大学数学高数微积分第三章线性方程组第四节课堂讲义

1、大学数学高数微积分第三章线大学数学高数微积分第三章线性方程组第四节课堂讲义性方程组第四节课堂讲义在上一节我们定义了向量组的秩.如果我们把矩阵的每一行看成一个向量，那么矩阵就可以认为是由这些行向量组成的.同样，如果把每列看成一个向量，那么矩阵也可以认为是由列向量组成的. 设有矩阵,0000500041201311A求矩阵 A 的行秩和列秩.矩阵 A 的行向量组是1 = (1, 1, 3, 1), 2 = (0, 2, -1, 4), 3 = (0, 0, 0, 5), 4 = (0, 0, 0, 0). 下面来求向量组1 , 2 , 3 , 4 的极大线性无关组.显然， 1 , 2 线性无关，再

2、来讨论1 , 2 , 3 的线性相关性.设有数 k1, k2 , k3 , 使k11 + k22 + k33 = 0 ，它对应的线性方程组为,054,03,02,032121211kkkkkkkk解得 k1 = k2 = k3 = 0，所以 1 , 2 , 3 线性无关.因为向量组1 , 2 , 3 , 4 中含有零向量，它必线性相关，故向量组1 , 2 , 3 , 4 的秩为 3 .矩阵 A 的列向量组为1 = (1, 0, 0, 0), 2 = (1, 2, 0, 0), 3 = (3, -1, 0, 0), 4 = (1, 4, 5, 0). 用同样的方法可证， 1 , 2 , 4 线性

3、无关，而 ,2127213所以向量组1 , 2 , 3 , 4 线性相关，其秩为 3 .因此，矩阵 A 的行秩和列秩都是 3 .例 1 中矩阵 A 的行秩和列秩相等，这一点不是偶然的，下面来一般地证明行秩等于列秩.作为一个准备，我们先利用行秩的概念把第一节中的改进如下. ) 1 (0,0,0221122221211212111nsnssnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxasnssnnaaaaaaaaaA212222111211设矩阵 A 的行向量组为 1 , 2 , , s 因为它的秩为 r ，所以极大线性无关组由 r 个向量组成.不妨设 1 , 2 , , r 是一个极大线性无关组

4、因为1 , 2 , , r , , s 与 1 , 2 , , r 等价，所以方程组 ( 1 ) 与方程组)2(0,0,0221122221211212111nrnrrnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa同解.对于方程组 (2) 应用即得.由此就可以证明： 设所讨论的矩阵为,212222111211snssnnaaaaaaaaaA而 A 的行秩 = r ，列秩 = r1 .为了证明 r = r1 ，我们先来证 r r1 .设矩阵 A 的行向量组为 1 , 2 , , s , 不妨设 1 , 2 , , r 是它的一个极大线性无关组. 因为1 , 2 , , r 是线性无关的，所以方程x

5、11 + x22 + xrr = 0只有零解，,0,0,0221122221121221111rrnnnrrrrxaxaxaxaxaxaxaxaxa只有零解.这也就是说，齐次线性方程组由引理，这个方程的系数矩阵,212221212111rnnnrraaaaaaaaa的行秩 r .因此在它的行向量中可以找到 r 个是线性无关的，不妨设为, ),( , ),(2221212111rraaaaaa),( ,21rrrraaa线性无关.根据上一节的说明，在这些向量上添上几个分量后所得的向量组, ),( , ),(222212112111srsraaaaaaaa),( ,21srrrrraaaa也线性无

6、关.它们正好是矩阵 A 的 r 个列向量，由它们的线性无关性可知矩阵 A 的列秩 r1 至少是 r ,也就是说 r1 r .用同样的方法可证 r r1 . 这样就证明了行秩与列秩相等. 现在我们再来把矩阵的秩与行列式的概念联系起来.先看 n n 矩阵的情形. nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211先证.因为 A 的秩小于 n，所以 A 的 n 个行向量组线性相关.当 n = 1 时，A 只有一个数，即只有一个一维向量，它又是线性相关的向量组，就是零向量，从而 | A | = | 0 | = 0 .当n 1 时，矩阵 A 中有一行是其余各行的线性组合.从这行依次减去其余各行的相

