第八节傅里叶级数ppt课件

1、第第 八节、傅里叶级数八节、傅里叶级数一、问题的提出：研究非正弦周期函数的级数表示一、问题的提出：研究非正弦周期函数的级数表示常见而又简单的周期函数：常见而又简单的周期函数：)sin( tAy,2: 周周期期,: A振振幅幅,: 角角频频率率,: 初初相相假设假设)(tf是一个以是一个以 2 T为周期的非正弦周期函数为周期的非正弦周期函数问题：可否将问题：可否将 f (t) 表为一系列正弦周期函数组成的级数表为一系列正弦周期函数组成的级数即即 10)sin()(nnntnAAtf 物理意义：将复杂的周期运动分解为许多不同频率的物理意义：将复杂的周期运动分解为许多不同频率的 简谐运动振动的叠加。

2、简谐运动振动的叠加。,2:00Aa 令令 10)sin()(nnntnAAtf )sin(nntnA tnAnn cossintnAnn sincos,sinnnnAa ,cosnnnAb , xt 那么那么1的右端的级数可改写为的右端的级数可改写为（1） 10)sincos(2nnnxnbxnaa（2）称称2为三角级数，为三角级数，), 2, 1(,0 nbaann均为常数均为常数1、三角级数、三角级数2的收敛性问题的收敛性问题2、将给定的以、将给定的以 2 为周期的周期函数展开成三角级数为周期的周期函数展开成三角级数 （2的形式。的形式。三角函数系三角函数系, 1（3）性质性质1：（：（3

3、中任何不同的两个函数的乘积在中任何不同的两个函数的乘积在, 上的积分等于零，即上的积分等于零，即,sin,cosxx,2sin,2cosxx,sin,cosxnxn dxxncos, 0sin dxxn), 2, 1( n, 0cossin xdxnxk), 2, 1,( nk, 0coscos xdxnxk), 2, 1,( nknk, 0sinsin xdxnxk), 2, 1,( nknk三角函数系三角函数系, 1（3）性质性质2：（：（3中任何两个相同函数的乘积在中任何两个相同函数的乘积在, 上的积分不等于零，即上的积分不等于零，即,sin,cosxx,2sin,2cosxx,sin,

4、cosxnxn,211 dx,sin2 dxxn), 2, 1( n,cos2 dxxn性质性质1和性质和性质2 称为三角函数系称为三角函数系3在区间在区间, 是正交的。是正交的。二、函数展开成傅里叶级数二、函数展开成傅里叶级数假设假设 f (x) 是周期为是周期为 2 的周期函数，的周期函数，问题问题1：如何利用：如何利用 f (x) 求出系数求出系数?,110baa且能展开成三角级数且能展开成三角级数 10)sincos(2)(kkkxkbxkaaxf（4）假设假设4可逐项可积，那么可逐项可积，那么 dxxf)( dxa20 1)sincos(kkkxdxkbdxxka 0a dxxfa)

5、(10 xdxnxfcos)( xdxnacos20 1coscos(kkdxxnxka na 问题问题1：如何利用：如何利用 f (x) 求出系数求出系数?,110baa 10)sincos(2)(kkkxkbxkaaxf（4） dxxfa)(10)cossin xdxnxkbk,cos)(1 xdxnxfan), 2, 1( n其次，为求其次，为求,na将将4两边同乘以两边同乘以,cosxn再从再从, 逐项积分，得到逐项积分，得到问题问题1：如何利用：如何利用 f (x) 求出系数求出系数?,110baa 10)sincos(2)(kkkxkbxkaaxf（4） dxxfa)(10,cos

6、)(1 xdxnxfan), 2, 1( n同理，同理，将将4两边乘以两边乘以,sinxn再从再从, 逐项积分逐项积分亦可得亦可得,sin)(1 xdxnxfbn), 2, 1( n,cos)(1 xdxnxfan), 2, 1, 0( n 由上述公式定出的由上述公式定出的nnba ,称为傅里叶系数。称为傅里叶系数。问题问题1：如何利用：如何利用 f (x) 求出系数求出系数?,110baa 10)sincos(2)(kkkxkbxkaaxf（4）,sin)(1 xdxnxfbn), 2, 1( n,cos)(1 xdxnxfan), 2, 1, 0( n 由上述公式定出的由上述公式定出的nn

7、ba ,称为傅里叶系数。称为傅里叶系数。以傅里叶系数代入以傅里叶系数代入4式右端所得三角级数式右端所得三角级数称为称为 f (x)的傅里叶级数。的傅里叶级数。 10)sincos(2kkkxkbxkaa（5）,sin)(1 xdxnxfbn), 2, 1( n,cos)(1 xdxnxfan), 2, 1, 0( n 由上述公式定出的由上述公式定出的nnba ,称为傅里叶系数。称为傅里叶系数。以傅里叶系数代入以傅里叶系数代入4式右端所得三角级数式右端所得三角级数称为称为 f (x)的傅里叶级数。的傅里叶级数。 10)sincos(2kkkxkbxkaa（5）问题：函数问题：函数 f (x) 的

