几种常见的二次曲面

1、高等数学第九章4/16/20221第四节第四节 几种常见的二次曲面几种常见的二次曲面一、问题的提出一、问题的提出二、柱面二、柱面四、旋转曲面四、旋转曲面八、一般的二次曲面八、一般的二次曲面九、小结与思考判断题九、小结与思考判断题三、锥面三、锥面五、椭球面五、椭球面六、双曲面六、双曲面七、抛物面七、抛物面高等数学第九章4/16/20222一、问题的提出一、问题的提出 (Introduction)三元二次方程表示的曲面，称为二次曲面。三元二次方程表示的曲面，称为二次曲面。如球面如球面4)3()2()1(222 zyx1）对称性：关于坐标面，坐标轴）对称性：关于坐标面，坐标轴2）存在范围）存在范围3

2、）曲面与坐标轴、坐标面的关系）曲面与坐标轴、坐标面的关系 用平行于坐标面的平面去截曲面，由所得用平行于坐标面的平面去截曲面，由所得截痕来勾画曲面的大体形状及如下一些特性。截痕来勾画曲面的大体形状及如下一些特性。二次曲面的研究方法：二次曲面的研究方法：(不能用描点法，而用截痕法不能用描点法，而用截痕法)高等数学第九章4/16/20223二、柱面二、柱面1、柱面的定义：、柱面的定义： 一般地，平行于定直线并沿定曲线一般地，平行于定直线并沿定曲线C移移动的直线动的直线L形成的轨迹叫做柱面。形成的轨迹叫做柱面。 动直线动直线L叫做柱叫做柱面的母线，定曲线面的母线，定曲线C叫做柱面的准线。叫做柱面的准线

3、。 LC高等数学第九章4/16/202241）一般地，只含）一般地，只含 x, y 而缺而缺 z 的方程的方程 F(x, y)=0在空间直角坐标系中表示母线平行于在空间直角坐标系中表示母线平行于 z 轴的柱轴的柱面，其准线为面，其准线为 xoy 面上的曲线面上的曲线 ),(yxF例例1、 表示怎样的曲面？表示怎样的曲面？ Ryx222)(aayx 也是圆柱面。也是圆柱面。xy 是平面，是平面，xozyxy 解：解：也是柱面。也是柱面。母线平行于母线平行于 z 轴，准线为轴，准线为 xoy 面上的面上的曲线（圆）曲线（圆） 的圆柱面。的圆柱面。 Ryx高等数学第九章4/16/202252）一般地

4、，只含）一般地，只含 x, z 而缺而缺 y 的方程的方程 G(x, z)=0在空间直角坐标系中表示母线平行于在空间直角坐标系中表示母线平行于 y 轴的柱轴的柱面，其准线为面，其准线为 xoz 面上的曲线面上的曲线 ),(zxG例例2、 表示怎样的曲面？表示怎样的曲面？zx 母线平行于母线平行于 y 轴，准线为轴，准线为 xoz 面上的曲线（抛物线）面上的曲线（抛物线） 的抛物柱面。的抛物柱面。zx xozyzx 解：解：高等数学第九章4/16/202262、练习题、练习题: 下列方程在平面、空间直角坐标系中各表下列方程在平面、空间直角坐标系中各表示什么图形，并画出其草图。示什么图形，并画出其

5、草图。 zxxyx) ) )3）一般地，只含）一般地，只含 y, z 而缺而缺 x 的方程的方程 H(y, z)=0在空间直角坐标系中表示母线平行于在空间直角坐标系中表示母线平行于 x 轴的柱轴的柱面，其准线为面，其准线为 yoz 面上的曲线面上的曲线 ),(zyHxozy1 xyxozy2 xxozy422 yx高等数学第九章4/16/20227三、锥面三、锥面椭圆锥面：椭圆锥面：0222222 czbyax特殊情形：当特殊情形：当 a = b 时，此时为圆锥面。时，此时为圆锥面。oxy z 曲面与平面曲面与平面 z = t 相交，得截痕为不同高度、相交，得截痕为不同高度、不同大小的椭圆：不

