSNPlASSPAAXTTTTT11)()(解为: 秩亏网秩亏网测边网或边角网：水准网：5.3.3 5.3.3 各类自由网各类自由网S S和和G G的确定的确定参考系方程参考系方程01012401xySTm010110yx020201xy020210yx.0001mmxy0010mmyx0101yST0110 x0200y0200 x.000my000mx测角网：GPS网：1 (TS00) 000133TmS010100001010100001010100例题：例题：按全组合测角法对测站J上测角值为L1，L2，L3，L4，L5，L6，现

16、以方向为未知数，设为x1,x2,x3,x4。求各方向值及精度。 J 643654254324341323121211LxxvLxxvLxxvLxxvLxxvLxxv000111A110100011001101010lAXV因为因为 ， 1113AANT3111113113113)(ARON TS)1111(，d=1d=1，由，由 NS=O NS=O 得：得：TG)21212121(lAGGAAXTTT1)(TTTXXGGGGAAQ1)(两种算法所求得的坐标一般是不同的。 通常两种平差方法所求得的改正数V及平差值高程网：平差后高差相同；测角网：图形平差后的图形相同，而图形的位置、方位和比例则不同

17、；边角网或测边网：角度和边长相同，而图形的位置和方位则不同。经经秩秩XXXXTT，这是因为秩亏网平差增加了两种方法所求的不同。经秩)()(xxxxQtrQtr亏网平差发现变形的能力往往比采用经典网平差强的多。 5.3.4秩亏网平差与经典网平差之间的关系l相同。这个条件。)(xxQtr由于，因而在变形检验时，采用秩minXXT但是两种方法求得的单位权方差相同。 与经典网中附有条件的模型不同的是，上式有一条重要特性：minminXXPVVAXVlTTminXXT与0XGT0minXGPVVAXVlTT0AG0 NGPAGAT 由于最小范数条件等价（在此不作证明），因此上述平差模型转换为：上式即为附

18、有条件的间接平差模型， G为参考系方程系数矩阵。从而也有：秩亏网的平差模型实际为：对平差模型，按条件极值有：XGKlAXPlAXXGKPVVTTTTTT2)()(202)(2TTTGKPAlAXX0XGPlAGKPAXATTT0AG上式可简化。 转置并整理后，有：这就是附有条件的间接平差方程，可以直接解算。由于第一式左乘TG有：PlAGGKGPAXAGTTTTT因为0)(TTTAGAG所以K0XGPlAPAXATTT GPlAXGGPAATTT)(尽管PAAT秩亏，但（TTGGPAA）不秩亏，其凯来逆PlAGGPAAXTTT1)( ，=0，则法方程可变为：第二式左乘后加入第一式，有 存在，故：

19、这就是按附加条件法进行秩亏网平差式未知量X的解。令：1)(GGPAAQTT则PlQAXTTTTXGGGGPAAQ1)(0XGT展开，对于平面网有：0iX0iY 对于高程网有：0iX 说明平差后网点坐标重心与近似坐标重心一致，因而称秩亏网平差为重心参考系不变的平差，秩亏网平差的基准是重心基准。将秩亏网平差与经典平差后得到的平差值改正数及观测平差值相同，说明两者之间网形相同。不同的是控制网图形的位置、方位。xy1p2p3pLiLiLiLiLiLiyxyyyxxxcossinsincos坐标变换的公式为：LLyx ,LLyx ,式中表示秩亏网平差的最后坐标；表示经典平差的最后坐标。 实际平差时秩亏平

20、差与经典平差有相同的近似坐标，即：yyyxxxLL00,式中xx,分别表示秩亏平差与经典平差时近似坐标的改正数。代入上式有：yxyxyyyyxyxxxxiiiiiiiiiiicossincossinsincossincos000000 xx,和旋转量都是一个很小的量，iiiiiyyxxycos,cos, 0siniiiiiiiixyyyyyxxxx0000sin) 1cos(sin) 1cos(Tyxt)sin, 1cos,(令 考虑所有网点的变换公式，则有：GtXX0101G101002020101yxyx02020101xyxy minXXT02tXXtXXTT0XGT 根据秩亏自由网平差

21、的最小范数条件，有：即：GtXX0）（GtXGTXGGtGTTXGGGtTT1）（XGGGGXGtXXTT1)(XGGGGETT)(1XGGEXT)()()(TXTXGGEQGGEQ如果去标准化的G，则有：（1）先进行了经典平差，（2）利用经典平差求得的待定未知量的估计与固定点坐标改正数一起构成 ，即经典平差结果为：（3）将经典平差结果转化为秩亏自由网平差结果。PlANXT1111111 NQX01XX01xXQQ00XGGGGEGtXXTT)(1XmLmLmLmLmLmL217. 1099. 0079. 0142. 1114. 1023. 0654321111222654321PPPPPPmx078.10001mx099.10002mx000.10003mx216.10104 5.3.6 5.3.6 秩亏网平差算例秩亏网平差算例有一水准路线，如图5-7所示，各路线的高差观测值及权为 各点的高程近似值： 利用秩亏自由网平差原理求各点高程。1 1、直接求解法、直接求解法2 2、伪观测法、伪观测法第一种情况把G标准化