第十六章 多元函数的极限与连续ppt课件

1、2二元函数的极限3二元函数的连续性1 平面点集与多元函数1 平面点集与多元函数以点 X0 = (x0, y0)为中心, 以 为半径的圆内部点的全体称为 X0 的 邻域.即),(0X)()(| ),(2020yyxxyx| | ),(0XXyxX记 (X0, ) = U (X0, ) X0 , 称为 X0 的去心 邻域.如图),(0X记作X0X0U (X0, ) (X0, ) 当不关心邻域半径时, 简记为U (X0 )和 (X0).设 E 是一平面点集, X0 = (x0, y0)E, 若存在邻域 U(X0 , ) E , 则称 X0 为 E 的内点.E 的全体内点所成集合称为 E 的内部, 记

2、为E0.,122为单位圆盘的定义域比如DyxzD = (x, y)| x2 + y2 1 如图xyox2 + y2 = 111D易知易知, 圆内部的每一点都是圆内部的每一点都是 D 的内点的内点. 但但圆周上的点不是圆周上的点不是 D 的内点的内点.x + y = 0 xy0如图D又如 z = ln (x+y)的定义域 D = (x, y)| x+y 0易见, 直线上方每一点都是D的内点. 即 D=D,但直线上的点不是D的内点.设 E 是一平面点集, X0 = (x0, y0)是平面上一个点. 假设 X0的任何邻域 U(X0 , )内既有属于 E 的点, 又有不属于 E的点, 则称 X0 为

3、E 的边界点.E 的全体边界点所成集合称为 E 的边界. 记作 E.如, 例1中定义域 D 的边界是直线 x +y = 0 上点的全体. 例2中定义域 D 的边界是单位圆周 x2 + y2 = 1上的点的全体. 如图xyo11x2 + y2 = 1Dx + y = 0 xyoE 的边界点可以是的边界点可以是 E 中的点中的点, 也可以不是也可以不是 E 中的点中的点.D设 E 是一平面点集, 假设 E 中每一点都是 E 的内点.即 E E0, 则称 E 是一个开集. 由于总有 E0 E, 因此, E E0 E = E0故也可说, 比如, 例1中 D 是开集, (D = D0 ), 而例2中 D

4、 不是开集.若E = E0 , 则称 E 是一个开集.规定, , R2为开集.xyoE又比如, E 如图假设假设 E 不包含边界不包含边界, 那么那么 E 为为开集开集. 假设假设 E 包含边界包含边界, 那么那么 E 不是不是开集开集. 必要性必要性. . 设设 E E 为开集为开集, , X X E,E,由开集定义知 X 为 E 的内点. 故 X 不是 E 的边界点.充分性充分性. . 假设假设 E E 中每一点都不是中每一点都不是 E E 的边的边界点界点. . 要证 E 为开集. X E,由于 X 不是 E 的边界点. 故必存在X的一个邻域U(X, ),在这个邻域 U(X, )内或者全

5、是 E 中的点. 或者全都不是 E 中的点, 两者必居其一. 由于X E, 故后一情形不会发生.因此, U(X, )内必全是 E 中的点. 故 X E0, 即, E E0 , 所以 E 是开集.设 E 是一非空平面点集, 假设X ,YE. 都可用完全含于 E 的折线将它们连接起来, 则称 E 为连通集. 如图XYE 连通YXE 不连通从几何上看, 所谓 E 是连通集, 是指 E 是连成一片的. E 中的点都可用折线连接.例1, 2中的 D 都是连通集. 如图x + y = 0 xyoxyo11x2 + y2 = 1设 E 是一平面点集. 比如, 例1中 D 是开区域. 如图. E 从几何上看,

6、 开区域是连成一片的, 不包括边界的平面点集.假设 E 是连通的非空开集, 则称 E 是开区域.假设 E 是开域, 记EEEEE0称为闭区域.如图. E 易见, 例2中的 D 是闭区域. 从几何上看, 闭区域是连成一片的. 包括边界的平面点集.(本书把)开区域和闭区域都叫作区域.8. 设 E R2, 若存在 r 0, 使 E U(O, r), 则称 E 为有界集. 否则称 E 为无界集.易见, 例1中 D 是无界集, 它是无界开区域, 而例2中 D 是有界集, 它是有界闭区域.设 E 是平面点集, X0 是平面上一个点. 若X0的任一邻域内总有无限多个点属于 E . 则称 X0 是E 的一个聚