7、应倍数，这一行就全变成零，由行列式的性质可知 | A | = 0 .再证.对 n 作数学归纳法.当 n = 1 时，由 | A | = 0 可知 A 的仅有的一个元素就是零，因而 A 的秩为零.假设结论对 n - 1 级矩阵已证，现在来看 n 级矩阵的情形.设矩阵 A 的行向量组为 1 , 2 , , n . 检查 A 的第一列的元素 a11 , a21 , , an1 , 如果这 n个元素全为零，那么 A 的列向量组中含有零向量，当然秩小于 n .如果这 n 个元素中有一个不为零，nnnnnaaaaaaaA22221121100|nnnnaaaa2222其中., 2,), 0(11112ni

8、aaaaiiini由 | A | = 0 可知 n - 1 级矩阵譬如说 a11 0，那么从第二行直到第 n 行减去第一行的适当的倍数，把 a21 , , an1 消成零，即得nnnnaaaa2222的行列式为零.根据归纳法假定，这个矩阵的行向量组线性相关.因而向量组1111111313111212,aaaaaann线性相关，使.0)()(11111112122aakaaknnn这就是说，有不全为零的数 k2 , , kn改写一下，有.022111121121nnnnkkkaakaannnkkkaakaa,211121121这组数当然也不全为零，从而向量组1 , 2 , , n 线性相关，它的

9、秩小于 n .根据归纳法原理，必要性得证.根据这个定理，可以得到有关齐次线性方程组的重要结论. 0,0,0221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxannnnnnaaaaaaaaaA212222111211为了建立一般矩阵的秩与行列式的关系，引入 例如，在矩阵0000500041201311A中，选第 1, 3 行和第 3, 4 列，它们交点上的元素所成的 2 级行列式155013就是一个 2 级子式.又如选第 1, 2, 3 行和第1, 2, 4列，相应的 3 级子式就是.10500420111由于行和列的选法有很多，所以 k 级子式也是很多的.

10、s n 矩阵的 k 级子式共有knksCC个.矩阵的秩与行列式的关系表现为： 先证.设矩阵 A 的秩为 r .这时，由知矩阵 A 中任意 r + 1 个行向量都线性相关，矩阵 A 的任意 r + 1 级子式的行向量也线性相关.由这种子式全为零.现在来证矩阵 A 中至少有一个 r 级子式不为零.因为snssnnaaaaaaaaaA212222111211的秩为 r，所以在 A 中有 r 个行向量线性无关，不妨设就是前 r 个行向量.把这 r 行取出来，作一新的矩阵.21112111rnrrnaaaaaaA显然，矩阵 A1 的行秩为 r ，因而它的列秩也是 r，这就是说，在 A1 中有 r 列线性

11、无关.不妨设前 r 列线性无关，因之，行列式.01111rrrraaaa它就是矩阵 A 中一个 r 级子式.这就证明了必要性.再证.设在矩阵 A 中有一 r 级子式不为零，而所有 r + 1 级子式全为零.我们证明 A 的秩为 r .首先我们指出，由行列式按一行展开的公式可知，如果 A 的 r + 1 级子式全为零，那么 A 的 r + 2级子式也一定为零，从而 A 的所有级数大于 r 的子式全为零.设 A 的秩为 t .由必要性，t 不能小于 r ，否则 A 的 r 级子式就全为零了.同样，t 也不能大于r ，否则 A 就要有一个 t ( t r + 1 ) 级子式不为零,而按照假定这是不可能的.因而 t = r，这就是要证明的结论.利用下列模型求矩阵的秩.计算矩阵秩的一个较有效的方法是：向量组秩的计算方