第二章、网络的矩阵分析

1、2-1 2-1 支路约束方程的矩阵形式支路约束方程的矩阵形式2-22-2 节点电压分析法节点电压分析法2-32-3 割集电压分析法割集电压分析法2-42-4 回路电流分析法回路电流分析法2-52-5 含受控源网络的分析含受控源网络的分析2-62-6 移源法移源法2-72-7 2 2b法法2-82-8 计算机辅助分析计算机辅助分析第二章第二章 网络的矩阵分析网络的矩阵分析2-1 2-1 支路约束方程支路约束方程 的矩阵形式的矩阵形式 北京邮电大学北京邮电大学 电子工程学院电子工程学院 俎云霄俎云霄 - -+ + + +- - -kZskUskIkIekIkUekU 不含受控源的标准支路不含受控源

2、的标准支路skekkIIIskekkUUUekeekUYIekeekIZUskskkeskekekIUUYIUYI)(skskkeskekekUIIZUIZU)( 或或TbUUUU21TbIIII21TebeeeUUUU21TebeeeIIII21TsbsssUUUU21TsbsssIIII21bbZZZ,21diagZbbYYY,21diagY支路导纳矩阵支路导纳矩阵 支路阻抗矩阵支路阻抗矩阵 支路约束方程的矩阵形式支路约束方程的矩阵形式sbsbssbUYIUYIUUYI)(sbsbssbIZUIZUIIZU)(1bbYZ当网络中电压源、电流源或无源元件两端的电压或电流的电当网络中电压源、电

3、流源或无源元件两端的电压或电流的电压极性或电流方向与标准支路中所示的极性或方向相反时，支压极性或电流方向与标准支路中所示的极性或方向相反时，支路约束方程的形式不变，只是相应的各项前的正负号发生改变。路约束方程的形式不变，只是相应的各项前的正负号发生改变。 电感之间有耦合的情况电感之间有耦合的情况支路阻抗矩阵形式为：支路阻抗矩阵形式为：- -+ + + +- -skUskIkIekIekUkL+ +- - -shIshUehUhLhIehI. . .M电感元件上的电压、电流关系为：电感元件上的电压、电流关系为： ehekkekIMILUjjekehhehIMILUjjbhkbZLMMLZjj0j

4、j0001ZbbZZLMML0000jj00jj321Z支路导纳矩阵形式为：支路导纳矩阵形式为：bbbYYLMML0000003121ZY)(j221MLL例例2 21 1 写出如图所示电路的支路电压、电流的约束方程。写出如图所示电路的支路电压、电流的约束方程。 （1 1）电感）电感L L4 4、L L5 5 之间无耦合。之间无耦合。（2 2）电感）电感L L4 4、L L5 5 之间有耦合。之间有耦合。abcC3L4L5R1abcd+-R6R22sU6sIdM123456解解 （1 1）电感）电感L L4 4、L L5 5 之间无耦合的情况之间无耦合的情况 ,j ,j ,1j,diag654

5、21RLLCRRbZ1,1j,1j,j,1,1diag65421RLLCRRbYTss000002UUTss600000IIsbsbUYIUYI sbsbIZUIZU abcC3L4L5R1+-R6R22sU6sIdM（2 2）电感）电感L4、L5 之间有耦合的情况之间有耦合的情况 65421jjjj1jRLMMLCRRbZ645211j11RLMMLCRRbYabcC3L4L5R1+-R6R22sU6sIdM 支路电压方程的矩阵形式支路电压方程的矩阵形式sbsbUYIUYI sbsbIZUIZU 0 IA0 UB 支路电流方程的矩阵形式支路电流方程的矩阵形式sbsbUAYIAUAYsbsbI

6、BZUBIBZ2-2 2-2 节点电压分析法节点电压分析法北京邮电大学北京邮电大学 电子工程学院电子工程学院 俎云霄俎云霄 sbsbUAYIAUAYnTUAUsbsnTbUAYIAUAAYnnnIUY节点导纳矩阵节点导纳矩阵 TbnAAYYsbsnUAYIAI节点等效电流源电流列向量节点等效电流源电流列向量 Yb是是b b阶矩阵，阶矩阵，AT是是b (n-1)阶矩阵，所以，阶矩阵，所以，Yn是是( (n-1) (n-1)阶方阵。而阶方阵。而 和和 都是都是b 1阶列向量，因此阶列向量，因此 是是(n-1) 1阶列阶列向量。向量。 sIsUnI（1 1）选定支路参考方向，画出网络的有向图；）选定