7、点.从几何上看, 所谓 X0 是 E 的聚点是指在 X0 的附近聚集了无限多个 E 中的点. 即, 在 X0 的任意近傍都有无限多个 E 中的点.X0如图1. 聚点定义也可叙述为: 假设 X0 的任一邻域内至少含有 E 中一个异于 X0 的点. 则称 X0 为 E 的 一个聚点. (自证).2. E 的聚点 X0可能属于 E , 也可能不属于E .3. E 的内点一定是 E 的聚点.4. 假设 E 是开区域. 那么 E 中每一点都是 E 的聚点. .的聚点中每一点都是则为闭区域若EEEEE.的聚点从而是E即, 区域中的任一点都是该区域的聚点.普通, 集合 E 的边界点不一定是 E 的聚点. 但

8、若 E 是开集, 那么 E 的边界点一定是 E 的聚点, 自证.（3 3点集点集E E的聚点可以属于的聚点可以属于E E，也可以不属于，也可以不属于E E10| ),(22 yxyx例如例如, ,(0, 0) 是聚点但不属于集合是聚点但不属于集合1| ),(22 yxyx例如例如, ,边界上的点都是聚点也都属于集合边界上的点都是聚点也都属于集合（1 1内点一定是聚点；内点一定是聚点；（2 2边界点可能是聚点；边界点可能是聚点；10| ),(22 yxyx例如，例如，(0, 0) 既是边界点也是聚点既是边界点也是聚点（4 4n n 维空间维空间实数实数 x一一对应一一对应数轴点数轴点. 数组数组

9、 (x, y)实数全体表示直线实数全体表示直线(一维空间一维空间)一一对应一一对应R平面点平面点(x, y) 全体表示平面全体表示平面(二维空间二维空间)2R数组数组 (x, y, z)一一对应一一对应空间点空间点(x, y, z) 全体表示空间全体表示空间(三维空间三维空间)3R推行：推行：n 维数组维数组 (x1, x2, , xn)全体称为全体称为 n 维空间，记为维空间，记为.nRn 维空间中两点间距离公式维空间中两点间距离公式 ),(21nxxxP),(21nyyyQ.)()()(|2222211nnxyxyxyPQ 设两点为设两点为特殊地，当特殊地，当 n =1, 2, 3 n =

10、1, 2, 3时，便为数轴、平面、空时，便为数轴、平面、空间两间两 点间的距离点间的距离n 维空间中邻域概念：维空间中邻域概念： .,| ),(00nRPPPPPU 区域、内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义区域、内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义（5 5二元函数的定义二元函数的定义回想回想y 按按照照一一定定法法则则总总有有确确定定的的数数值值和和它它对对应应，则则称称 y 是是 设设x和和y是两个变量。是两个变量。D是一个给定是一个给定 的的数集数集，若对于每个数，若对于每个数Dx ，变量，变量 ).(xfy x 的的函数函数，记作，记作 定定义义 1 1 设设D是是平平面面上上的的

11、一一个个点点集集，如如果果对对于于每每个个点点 DyxP ),(，变变量量z按按照照一一定定的的法法则则总总有有确确定定 的的值值和和它它对对应应，则则称称z是是变变量量yx,的的二二元元函函数数， 记记为为 ),(yxfz （或或记记为为)(Pfz ）. . ),(),( DyxyxfzzW 点集点集 D -定义域，定义域，- 值域值域.x、y -自变量，自变量，z -因变量因变量.当当2 n时时，n元元函函数数统统称称为为多多元元函函数数. . 对对应应地地，函函数数)(xfy 称称为为一一元元函函数数. 类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数定定义义 1 1 设设D

12、是是平平面面上上的的一一个个点点集集，如如果果对对于于每每个个点点 DyxP ),(，变变量量z按按照照一一定定的的法法则则总总有有确确定定 的的值值和和它它对对应应，则则称称z是是变变量量yx,的的二二元元函函数数， 记记为为 ),(yxfz （或或记记为为)(Pfz ）. . ),(),( DyxyxfzzW 点集点集 D -定义域，定义域，- 值域值域.x、y -自变量，自变量，z -因变量因变量.).,(),(yxzyxzzyxz 的的函函数数也也可可记记为为、是是函数的两个要素函数的两个要素: : 定义域、对应法则定义域、对应法则. .与一元函数相类似，对于定义域约定：与一元函数相类