8、傅里叶级数的傅里叶级数5是否一定收敛？是否一定收敛？如果它收敛，是否一定收敛于如果它收敛，是否一定收敛于 f (x) ？定理收敛定理，定理收敛定理，Dirichlet 充分条件）充分条件）（1在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点，在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点，设设 f (x) 是周期为是周期为 2 的周期函数，且满足的周期函数，且满足（2在一个周期内至多只有有限个极值点，在一个周期内至多只有有限个极值点，那么那么 f (x) 的傅里叶级数必收敛，并且的傅里叶级数必收敛，并且（1当当 x 是是 f (x) 的连续点时，级数收敛于的连续点时，级数收敛于 f (x)。（2当当 x 是

9、是 f (x) 的间断点时，级数收敛于的间断点时，级数收敛于)()(21 xfxf记记)()(21)(| xfxfxfxC则在则在 C 上，傅里叶级数收敛于上，傅里叶级数收敛于 f (x) 。（1在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点，在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点，定理收敛定理，定理收敛定理，Dirichlet 充分条件）充分条件）设设 f (x) 是周期为是周期为 2 的周期函数，且满足的周期函数，且满足（2在一个周期内至多只有有限个极值点，在一个周期内至多只有有限个极值点，那么那么 f (x) 的傅里叶级数必收敛，并且的傅里叶级数必收敛，并且（1当当 x 是是 f (x) 的

10、连续点时，级数收敛于的连续点时，级数收敛于 f (x)。（2当当 x 是是 f (x) 的间断点时，级数收敛于的间断点时，级数收敛于)()(21 xfxf特别在特别在,处处 x级数收敛于级数收敛于)()(21 ff例例1：设：设 f (x) 是周期为是周期为 2 的周期函数，它在的周期函数，它在 xxxf0, 1, 0, 1)(将将 f (x) 展开成傅里叶级数。展开成傅里叶级数。解：解： 先画出先画出 f (x) 的图形，并确定收敛性的图形，并确定收敛性), 上的表达式为上的表达式为xy11 0 2 2 函数函数 f (x) 仅在仅在),2, 1, 0( kkx 处不连续处不连续在这些点处，

11、级数收敛于在这些点处，级数收敛于2)()( ff0211 例例1：设：设 f (x) 是周期为是周期为 2 的周期函数，它在的周期函数，它在 xxxf0, 1, 0, 1)(将将 f (x) 展开成傅里叶级数。展开成傅里叶级数。解：解： 先画出先画出 f (x) 的图形，并确定收敛性的图形，并确定收敛性), 上的表达式为上的表达式为 xdxnxfancos)(1 0cos) 1(1 xdxn 0cos11xdxn0 xdxnxfbnsin)(1 0sin) 1(1 xdxn 0sin11xdxn , 6, 4, 2,0, 5, 3, 1,4nnn 例例1：设：设 f (x) 是周期为是周期为

12、2 的周期函数，它在的周期函数，它在 xxxf0, 1, 0, 1)(将将 f (x) 展开成傅里叶级数。展开成傅里叶级数。解：解： 先画出先画出 f (x) 的图形，并确定收敛性的图形，并确定收敛性), 上的表达式为上的表达式为, 0 na , 6, 4, 2,0, 5, 3, 1,4nnnbn 10)sincos(2)(kkkxkbxkaaxf) 12sin(1213sin31sin4 xkkxx , x, 2, 1, 0, kkx 例例2：设：设 xxxxf0, 0, 0,)(将将 f (x) 展开成傅里叶级数。展开成傅里叶级数。解：解：xy 0 2 2)()( ff,处处 x f (x

13、) 并非周期函数，必须先进行周期延拓并非周期函数，必须先进行周期延拓 2 3 3)(xF当当,),(时时 x),()(xfxF 所以将所以将 F (x) 的傅里叶级数限制在的傅里叶级数限制在, ),( 即为即为 f (x) 在在),( 上的傅里叶级数展开式。上的傅里叶级数展开式。而在端点而在端点级数收敛于级数收敛于2 例例2：设：设 xxxxf0, 0, 0,)(将将 f (x) 展开成傅里叶级数。展开成傅里叶级数。若用若用 g (x) 表示表示 f (x) 的傅里叶级数在的傅里叶级数在), 的和函数的和函数那么那么 xxxxxg,0, 0, 0,)(2解：解：xy 0 2 f (x) 并非周