7、支路参考方向，画出网络的有向图； 节点法分析电路的基本步骤节点法分析电路的基本步骤 （2 2）对节点和支路进行编号，确定参考节点，写出关联矩）对节点和支路进行编号，确定参考节点，写出关联矩阵阵A；（3 3）写出支路导纳矩阵写出支路导纳矩阵Yb、电压源列向量电压源列向量 和电流源列向量和电流源列向量 ；（4 4）求出节点导纳矩阵求出节点导纳矩阵Yn和节点等效电流源列向量和节点等效电流源列向量 ； （5 5）根据公式根据公式 求出节点电压列向量；求出节点电压列向量； sIsUnI（6 6）根据公式）根据公式 求出支路电压列向量；求出支路电压列向量； nTUAU（7 7）根据公式）根据公式 求出支路

8、电流列向量。求出支路电流列向量。 sbsbUYIUYInnnIUY例例2 22 2 写出如图所示电路节点电压方程的矩阵形式。写出如图所示电路节点电压方程的矩阵形式。 （1 1）电感）电感L L1 1、L L2 2 之间无耦合。之间无耦合。（2 2）电感）电感L L1 1、L L2 2 之间有耦合。之间有耦合。R6C4L2M1I6I6sI5I2I3I4I5sUR3R5L1+ +- -解解 （1 1）电感）电感L L1 1、L L2 2 之间无耦合之间无耦合画出网络的有向图，对节点和支路进行编号，如图所示。画出网络的有向图，对节点和支路进行编号，如图所示。 R6C4L2M1I6I6sI5I2I3I

9、4I5sUR3R5L1+ +- -adcb123456110010001011100101A选选d d为参考节点，则有为参考节点，则有 6543211,1j,1,j1,j1diagRRCRLLbYTssU000005UTssI600000IR6C4L2M1I6I6sI5I2I3I4I5sUR3R5L1+ +- -TbnAAYY 26523242113116311111111111111LRRLRLCLLLRLLRRjjjjjjjjjsbsnUAYIAI 65560sssIRUIcba265262421161163j111j11j1jj1j1j11j1j111UUULRRLRLCLLLRLLRR

10、65560sssIRUI节点电压方程的矩阵形式为：节点电压方程的矩阵形式为： （2 2）电感）电感L L1 1、L L2 2 之间有耦合之间有耦合65431210000001000000j00000010000000000RRCRLMMLbYR6C4L2M1I6I6sI5I2I3I4I5sUR3R5L1+ +- -)(j221MLLcba165161421262263111j111UUULRRMLRMMLCMLLMLRMMLLRR65560sssIRUI节点电压方程的矩阵形式为：节点电压方程的矩阵形式为： 2-3 2-3 割集电压分析法割集电压分析法北京邮电大学北京邮电大学 电子工程学院电子工

11、程学院 俎云霄俎云霄 割集导纳矩阵割集导纳矩阵 割集等效电流源电流列向量割集等效电流源电流列向量 割集分析法是以割集电压亦即树支电压为变量列写方程进行割集分析法是以割集电压亦即树支电压为变量列写方程进行求解的一种方法。求解的一种方法。 sbsbUYIUYItTfUQUsbstTfbUYIUQYI0IQfsbfsftTfbfUYQIQUQYQ割集电压方程的矩阵形式割集电压方程的矩阵形式qqqIUYtqUUTfbfqQYQY sbfsfqUYQIQIYb是是b b阶矩阵，阶矩阵，Qf 是是b (n-1)阶矩阵，所以，阶矩阵，所以，Yq是是( (n-1) (n-1)阶方阵。而阶方阵。而 和和 都是都

12、是b 1阶列向量，因此阶列向量，因此 是是(n-1) 1阶列阶列向量。向量。 sIsUqI（1 1）选定支路参考方向，画出网络的有向图；）选定支路参考方向，画出网络的有向图； 割集法分析电路的基本步骤割集法分析电路的基本步骤 （2 2）对支路进行编号，确定一棵树，写出基本割集矩阵）对支路进行编号，确定一棵树，写出基本割集矩阵Qf ；（3 3）写出支路导纳矩阵写出支路导纳矩阵Yb、电压源列向量电压源列向量 和电流源列向量和电流源列向量 ；sIsU（7 7）根据公式）根据公式 求出支路电流列向量。求出支路电流列向量。 sbsbUYIUYI（4 4）求出割集导纳矩阵求出割集导纳矩阵Yq和割集等效电流