13、似，对于定义域约定：定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切点集定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切点集. .例例1 1 求求 的定义域的定义域222)3arcsin(),(yxyxyxf 解解 013222yxyx 22242yxyx所求定义域为所求定义域为., 42| ),(222yxyxyxD （6 6二元函数二元函数 的图形的图形),(yxfz 设设函函数数),(yxfz 的的定定义义域域为为D，对对于于任任意意 取取定定的的DyxP ),(，对对应应的的函函数数值值为为),(yxfz . . 以以x为为横横坐坐标标、y为为纵纵坐坐标标、z为为竖竖坐坐标标在在空空 间间就就确确定定

14、一一点点),(zyxM，当当),(yx取取遍遍D上上一一切切 点点时时，得得一一个个空空间间点点集集 ),(),(| ),(Dyxyxfzzyx ， 这这个个点点集集称称为为二二元元函函数数的的图图形形. . （如下页图）（如下页图）二元函数的图形通常是一张曲面二元函数的图形通常是一张曲面. .xyzsin 例如例如, ,图形如右图图形如右图. .2222azyx 例如例如, ,左图球面左图球面. .),(222ayxyxD 222yxaz .222yxaz 单值分支单值分支: :xyzo2 二元函数的极限二元函数的极限回忆一元函数的极限. 设 y = f (x),)(lim0Axfxx所谓当

15、 x 不论是从 x0的左边还是从x0的右边无限接近于x0时, 对应的函数值无限接近于数 A.表示如图xyA0f (x)f (x)y = f (x)x0 xxx x0. )(lim0语言表示用Axfxx就是 0, 0.当0|x x0| 时, 有|f (x) A | .设二元函数 z = f (X) = f (x, y), 定义域为D.如图Dz = f (x, y)XX如果当X在D内变动并无限接近于X0时 (从任何方向, 以任何方式),对应的函数值 f (X)无限接近于数 A, 则称A为当X趋近于X0时f (X)的极限.MX0Ayzxof (X)类似于一元函数, f (X)无限接近于数 A可用 |

16、 f (X) A | 0, 0, 当, )()(2020时yyxx对应的函数值满足| f (X) A | 0， P0 的去心的去心 邻域邻域 U(P0, )。在在U(P0, )内，函数内，函数),(yxfz 的图形总在平面的图形总在平面 Az及及 Az之间。之间。例例2 2 求证求证 证证. 01sin)(lim222200 yxyxyx01sin)(2222 yxyx22221sinyxyx 22yx , 0 , 当当 时，时，22)0()0(0yx.01sin)(2222 yxyx原结论成立原结论成立留意：留意： 是指是指 P P 以任何方式趋于以任何方式趋于P0 .P0 .0PP ,)(

17、lim00Axfxx ,)(lim00Axfxx .)(lim0Axfxx 一一元元中中多多元元中中,)(lim0AxfPP . )() ( 0PPAxf以以某某种种方方式式趋趋于于Axfyyxx )(lim00Ayxfyyxx ),(lim00) (0Px轴轴沿沿平平行行Ayxfyyxx ),(lim00) (0Py轴轴沿沿平平行行) )( (000Pxxkyy 沿沿Ayxfxx ),(lim0000)(yxxky 确定极限不存在的方法：确定极限不存在的方法：(1) (1) 令令),(yxP沿沿)(00 xxkyy 趋向于趋向于),(000yxP， 若极限值与若极限值与k有关，则可断言极限不

18、存在；有关，则可断言极限不存在； (2) (2) 找两种不同趋近方式，使找两种不同趋近方式，使),(lim00yxfyyxx存在，但存在，但 两者不相等，此时也可断言两者不相等，此时也可断言),(yxf在点在点),(000yxP 处极限不存在处极限不存在 例例3 3 设设解解 . 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ,),(22yxyxyxxyyxf但取但取,kxy ),(lim00yxfkxyx 2200)(limkxxkxxkxyx 其值随其值随 k k 的不同而变化。的不同而变化。不存在不存在).,(lim 00yxfyx求求 ),(lim00yxfyx, 00lim 0 y ),(li

