57平面向量数量积的坐标表示(一)

1、5.7 5.7 平面向量数量积平面向量数量积的坐标表示的坐标表示( (一）一）yyyy年年M月月d日星期日星期W教学目标：教学目标： 要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示 掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式。两点间的距离公式。 能用所学知识解决有关综合问题。能用所学知识解决有关综合问题。教学重点：教学重点：平面向量数量积的坐标表示平面向量数量积的坐标表示教学难点：教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用平面向量数量积的坐标表示的综合运用平面向量的数量积平面向量的数量积 ab a b=0 (

2、 (判断两向量垂直的依据判断两向量垂直的依据) ) |cosbaba cosbaba运算律：运算律：abba1bababa2cbcacba3 平面向量基本定理：平面向量基本定理： 如果如果 是同一平面内的两个不共是同一平面内的两个不共线向量，那么对于平面内的任一向量线向量，那么对于平面内的任一向量a ，有且只有与一对实数有且只有与一对实数 ， 使使 21ee、21、2211eea一、复一、复 习习 引引 入：入：怎样用怎样用a和和b的坐标表示的坐标表示ab呢呢设两个非零向量设两个非零向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2) ijx o B(x2,y2) A(x1,y1) aby 二、新二、

3、新 课课 教教 学：学：平面两向量数量积的坐标表示平面两向量数量积的坐标表示 _ _ _ _ ii jj jiij单位向量单位向量i 、j 分别与分别与x 轴轴、y 轴方向相同，求轴方向相同，求1100 能否推导出能否推导出 ab 的坐标公式的坐标公式? ? jyixjyixba22112211221221jyyjiyxjiyxixx2121yyxx两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即1212a bx xy y（1）设）设a =（x，y），），则则 或或 |a |= .2|a22yx 22yx 2.平面内两点间的距离公式平面内两点间的距离

4、公式（2）如果表示向量）如果表示向量 a的有向线段的起点和终点的坐标的有向线段的起点和终点的坐标分别为分别为(x1,y1),(x2,y2) , 那么那么221212|()()xxyya这就是平面内两点间的距离公式。这就是平面内两点间的距离公式。1 2120 x xy yab122 1/0 x yx ya b3.向量垂直和平行的判定向量垂直和平行的判定4.两向量夹角的余弦（两向量夹角的余弦（ ）0121222221122cos| |x xy yxyxya bab例例1设设 ， ，求，求 . 7, 5 a4, 6 bba解：解： 24765baa 、b 夹角的余弦值？夹角的余弦值？ 9629625

5、2742cos222221212121yxyxyyxx三、例三、例 题题 解解 析：析：例例2 2 已知已知 A(1, 2)，B(2, 3)，C( 2, 5)，求证：，求证：ABC 是直角三角形。是直角三角形。AB=(2 1, 3 2) = (1, 1), AC= ( 2 1, 5 2) = ( 3, 3) ABC是直角三角形是直角三角形证明：证明：AB AC =1( 3) + 13 = 0ABAC 例例3 已知已知 a = (3, 1)，b = (1, 2)，求满足，求满足 x a = 9 与与 x b = 4 的向量的向量 x. 解：设解：设x = (t, s)， 由由 x = (2, 3

6、)939424tsts x ax b32st例例4.4. (08. (08. 江西江西 理理) )直角坐标平面内三点直角坐标平面内三点A(1，2)、B(3，一，一2)、C(9，7)，若，若E、F为线段为线段BC的三等分点，则的三等分点，则AE AF (2, 4),(8,5),(6,9),ABACBC 1(6,2),3AFACCFACBC 24222.AE AF 1(4, 1),3AEABBEABBC 解析：解析：例例5 已知已知a（，（， ），），b（ ， ），则），则a与与b的夹角是多少的夹角是多少?分析：分析：为求为求a与与b夹角，需先求夹角，需先求ab及及ab，再结，再结合夹角合夹角的范

7、围确定其值的范围确定其值.333333解：由解：由a(1，)，b( +1, - -1)2有有ab4，a2，b2记记a与与b的夹角为的夹角为，则，则cos22baba又又0，4已知已知三角三角形函形函数值数值求角求角时，时，应注应注重角重角的范的范围的围的确定确定.例例6 6、已知点、已知点O(0,0),A(1,2),B(4,5)O(0,0),A(1,2),B(4,5)及及 若点若点P P在第二象限在第二象限, ,求求t t 的取值范围的取值范围, ,四边形四边形OABPOABP能否成平行四边形能否成平行四边形? ?若能求出相应的若能求出相应的t t值值, ,若不能若不能, ,请说明理由请说明理

8、由. .ABtOAOP解解：（：（1）).32 ,31()3 , 3()2 , 1(),3 , 3(tttABtOAOPAB若点在第二象限，则若点在第二象限，则3132 : 3231totot解得解得（2 2）),33 ,33(),2 , 1(ttOPOBPBOA若四边形若四边形OABPOABP为平行四边形，需为平行四边形，需 即即 由于此方程组无解，故四边形由于此方程组无解，故四边形OABPOABP不不可能为平行四边形。可能为平行四边形。PBOA 233133tt解：设所求向量为解：设所求向量为 sin,cosb a 与与b 成成 452822ba cos13cos13ba2sin13cos

9、13 另一方面另一方面 又又 1cossin22 联立解之：联立解之： ， 或或 ， 23cos21sin21cos23sin23,2121,2321bb或例例7：求与向量求与向量 的夹角的夹角 的单位向的单位向 量量( 31,31)a 451.已知已知a=(2,3),b=(- -4,7),则则a在在b方向上的投影为（方向上的投影为（ ） A. B. C. D.2.已知已知a=(，)，b=(- -3,5)且且a与与b的夹角为钝角，则的夹角为钝角，则的的取值范围是（取值范围是（ ） A. B. C. D.3.给定两个向量给定两个向量a=(3,4),b=(2,-1)且且(a+xb)(a- -b),

10、则则x等于等于（ ） A. 23 B. C. D. 1351356565310310310310223233234CAC练练 习：习： 4 已知已知 ， 且且 ，求，求 a. 3a2 , 1bba/1212,5555ee 或 5 已知已知a = =（4 4，2 2），），求与求与a 垂直的单位向量垂直的单位向量. 3636,5555aa 或3290Ak时31190kB时213390kC时 6 6 中，中， ， ，求，求k 的值的值. ABCRt3 , 2ABkAC, 1两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即1212x xy ya b两两条条性性质：质：小小 结：结：（1）设）设a =（x，y），），则则 或或 |a |= .2|a22yx 22yx （2）如果表示向量）如果表示向量 a的有向线段的起点和终点的坐标的有向线段的起点和终点的坐标分别为分别为(x1,y