13、源列向量和割集等效电流源列向量 ； qI（5 5）根据公式根据公式 求出割集电压列向量；求出割集电压列向量；qqqIUY（6 6）根据公式）根据公式 求出支路电压列向量；求出支路电压列向量； qTfUQU 例例2 22 2 写出如图所示电路割集电压方程的矩阵形式。写出如图所示电路割集电压方程的矩阵形式。 （1 1）电感）电感L L1 1、L L2 2 之间无耦合。之间无耦合。（2 2）电感）电感L L1 1、L L2 2 之间有耦合。之间有耦合。R6C4L2M1I6I6sI5I2I3I4I5sUR3R5L1+ +- -解解 （1 1）电感）电感L L1 1、L L2 2 之间无耦合之间无耦合画

14、出网络的有向图，对节点和支路进行编号，选支路画出网络的有向图，对节点和支路进行编号，选支路1 1、2 2、4 4为树支，如图所示。为树支，如图所示。 R6C4L2M1I6I6sI5I2I3I4I5sUR3R5L1+ +- -则基本割集矩阵为则基本割集矩阵为adcb123456C1C3C2011100110010101001fQTssU000005UTssI600000IR6C4L2M1I6I6sI5I2I3I4I5sUR3R5L1+ +- -6534211 ,1 ,1 ,j ,j1 ,j1diagRRRCLLbYadcb123456C1C3C2TfbfqQYQY 453535265636163

15、j11111j111111j111CRRRRRLRRRRRLRRsbfsfqUYQIQI555566RURUIIssss321453535265636163j11111j111111j111qqqUUUCRRRRRLRRRRRLRR555566RURUIIssss割集电压方程的矩阵形式为：割集电压方程的矩阵形式为： （2 2）电感）电感L L1 1、L L2 2 之间有耦合之间有耦合653412100000010000001000000j0000000000RRRCLMMLbY)(j221MLL321453535165636263j111111111111qqqUUUCRRRRRLRRMRRM

16、RLRR555566RURUIIssss割集电压方程的矩阵形式为：割集电压方程的矩阵形式为： 2-4 2-4 回路电流分析法回路电流分析法北京邮电大学北京邮电大学 电子工程学院电子工程学院 俎云霄俎云霄 回路阻抗矩阵回路阻抗矩阵 回路等效电压源电压列向量回路等效电压源电压列向量 回路分析法是以回路电流为变量列写方程进行求解的一种方回路分析法是以回路电流为变量列写方程进行求解的一种方法。法。 回路电流方程的矩阵形式回路电流方程的矩阵形式sbfsfbfIZBUBIZBlTfIBIsbfsflTfbfIZBUBIBZBlllUIZTfbflBZBZ sbfsflIZBUBUZb是是b b阶矩阵，阶矩

17、阵，Bf 是是l b阶矩阵，所以，阶矩阵，所以，Zl 是是l l 阶方阵。阶方阵。而而 和和 都是都是b 1阶列向量，因此阶列向量，因此 是是l 1阶列向量。阶列向量。 sIsUlU（1 1）选定支路参考方向，画出网络的有向图；）选定支路参考方向，画出网络的有向图； 回路法分析电路的基本步骤回路法分析电路的基本步骤 （2 2）对支路进行编号，确定一棵树，写出基本回路矩阵）对支路进行编号，确定一棵树，写出基本回路矩阵Bf ；（3 3）写出支路阻抗矩阵写出支路阻抗矩阵Zb、电压源列向量电压源列向量 和电流源列向量和电流源列向量 ；sIsU（4 4）求出回路阻抗矩阵求出回路阻抗矩阵Zq和回路等效电压

18、源列向量和回路等效电压源列向量 ； lU（6 6）根据公式）根据公式 求出支路电流列向量；求出支路电流列向量； lTfIBI（5 5）根据公式根据公式 求出回路电流列向量；求出回路电流列向量；lllUIZ（7 7）根据公式）根据公式 求出支路电压列向量。求出支路电压列向量。 sbsbIZUIZU例例2 24 4 写出如图所示电路回路电流方程的矩阵形式。写出如图所示电路回路电流方程的矩阵形式。 （1 1）电感）电感L L1 1、L L2 2 之间无耦合。之间无耦合。（2 2）电感）电感L L1 1、L L2 2 之间有耦合。之间有耦合。R6C4L2M1I6I6sI5I2I3I4I5sUR3R5L

19、1+ +- -解解 （1 1）电感）电感L L1 1、L L2 2 之间无耦合之间无耦合画出网络的有向图，对节点和支路进行编号，选支路画出网络的有向图，对节点和支路进行编号，选支路1 1、2 2、4 4为树支，如图所示。为树支，如图所示。 R6C4L2M1I6I6sI5I2I3I4I5sUR3R5L1+ +- -则基本回路矩阵为则基本回路矩阵为adcb123456l1l3l2100011010110001101fB TssU000005UTssI600000IR6C4L2M1I6I6sI5I2I3I4I5sUR3R5L1+ +- -6534211 ,1 ,1 ,j ,j1 ,j1diagRRR

