高数D连续函数的运算ppt课件

1、目录 上页 下页 返回 结束 一、连续函数的运算法则一、连续函数的运算法则 二、初等函数的连续性二、初等函数的连续性 第九节 连续函数的运算与 第一章 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理2. 连续单调递增函数的反函数也连续单调递增连续单调递增函数的反函数也连续单调递增. xx cot,tan在其定义域内连续一、连续函数的运算法则一、连续函数的运算法则定理定理1. 在某点连续的有限个函数经有限次和在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差差 , 积积 ,( 利用极限的四则运算法则证明)连续xx cos,sin商(分母不为 0) 运算, 结果仍是一个在该点连续的函数 .例如例如,例如例如,xys

2、in在,22上连续单调递增，其反函数xyarcsin(递减)(证明略)在1, 1上也连续单调(递减)11xOy22递增.xsinxarcsin目录 上页 下页 返回 结束 定理定理3.3. 设函数是由函数与函数复合而成,.)(0ogfDxU而函数连续,那么)(lim0ufuu)(lim0 xgfxx证, 0,)(lim00uxgxx又, 0对于, 0.)()(0成立恒有ufuf, 0 ,00时使当xx.)(0成立恒有uxg,)(0连续在点uuuf)(xgfy)(ufy)(xgu ,)(lim00uxgxx若)(ufy 0uu 在).(0uf,0时使当uu故)()(0ufxgf,因此定理成立.目

3、录 上页 下页 返回 结束 【意义】【意义】.)(. 1的理论依据变量代换xgu )(lim)(lim . 200 xgfxgfxxxx由可知可知极限符号极限符号 可以与对应法则可以与对应法则 f f 交换次交换次序序; ;0limxx例例解：解：xxx11sinlim求xxx11sinlimsinxxx11lim.sine目录 上页 下页 返回 结束 定理定理4.4.设函数设函数是由函数是由函数与函数与函数复合而成复合而成, ,.)(0gfDxU若函数若函数连续连续, ,而函数而函数连续连续, ,则复合而成则复合而成也连续也连续. .)(xgfy)(ufy)(xgu 0)(xxxgu在,)(

4、00uxg且0)(uuufy在)(xgfy0 xx 在点证证:)(lim0 xgfxx)(lim0ufuu)(0uf)(0 xgf故复合函数)(xgf.0连续在点 x目录 上页 下页 返回 结束 例如例如,xy1sin是由连续函数链),(,sinuuy,1xu *Rx因而xy1sin在*Rx上连续 .复合而成 ,xy1sinxyO目录 上页 下页 返回 结束 例例1 .设)()(xgxf与均在,ba上连续, 证明函数)(, )(max)(xgxfx 也在,ba上连续.证证:21)(x)()(xgxf)()(xgxf)()()(21xgxfx)()(xgxf根据连续函数运算法则 , 可知)(,

5、)(xx也在,ba上连续 .)(, )(min)(xgxfx 目录 上页 下页 返回 结束 二、初等函数的连续性二、初等函数的连续性基本初等函数在定义区间内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续一切初等函数在定义区间内连续例如例如,21xy的连续区间为1, 1(端点为单侧连续)xysinln的连续区间为Znnn, ) 12( ,2(1cosxy的定义域为Znnx,2因此它无连续点而目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 求求.)1 (loglim0 xxax解解: 原式xxax1)1 (loglim0elogaaln1例例3. 求求.1lim0 xaxx解解: 令令, 1xat那么

6、, )1 (logtxa原式)1 (loglim0ttataln目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 求求.)21 (limsin30 xxx解解:原式elim0 x)21ln(sin3xxelim0 xx36ex2例例5. 求求.12lim2 xexx解解因为因为12)( xexfx是初等函数是初等函数 , 且且20 x是其定义区间内的点是其定义区间内的点 , 所以所以12)( xexfx在点在点20 x处连续处连续 , 于是于是12lim2 xexx1222 e.52e 目录 上页 下页 返回 结束 幂指函数幂指函数因为因为,)()(ln)()(xuxvxvexu 故幂指函数可化为复合函

7、数故幂指函数可化为复合函数. .易见易见: :假设假设axu )(lim, 0 ,)(limbxv 那么那么)(ln)()(lim)(limxuxvxvexu )(ln)(limxuxve abeln .ba 即即bxvaxu )()(lim注意公式成立的条件注意公式成立的条件例例6.6. 求求.)2(lim110 xxxex称为幂指函数称为幂指函数. .解解11lim01100)2(lim)2(lim xxxxxxxexex12 .21 形如形如)()()(xvxuxf 的函数的函数)0)( xu目录 上页 下页 返回 结束 1,41,)(xxxxx例例7. 设设,1,21,)(2xxxxx

8、f解解:讨论复合函数)(xf的连续性 . )(xf1,2xx1,2xx故此时连续; 而)(lim1xfx21lim xx1)(lim1xfx)2(lim1xx3故 )(xfx = 1为第一类间断点 .1)(),(2xx1)(, )(2xx,)(1为初等函数时xfx在点 x = 1 不连续 , 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结基本初等函数在定义区间内连续连续函数的四则运算结果仍连续连续函数的反函数连续连续函数的复合函数连续 初等函数在定义区间内连续说明说明: 分段函数在界点处是否连续需讨论其分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性左、右连续性.目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习,)(0连续在点若xxf是否连