4-1几何证明选讲第二讲(四)

1、弦切角的性质弦切角的性质四四?,.,能发现什么现象能发现什么现象你你如图如图时时线线切切的的变为圆变为圆当当圆周上圆周上在在落落的交点的交点与与保证直线保证直线同时同时为中心旋转直线为中心旋转直线以点以点中中在图在图观察观察152142DEDEBCDED?,.,仍然成立吗仍然成立吗线线是切是切中中图图在在有有边形的性质边形的性质根据圆内接四根据圆内接四中中在图在图ABCEEDABCE152142142图图ABCDE152图图ABD CE.,.通过实验进行观察通过实验进行观察打开几何画板打开几何画板单击图标单击图标.,ABCEOCEOABC则则的切线的切线是圆是圆形形的内接三角的内接三角是圆是圆

2、猜想猜想.,形的情形形的情形的情形化归为直角三角的情形化归为直角三角三角形三角形再将锐角三角形和钝角再将锐角三角形和钝角形形为直角三形时的情为直角三形时的情先分析先分析路路延用从特殊到一般的思延用从特殊到一般的思分析分析ABC .,是直角三角形即上的边在圆心如图证明ABCBCABCO1621.,090BCECE所以是切线因为.,ABCEAA因此所以是半圆上的圆周角又因为090162图图ABCOEPABCOE172图图 .,.,0901722CAPPCEAPCPOABCABCO则连接的直径作圆为锐角三角形即的内部在圆心如图,PCBPCBPCEBCE090因为,PABPABCAPBAC090.,B

3、ACBCEPCBPAB所以而P182图图ABCOE .,.,0901823CAPPCEAPCPOABCO则连接径的直作圆钝角三角形即三角形为外部在圆心如图O,PCBPCBPCEBCE090因为,PABPABCAPBAC090.,BACBCEPCBPAB所以而.,猜想成立综上所述.,:.,弦弦切切角角做做另另一一边边和和圆圆相相切切的的角角叫叫一一边边和和圆圆相相交交圆圆上上顶顶点点在在即即因因此此给给它它取取名名为为弦弦切切角角线线组组成成的的角角是是由由一一条条弦弦和和一一条条切切由由于于中中在在图图BDE152:过证明后的猜想表述为过证明后的猜想表述为于是我们可以将上述经于是我们可以将上述

4、经?,.,中中体体会会这这些些思思想想方方法法吗吗你你能能从从想想和和化化归归思思想想分分类类思思想想、运运动动变变化化思思猜猜想想的的证证明明渗渗透透了了另另外外的的一一些些有有价价值值的的结结论论往往往往能能够够发发现现几几何何中中个个图图形形进进行行适适当当的的变变化化对对一一明明过过程程可可以以看看到到由由上上述述定定理理的的发发现现和和证证.圆圆周周角角所所对对的的弦弦切切角角等等于于它它所所夹夹的的弧弧弦弦切切角角定定理理ABCDOE192图图.:.,BADACDCEADCOCEACOAB平分平分求证求证垂足为垂足为点点切于切于和圆和圆直线直线是弦是弦径径的直的直是圆是圆如图如图例例1921.BC连接证明ADCCEAD所以又因为,.009090DACACD则且是弦因为,AC.,BACDCOCE所以切于点和圆直