20、CLLbYTfbflBZBZ adcb123456l1l3l2 6212125424144311111RLLLLLRCLCLCCRLjjjjjjjjjjjjsbfsflIZBUBU 6650ssIRU321621212542414431jjjjjj1jj1jj1j1jlllIIIRLLLLLRCLCLCCRL6650ssIRU回路电流方程的矩阵形式为回路电流方程的矩阵形式为（2 2）电感）电感L L1 1、L L2 2 之间有耦合之间有耦合R6C4L2M1I6I6sI5I2I3I4I5sUR3R5L1+ +- -653421000000000000000000j1000000jj0000jjR

21、RRCLMMLbZ 321621212542414431)2(j)(j)(j)(jj1jjj1)(jjj1j1jlllIIIRMLLMLMLMLRCLMCMLMCCRL6650ssIRU回路电流方程的矩阵形式为回路电流方程的矩阵形式为2-5 2-5 含受控源网络含受控源网络 的节点分析法的节点分析法北京邮电大学北京邮电大学 电子工程学院电子工程学院 俎云霄俎云霄 含受控源的标准支路含受控源的标准支路 - -+ + + +- - -kZskUskIkIekIkUekU+ +- -dkUdkITbUUUU21TbIIII21TebeeeUUUU21TebeeeIIII21TsbsssUUUU21T

22、sbsssIIII21TdbdddUUUU21TdbdddIIII21sdeIIIIsdeUUUU支路电压、电流满足如下关系支路电压、电流满足如下关系 eeeUYI eeeIZU 或或对无源元件有对无源元件有 受控电压源的电压是控制支路元件电压和电流的线性组合受控电压源的电压是控制支路元件电压和电流的线性组合 eeeeedUMURYDRIUDUeRYDMD是电压控制电压源的系数矩阵，是电压控制电压源的系数矩阵，R是电流控制电压源的系数矩是电流控制电压源的系数矩阵，它们的主对角元素均为零，而在受控支路所对应的行和控制阵，它们的主对角元素均为零，而在受控支路所对应的行和控制支路所对应的列的位置有元

23、素；支路所对应的列的位置有元素；M则表示等效的电压控制电压源则表示等效的电压控制电压源的系数矩阵。的系数矩阵。edeUM1UU seUUM1Use1UUM1U受控电流源的电流是控制支路元件电压和电流的线性组合受控电流源的电流是控制支路元件电压和电流的线性组合 eeeedINIHGYIHGUI1HGYN1G是电压控制电流源的系数矩阵，是电压控制电流源的系数矩阵，H是电流控制电流源的系数矩是电流控制电流源的系数矩阵，其主对角元素也为零，同样在受控支路所对应的行和控制支阵，其主对角元素也为零，同样在受控支路所对应的行和控制支路所对应的列的位置有元素；路所对应的列的位置有元素；N则表示等效的电流控制电

24、流源的则表示等效的电流控制电流源的系数矩阵。系数矩阵。 edeIN1II seIIN1I eeeUYI se1UUM1YssbsseIUUYIUUM1YN1I11M1YN1Yeb支路导纳矩阵支路导纳矩阵 sbsnTbUAYIAUAAYnnnIUY（1 1）选定支路参考方向，画出网络的有向图；）选定支路参考方向，画出网络的有向图； 分析电路的基本步骤分析电路的基本步骤 （2 2）对支路和节点进行编号，确定参考节点，写出关联矩阵）对支路和节点进行编号，确定参考节点，写出关联矩阵A；（3 3）写出矩阵写出矩阵Ye、D、R、H、G、 和和 ；（4 4）求出矩阵求出矩阵M、N； （7 7）根据公式根据公

25、式 求出节点电压列向量；求出节点电压列向量； sIsU（8 8）根据公式）根据公式 求出支路电压列向量；求出支路电压列向量； （9 9）根据公式）根据公式 求出支路电流列向量。求出支路电流列向量。 （5 5）求出矩阵求出矩阵Yb ； （6 6）求出节点导纳矩阵求出节点导纳矩阵Yn 和节点等效电流源列相量和节点等效电流源列相量 ； nInnnIUYnTUAUssUYIUYI例例2 25 5 写出如图所示电路节点电压方程的矩阵形式。写出如图所示电路节点电压方程的矩阵形式。 0.4I310VUe1Ue20.1Ue20.3Ue121.8I5I55+-+-+-+3151I3ab153420解解11100