6、同大小的椭圆：222222ctbyax 高等数学第九章4/16/202281 、定义：以一条平面、定义：以一条平面曲线绕该平面上的一条曲线绕该平面上的一条直线旋转一周所成的曲直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面。这条面叫做旋转曲面。这条直线叫做旋转曲面的直线叫做旋转曲面的轴轴。旋转的曲线称为旋转的曲线称为母线母线。四、旋转曲面四、旋转曲面高等数学第九章4/16/202292、 旋转曲面方程的求法旋转曲面方程的求法 ： 00),(xzyf方方程程为为 把该曲线绕把该曲线绕 z 轴旋轴旋转一周，得一个以转一周，得一个以 z 轴轴为轴的旋转曲面。为轴的旋转曲面。坐标平面上有一已知曲线坐标平面上有一已知

7、曲线C，1）设在）设在yoz),( zyM设设为曲线为曲线C上的任意一点，则有上的任意一点，则有 ),(zyf高等数学第九章4/16/202210当曲线当曲线C绕绕 z 轴旋转时，点轴旋转时，点 M也绕也绕 z 轴转动到轴转动到点点M到到 z 轴的距离轴的距离, yyxd,1zz 将将 yxy ),( zyf代代入入 ),( zyxf得得此即为所求旋转曲面的方程。此即为所求旋转曲面的方程。保保持持不不变变，此此时时，1zz ),(zyxM另另一一点点xozy0),( zyf), 0 (111zyM dM高等数学第九章4/16/202211注：求旋转曲面的方程的技巧：注：求旋转曲面的方程的技巧：

8、在曲线在曲线C 的方程的方程 的第一个方程的第一个方程 00)(xzy,f中，只要将中，只要将 y 改成改成,22yx z 不变，便得曲不变，便得曲 同理，曲线同理，曲线C绕绕 y 轴旋转所成的旋转曲面的轴旋转所成的旋转曲面的方程为：方程为： ) , (zxyf线线C绕绕 z 轴旋转所成的旋转曲面的方程。轴旋转所成的旋转曲面的方程。高等数学第九章4/16/2022122）xoy 面上的曲线面上的曲线C ：绕绕 x 轴轴 ) , (zyxf绕绕 y 轴轴 ),(yzxf3）zox 面上的曲线面上的曲线C ：绕绕 x 轴轴 ) , (zyxf绕绕 z 轴轴 ),(zyxf 00)(zyx,f 00

9、)(yzx,f高等数学第九章4/16/202213例例 3 直直线线L绕绕另另一一条条与与L相相交交的的直直线线旋旋转转一一周周，所所得得旋旋转转曲曲面面叫叫圆圆锥锥面面两两直直线线的的交交点点叫叫圆圆锥锥面面的的顶顶点点，两两直直线线的的夹夹角角)( 叫叫圆圆锥锥面面的的半半顶顶角角试试建建立立顶顶点点在在坐坐标标原原点点，旋旋转转轴轴为为 z轴轴，半半顶顶角角为为 的的圆圆锥锥面面方方程程 )2(0 cot: yzLyoz的方程为的方程为面上的直线面上的直线 cot yxz cot)( yxzxyz0直线直线L解：解：旋转面为旋转面为即即高等数学第九章4/16/202214例例4 xoy

10、面上的椭圆面上的椭圆12222 byax绕绕 x 轴转得曲面：轴转得曲面：122222 bzyax绕绕 y 轴转得曲面：轴转得曲面：122222 byazx zox 面上的双曲线面上的双曲线12222 bzax绕绕 z 轴转得曲面轴转得曲面： bzayx绕绕 x 轴转得曲面：轴转得曲面：122222 bzyax旋转椭球面旋转椭球面旋转椭球面旋转椭球面旋转单叶双曲面旋转单叶双曲面旋转双叶双曲面旋转双叶双曲面高等数学第九章4/16/2022151494222 zyx例例5轴轴转转成成绕绕 yyxxoy : 轴转成轴转成绕绕 yyzyoz 194 :22 思考：方程思考：方程 表示怎样的曲面？表示怎

