概率论：第1章 随机事件及其概率3

1、1.3 概率的性质n下面利用概率的公理化定义导出概率性质。n性质1.3.1 P()=0n1、概率可加性n性质1.3.2(有限可加性可加性) n若有限个事件A1,A2,An互不相容，则有n性质1.3.3(对立事件概率公式)n对任一事件A，有121()()().()niniPAP AP AP A( )1( )P AP A 1.3 概率的性质n2、概率的单调性n性质1.3.4 若AB,则P(A-B)=P(A)-P(B)n推论(单调性单调性):若AB,则P(A)P(B)n3、概率的加法公式n性质1.3.5 对任意两个事件A,B，有nP(A-B)=P(A)-P(AB)n性质1.3.6(加法加法公式)n对

2、任意两个事件A、B，有nP(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)1.3 概率的性质 n加法公式图示CABABCBCABCAABAB1.3 概率的性质n对任意n个事件A1,A2,An，有n推论(半可加性)n对任意n个事件A1,A2,An，有1111()( )()()nniiijijkii j ni j k niPAP AP AAP AA A 112.( 1)(.)nnP A AA 11()()nniiiiPAP A1.3 概率的性质n例子：配对问题n4、概率的连续性n定义1.3.1 对事件域F中任一单调不减序列F1 F2 Fn， 称其可列并为Fn的极限事件，记为n对事件域F中任一单调不增序列E

3、1 E2 En， 称其可列交为En的极限事件，记为1limnnnnFF1limnnnnEE1.3 概率的性质n定义1.3.2 对F上的一个P， n若它对事件域F中任一单调不减序列 Fn均有n成立，则称概率P是下连续下连续的。n若它对事件域F中任一单调不增序列 En均有n成立，则称概率P是上连续上连续的。lim()(lim)nnnnP FPFlim()(lim)nnnnP EPE1.3 概率的性质n性质1.3.7 (概率连续性) n若P为事件域F上的概率，则P既是下连续的，又是上连续的。n性质1.3.7 (可列可加的充要条件)n若P为F上满足P()=1的非负集合函数，则它具有可列可加性的充分必要

4、条件是n它是有限可加的；n它是下连续的。作业n习题1.3n5、10、151.4 条件概率n1、条件概率的定义 n条件概率是指在某事件B发生的条件下，求另一事件A的概率，记为P(A|B)。n定义1.4.1 设A与B是样本空间中的两事件，若为P(B)0，则称n为“在B发生下A的条件概率”，简称条件概率。()(|)( )P ABP A BP B1.4 条件概率n性质1.4.1 条件概率是概率概率，即若设P(B)0，则n若A F，则 P(A|B)0；n P(|B)=1;n若F中的事件A1,An,为两两互不相容，有n条件概率三“剑客”：乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式11(|)(|)iiiiPABP A

5、B1.4 条件概率n2、乘法公式n性质1.4.2 乘法公式n若P(B)0，则nP(AB)=P(A)P(B|A)n 若P(A1A2An-1)0，则nP(A1A2An)= P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(An|A1An-1)乘法公式例n例子：罐子模型n设罐中有 b个黑球、r个红球，每次随机取出一个球，取出后将原球放回，还加进c个同色球和d个异色球。若连续从罐中取出三个球，求其中两红一黑求的概率。n不返回抽样(c=-1,d=0)、返回抽样(c=d=0)n传染病模型(c0,d=0)n安全模型(c=0,d0)1.4 条件概率n3、全概率公式n性质1.4.3 (全概率公式) 设B1,B2,Bn为样本空间的一个分割(完备事件组)，如果P(Bi)0,i=1,2,n，则对任一事件A有n叉树图1()()(|)niiiP AP BP A B全概率公式例n摸彩模型n敏感性问题调查答卷是否1.4 条件概率n4、贝叶斯公式n性质1.4.4 (贝叶斯公式) 设B1,B2,Bn为样本空间的一个分割(完备事件组)，如果P(A)0, P(Bi)0, i=1,2,n，则n叉树图1()(|)(|),1,2,.,