26、00111A画出网络的有向图，确定支路编号及方向画出网络的有向图，确定支路编号及方向 Ts000010UTs00000I电压控制电压源系数矩阵为电压控制电压源系数矩阵为000000001 . 000000000003 . 000000DM=D 000008 . 100000000000000004 . 000H电流控制电流源系数矩阵为电流控制电流源系数矩阵为N=H 0.4I310VUe1Ue20.1Ue20.3Ue121.8I5I55+-+-+-+3151I3 0.4I310VUe1Ue20.1Ue20.3Ue121.8I5I55+-+-+-+3151I33100000210000010000

27、05100000151eY1M1YN1Yeb 3100006 . 021005. 0015. 0001000005153 . 0004 . 00151 3037035. 16 . 0151 .10TbnAAYY sbsnUAYIAI15.015115. 01513037035. 16 . 0151 .1021nnUU节点电压方程为节点电压方程为2-6 2-6 移源法移源法北京邮电大学北京邮电大学 电子工程学院电子工程学院 俎云霄俎云霄 电压源移源后，原网络的拓扑结构发生了变化，节点数和支路电压源移源后，原网络的拓扑结构发生了变化，节点数和支路数均减少一个，即纯电压源支路的两端点合并为一个节点。

28、数均减少一个，即纯电压源支路的两端点合并为一个节点。 电压源的转移电压源的转移 Z1Z2Z31254- - + +2sU4sU3N1N2- - + +Z1Z2Z31254+ + - -2sU4sU3N1N24sU4sU+ + - -+ + - -+ + - -电流源的转移电流源的转移 Z2Z3Z41sI1234Z2Z3Z41sI12341sI1sI电流源移源后，原网络的拓扑结构发生了变化，支路数均减少电流源移源后，原网络的拓扑结构发生了变化，支路数均减少一个，纯电流源支路被转移走，而节点数没有变化。一个，纯电流源支路被转移走，而节点数没有变化。 例例2 26 6 写出如图所示电路节点电压方程的

29、矩阵形式。写出如图所示电路节点电压方程的矩阵形式。 5sI2sU6sUZ61234Z4Z3Z1+ + +- - -Z1Z3Z42sU6sUZ612345sI5sI+ + +- - -Z1Z3Z46sUZ612345sI2sU2sU5sI+ + + +- - - -Z1Z3Z44sUZ61245sI2sU2sU5sI+ + + +- - - -2-7 22-7 2b b法法北京邮电大学北京邮电大学 电子工程学院电子工程学院 俎云霄俎云霄 2 2b法的基本思想是以每个元件作为一条支路，不再选用复合支法的基本思想是以每个元件作为一条支路，不再选用复合支路，方程的变量也不再只是电压或电流，而是各支路电

30、压和电路，方程的变量也不再只是电压或电流，而是各支路电压和电流的组合。流的组合。 1U3sU2U14U3I36Ir27Ug53I5I+-+ -L5C1G2+ -+ -+ -abcde123687541234选选e e为参考节点，则独立节点的为参考节点，则独立节点的KCL方程为方程为 0431III021II0653III0876 III选网孔作为一组独立回路，则根选网孔作为一组独立回路，则根据图示的回路绕行方向，各回路据图示的回路绕行方向，各回路的的KVL方程为方程为 0421UUU0543UUU0765UUU087UUabcde123687541234111UCjI222UGI33sUU14

31、4UU555jILU366IrU277UgI588II各支路的电压、电流约束关系为各支路的电压、电流约束关系为 1U3sU2U14U3I36Ir27Ug53I5I+-+ -L5C1G2+ -+ -+ -改写如下（已知量在方程右边，未知量在方程左边）改写如下（已知量在方程右边，未知量在方程左边） 0j111 IUC0222 IUG0144UU0j555UIL0366 IrU0g277 UI0588II33sUUssUIUINMBA0000三组方程联合写为如下形式三组方程联合写为如下形式 A、B即为网络的关联矩阵和回路矩阵，即为网络的关联矩阵和回路矩阵，M、N则与第六节的则与第六节的意义不同。意义不同。 矩阵矩阵M、N的列写规则：的列写规则：如果支路是阻抗元件，则对应此支路的如果支路是阻抗元件，则对应此支路的M M的对角元素为该支的对角元素为该支路的阻抗，而路的阻抗，而N N矩阵的对应位置为矩阵的对应位置为1 1；如果支路是导纳元件，则对应此支路的如果支路是导纳元件，则对应此支路的N N的对角元素为该支的对角元素为该支路的导纳，而路的导纳，