19、m00yxfyx, 00lim 0 x.12kk 故故),(lim00yxfyx例例4 4 求求解解).32(lim2210 xyyxyx )32(lim2210 xyyxyx)lim()lim(3)(lim2)(lim1010210210yxyxyxyxyxyx )3(lim)2(lim)(lim10210210 xyyxyxyxyx . 2103120 例例5 5 求极限求极限 .)sin(lim22200yxyxyx 解解22200)sin(limyxyxyx ,)sin(lim2222200yxyxyxyxyx 其中其中yxyxyx2200)sin(limuuusinlim0, 1 2

20、220yxyx x21 , 00 x. 0)sin(lim 22200 yxyxyx于是，于是，yxu2 若D是一区域. 则只须要求,0DDDX就可保证 X0 是D的一个聚点.另外, 0 |X X0 | 0, 22|)0 , 0(|0yxX 时, 有 | f (x, y) 0 | 0, 使得当要使 | f (x, y) 0 | , 只须222yx222 yx即有时则当取, |)0 , 0(|,2 22yxX| f (x, y) 0 | 01sinlim00yxxyyx故例例7. 设设f (x, y) = ,0 ,2222时当yxyxxy,0 , 022时当 yx证明 f (x, y)在 (0,

21、 0)点的极限不存在.证证: 由注由注2知知, 只须证明当只须证明当X 沿不同的线路趋沿不同的线路趋于于(0, 0)时时, 函数函数f (x, y)对应的极限也不同对应的极限也不同即可即可.调查 X =(x, y)沿平面直线 y = kx 趋于(0, 0)的情形.如图对应函数值22),(yxxyyxf)0 , 0(),( , )1 (222yxkxkxxoy从而, 当 X = (x, y) 沿 y = kx 趋于(0,0)时, 函数极限),(lim0yxfkxyx21kk当 k 不同时, 极限也不同. 因此, f (x, y) 在 (0, 0)的极限不存在 .请考察当X = (x, y)沿 x

22、 轴, 沿 y 轴趋于(0, 0)的情形.)1 (lim2220kxkxx),(lim00yxfyx沿 x 轴, y = 0. 函数极限= 000lim20 xx沿 y 轴, x = 0. 函数极限),(lim00yxfxy= 02000limyx但不能由此断定该二重极限为0 (注2).3 二元函数的连续性)()(lim 00XfXfXX若设 z = f (X) = f (x, y), 在区域D上有定义.则称 f (X) 在 X0 延续, X0 称为 f (X) 的连续点. 否则称 f (X) 在 X0 延续, X0 称为 f (X) 的间断点. X = (x, y) D, X0 = (x0,

23、 y0) D, 假设假设 f (X) 在在 D 上每一点都连续上每一点都连续, 则称则称 f (X) 在在 D 上连续上连续, 记为记为 f (X) C (D). 易知, 例2中 f (x, y)在(0, 0)延续(极限不存在), 上在直线中例01sin),( ,1yxyxxyyxf每一点都间断.注注1. 二元函数二元函数 f (X)在在 X0 连续必须满足三个条件连续必须满足三个条件. 在在 X0 有定义有定义, 在在 X0 的极限存在的极限存在, 两者相等两者相等, 2. 多元连续函数的和多元连续函数的和, 差差, 积积, 商商(分母不为分母不为0)以以及多元连续函数的复合仍是多元连续函数

24、及多元连续函数的复合仍是多元连续函数. 定义可推广到三元以上函数中去.多元初等函数：多元初等函数： 由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四 则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表 示的多元函数叫多元初等函数。示的多元函数叫多元初等函数。一切多元初等函数在其定义区域内是连续的一切多元初等函数在其定义区域内是连续的定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域在定义区域内的连续点求极限可用在定义区域内的连续点求极限可用“代入法代入法”：)()()(lim000定义区域定义区域 PPfPfPP例例1 1 求极限求极限 .lim21xyyxyx xyyxyxf ),(解解是多元初等函数。是多元初等函数。定义域：定义域：.0 , 0 | ),( yxyxD0 , 0 | ),()2 , 1( 1 yxyxD点点.D 于是，于是， xyyxyx21lim2121 .23 （不连通）（不连通）xoy例例2 2.11lim00 xyxyyx 求求解解)11(11lim00 xyxyxyyx111lim00 xyyx.21 xyxyyx11lim003. 多元初等函数在它有定义的区域内都是连续的多元初等函数在它有定义的区域内都是连续的.所谓多元初等函数是指以