高等数学微分方程ppt课件

1、1一阶微分方程的 习题课 (一)解法及应用 第十二章 2一、一阶微分方程求解一、一阶微分方程求解 1. 一阶标准类型方程求解 关键关键: 辨别方程类型辨别方程类型 , 掌握求解步骤掌握求解步骤2. 一阶非标准类型方程求解 (1) 变量代换法(2) 积分因子法四个标准类型: 可分离变量方程, 齐次方程, 线性方程, 全微分方程 3例例1. 求下列方程的通解求下列方程的通解; 01) 1 (32xyeyy提示提示: (1),33xyxyeee因故为分离变量方程:通解;)2(22yyxyx;21)3(2yxy.2336)4(3223yyxyxxyxeyeyxydd32Ceexy3314方程两边同除以

2、 x 即为齐次方程 , ,0时xyyxyx22)2(时，0 x21uux21uuxxyxyy21xyxyy21令 y = u x ,化为分离变量方程.调换自变量与因变量的地位 ,221)3(yxy,2dd2yxyx用线性方程通解公式求解 .化为532232336)4(yyxyxxy方法方法 1 这是一个齐次方程这是一个齐次方程 .方法方法 2 化为微分形式化为微分形式 0d)23(d)36(3223yyyxxyxx故这是一个全微分方程 .xyu 令xQyxyP66例例2. 求下列方程的通解求下列方程的通解:)lnln() 1(yxyyyx提示提示: (1)令 u = x y , 得(2) 将方

3、程改写为0d)1ln(dln2)2(2xxyyyxxuxuxulndd)(ln)(yxyyxxyyxxxy2ln21dd3(贝努里方程) 2 yz令(分离变量方程)原方程化为7例例3.设F(x)f (x) g(x), 其中函数 f(x), g(x) 在(,+)内满足以下条件:, 0)0(),()(),()(fxfxgxgxf且(1) 求F(x) 所满足的一阶微分方程 ;(03考研) (2) 求出F(x) 的表达式 .解解: (1) )()()()()(xgxfxgxfxF)()(22xfxg)()(2)()(2xgxfxfxg)(2)2(2xFex所以F(x) 满足的一阶线性非齐次微分方程:.

4、2)()(xexgxf8(2) 由一阶线性微分方程解的公式得CxeeexFxxxd4)(d22d2Cxeexxd442代入上式，将0)0()0()0(gfF1C得于是 xxeexF22)(xexFxF24)(2)(xxCee229二、微分方程的应用二、微分方程的应用 1 . 建立数学模型 列微分方程问题建立微分方程 ( 共性 )利用物理规律利用几何关系确定定解条件 ( 个性 )初始条件边界条件2 . 解微分方程问题3 . 分析解所包含的实际意义 10考虑考虑: 能否根据草图列方程能否根据草图列方程?),(yxMyxo例例4 . 已知某曲线经过点已知某曲线经过点( 1 , 1 ),轴上的截距等于

5、切点的横坐标 , 求它的方程 .提示提示: 设曲线上的动点为设曲线上的动点为 M (x,y),)(xXyyY令 X = 0, 得截距, xyyY由题意知微分方程为xxyy即11yxy定解条件为.11xyyxxtanx此点处切线方程为它的切线在纵11二阶微分方程的 习题课 (二)解法及应用 一、两类二阶微分方程的解法一、两类二阶微分方程的解法 第十二章 12一、高阶微分方程的解法一、高阶微分方程的解法 1. 可降阶微分方程的解法可降阶微分方程的解法 降阶法降阶法)(dd22xfxy)dd,(dd22xyxfxy令xyxpdd)(),(ddpxfxp)dd,(dd22xyyfxy令xyypdd)(

6、),(ddpyfypp逐次积分求解 13例例1 求微分方程求微分方程 的通解的通解210,yyy提示提示: 令令, )(ypy 则方程变为,01dd2 pyppyyypppd1d2即14例例2 求解求解02 yay,00 xy10 xy提示提示: 令令),(xpy 则方程变为2ddpaxp积分得,11Cxap利用100 xxyp11C得再解,11ddxaxy并利用,00 xy定常数.2C152. 二阶线性常系数微分方程的解法二阶线性常系数微分方程的解法 常系数情形齐次非齐次特征根法待定系数法 221223/1 ,31 ,21 ,00,00 xxyxxyexyxexyy；思思考考题题：1.1.已

7、已知知二二阶阶线线性性非非齐齐次次微微分分方方程程的的三三个个特特解解为为：则则该该方方程程的的满满足足初初始始条条件件的的特特解解是是16 12121,22.12,3, 25, 332 ,23rrrrri ，已已知知常常系系数数线线性性齐齐次次方方程程的的特特征征根根依依次次为为：则则与与它它们们相相应应的的一一个个二二阶阶微微分分方方程程依依次次为为：1 1； /2-,_;3.1,xxxyaybyceyex eabc设设二二阶阶常常系系数数线线性性微微分分方方程程的的一一个个特特解解为为, ,则则方方程程通通解解为为/4.-1xyye。方方程程的的一一个个特特解解应应具具有有的的形形式式是

8、是175. 求以求以xxeCeCy221为通解的微分方程 .提示提示: 由通解式可知特征方程的根为由通解式可知特征方程的根为,2,121rr故特征方程为,0)2)(1(rr0232 rr即因此微分方程为023 yyy18xxCxCysincos21特征根 :,2 , 1ir例例1. 解初值问题解初值问题提示提示:故通解为sinyxx xyy ,00 xy00 xy设特解 :,BAxy代入方程定 A, B, 得xy , 0, 000 xxyy利用得19例例2.,)(二阶导数连续设xf且满足方程xtdtftxxxf0)()(sin)(. )(xf求提示提示: ,)()(sin)(00 xxtdtf

9、ttdtfxxxf那么xxfcos)()(sin)(xfxxf xtdtf0)()(xfx)(xfx问题化为解初值问题:xxfxfsin)()( ,0)0(f1)0( f最后求得xxxxfcos2sin21)(20特征根:325sin2yyyx 例例 解解方方程程,212, 1ir齐次方程通解:)2sin2cos(21xCxCeYx令非齐次方程特解为xBxAy2sin2cos*代入方程可得174171,BA思思 考考假设 (7) 中非齐次项改为,sin2x提示提示:,sin22cos12xxxBxAy2sin2cos*故D原方程通解为xx2sin2cos174171)2sin2cos(21xC

10、xCeyx特解设法有何变化 ?21例例4. 求质点的运动规上的力 F 所作的功与经过的时间 t 成正比 ( 比例系数,00vs初始速度为初始位移为).(tss 律提示提示:,d0tksFss由题设两边对 s 求导得:stkFdd牛顿第二定律stktsmdddd22mktsts22dddd ps 令令 kppm 为 k), 已知一质量为 m 的质点作直线运动, 作用在质点二、微分方程的应用二、微分方程的应用 22)()(xfyxy 有特,1xy 解而对应齐次方程有解,2xy 及求)(, )(xfx微分方程的通解 . 解解:, 0)(2 yxyxy代入将xx1)(得代入再将xy1)(1xfyxy 33)(xxf得故所给二阶非齐次方程为331xyxy ),(xpy 令方程化为331xpxp一阶线性非齐次方程1. 设二阶非齐次方程设二阶非齐次方程补充题补充题23331xpxp故py xxed1xCx121再积分得通解2211CxCxy)(1211CC1d13d3Cxexxx( )( )yp x yQ x ( )d(