14、期函数，必须先进行周期延拓并非周期函数，必须先进行周期延拓 2 3 3)(xF例例2：设：设 xxxxf0, 0, 0,)(将将 f (x) 展开成傅里叶级数。展开成傅里叶级数。解：解： f (x) 并非周期函数，必须先进行周期延拓并非周期函数，必须先进行周期延拓 xdxnxfancos)(1 0cos1 xdxnx xdxnxfbnsin)(1 0sin1 xdxnxnn 1) 1( , 6, 4, 2,0, 5, 3, 1,42nnn dxxfa)(10 01 xdx2 例例2：设：设 xxxxf0, 0, 0,)(将将 f (x) 展开成傅里叶级数。展开成傅里叶级数。解：解： f (x)

15、 并非周期函数，必须先进行周期延拓并非周期函数，必须先进行周期延拓nbnn1) 1( , 6, 4, 2,0, 5, 3, 1,42nnnan ,20 a 10)sincos(2)(kkkxkbxkaaxf)sincos2(xx , x, x4 x2sin21 )3sin313cos32(2xx x4sin41 例例2：设：设 xxxxf0, 0, 0,)(将将 f (x) 展开成傅里叶级数。展开成傅里叶级数。解：解： f (x) 并非周期函数，必须先进行周期延拓并非周期函数，必须先进行周期延拓 10)sincos(2)(kkkxkbxkaaxf)sincos2(xx , x, x4 x2si

16、n21 )3sin313cos32(2xx x4sin41 本题在作傅里叶级数展开时，必须对本题在作傅里叶级数展开时，必须对 f (x) 作周期延拓，作周期延拓，但在具体计算过程中，并非用到延拓后的函数但在具体计算过程中，并非用到延拓后的函数 F (x)三、正弦级数和余弦级数三、正弦级数和余弦级数, )sincos(2)(10 nnnxnbxnaaxfCx 假设假设 f (x) 是周期为是周期为 2 的周期函数，的周期函数，且满足收敛定理条件且满足收敛定理条件那么那么其中其中,sin)(1 xdxnxfbn), 2, 1( n), 2, 1, 0( n ,cos)(1 xdxnxfan（1当当

17、 f (x) 为奇函数时，有为奇函数时，有, 0 na,sin)(20 xdxnxfbn), 2, 1( n), 2, 1, 0( n级数成为级数成为,sin)(1 nnxnbxfCx 正弦级数正弦级数三、正弦级数和余弦级数三、正弦级数和余弦级数, )sincos(2)(10 nnnxnbxnaaxfCx 假设假设 f (x) 是周期为是周期为 2 的周期函数，的周期函数，且满足收敛定理条件且满足收敛定理条件那么那么其中其中,sin)(1 xdxnxfbn), 2, 1( n), 2, 1, 0( n ,cos)(1 xdxnxfan（2当当 f (x) 为偶函数时，有为偶函数时，有, 0 n

18、b,cos)(20 xdxnxfan), 2, 1, 0( n), 2, 1( n级数成为级数成为,cos2)(10 nnxnaaxfCx 余弦级数余弦级数例例3：设：设 f (x) 是周期为是周期为 2 的周期函数，它在的周期函数，它在解：解： 先画出先画出 f (x) 的图形，并确定收敛性的图形，并确定收敛性), ,)(xxf 将将 f (x) 展开成傅里叶级数。展开成傅里叶级数。上的表达式为上的表达式为xy 0 2 2 函数函数 f (x) 仅在仅在),2, 1, 0()12( kkx 处不连续处不连续在这些点处，级数收敛于在这些点处，级数收敛于2)()( ff02 3 3 显然，显然，

19、f (x) 在在 ( , ) 上是一个奇函数。上是一个奇函数。例例3：设：设 f (x) 是周期为是周期为 2 的周期函数，它在的周期函数，它在,)(xxf 将将 f (x) 展开成傅里叶级数。展开成傅里叶级数。), 上的表达式为上的表达式为解：解： 先画出先画出 f (x) 的图形，并确定收敛性的图形，并确定收敛性xy 0 2 2 3 3 若用若用 g (x) 表示表示 f (x) 的傅里叶级数在的傅里叶级数在),( 的和函数的和函数那么那么 , 2, 1, 0,)12(, 0)12(,)(kkxkxxxxg 例例3：设：设 f (x) 是周期为是周期为 2 的周期函数，它在的周期函数，它在,)(xxf 将将 f (x) 展开成傅里叶级数。展开成傅里叶级数。解：解：), 上的表达式为上的表达式为因为，因为，f (x) 在在 ( , ) 上是一个奇函数。上是一个奇函数。, 0 na), 2, 1, 0( n所以所以 0sin)(2xdxnxfbn