11、样的曲面？222Ryx 是怎样形成的？是怎样形成的？或或 xyz0解：是由解：是由1、怎样形成？、怎样形成？2、什么曲面？、什么曲面？z高等数学第九章4/16/202216xy z五、椭球面五、椭球面 1222222 czbyax特殊情形：特殊情形： 当当 a=b=c 时，此时为球面时，此时为球面 azyx高等数学第九章4/16/202217 当当 a=b 时，此时为旋转曲面时，此时为旋转曲面1222222 czayax 当当 a=c 时，此时为旋转曲面时，此时为旋转曲面 1222222 azbyax 当当 c=b 时，此时为旋转曲面时，此时为旋转曲面1222222 czcyax高等数学第九章

12、4/16/2022181、单叶双曲面、单叶双曲面1222222 czbyaxoxyz当当 a=b 时为旋转单叶双曲面。时为旋转单叶双曲面。六、双曲面六、双曲面 高等数学第九章4/16/2022190 kkczbyax 2222220 k0 kxozy高等数学第九章4/16/2022202、双叶双曲面、双叶双曲面1222222 czbyax1222222 czbyax或者或者xyz0当当 a=c 时为旋转双叶双曲面。时为旋转双叶双曲面。xozy高等数学第九章4/16/2022211、 椭圆抛物面椭圆抛物面 2222zbyax xyz(0,0,0)a=b 时，成为旋转抛物面。时，成为旋转抛物面。七

13、、抛物面七、抛物面高等数学第九章4/16/2022222、 双曲抛物面（马鞍面）双曲抛物面（马鞍面） 2222zbyax xyz 也是双曲抛物面。也是双曲抛物面。 xzyo高等数学第九章4/16/202223八、一般的二次曲面八、一般的二次曲面 在研究一般的二次曲面时，要利用坐标变换在研究一般的二次曲面时，要利用坐标变换将其方程变为标准方程。将其方程变为标准方程。1、坐标系的平移、坐标系的平移 坐标系的平移只改变原点的位置，不改变坐坐标系的平移只改变原点的位置，不改变坐标轴的方向和单位长度。标轴的方向和单位长度。高等数学第九章4/16/202224xyzo 设设 为原始坐标系，为原始坐标系，

14、是空是空间一点，将原坐标系原点间一点，将原坐标系原点 平移到平移到 得新坐标得新坐标系系 。Oxyz),(000zyxO OO XYZO O XYZ0 xxXP 000zzZyyYxxX 000zZzyYyxXx 若点若点P在原坐标系在原坐标系下的坐标为（下的坐标为（x, y, z），），在新坐标系下的坐标为在新坐标系下的坐标为（X, Y, Z），则），则或或坐标系平移时坐标系平移时坐标变换公式坐标变换公式高等数学第九章4/16/20222512494222 zxzyx例例6 用坐标系的平移化去方程用坐标系的平移化去方程的一次项。的一次项。解：将方程变形为：解：将方程变形为：116)4(361

15、6)2(222 zyx 42zZyYxX取平移变换：取平移变换：则方程变为：则方程变为：1163616222 ZYX为旋转椭球面为旋转椭球面高等数学第九章4/16/2022262、坐标系的旋转、坐标系的旋转（略）（略）高等数学第九章4/16/202227例例7、指出下列方程所表示的曲面。、指出下列方程所表示的曲面。1)1()1222 zyx194)2222 zyx194)3222 zyx194)4222 zyxxozyxozyxozyxozy(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)高等数学第九章4/16/202228xyx2)522 yxz ) yxz ) yxz )xozyxozyxozyxozy(5)(5)(6)(6)(7)(7)(8)(8)高等数学第九章4/16/202229 yxz ) yxz ) yx)2)11xy xozyxozyxozyxozy(9