秦九韶算法学习教案

1、秦九韶算法秦九韶算法(sun f)第一页，共14页。三维目标三维目标（a a）知识与技能）知识与技能了解秦九韶算法的计算过程，并理解利用秦九韶算了解秦九韶算法的计算过程，并理解利用秦九韶算法可以减少计算次数提高计算效率法可以减少计算次数提高计算效率(xio l)(xio l)的实质。的实质。（b b）过程与方法）过程与方法模仿秦九韶计算方法，体会古人计算构思的巧妙模仿秦九韶计算方法，体会古人计算构思的巧妙. .（c c）情感态度与价值观）情感态度与价值观通过对秦九韶算法的学习，了解中国古代数学家对通过对秦九韶算法的学习，了解中国古代数学家对数学的贡献，充分认识到我国文化历史的悠久。数学的贡献，

2、充分认识到我国文化历史的悠久。教学重难点教学重难点重点：秦九韶算法的特点重点：秦九韶算法的特点; ;难点难点: : 秦九韶算法的先进性理解秦九韶算法的先进性理解 . .第1页/共13页第二页，共14页。教学教学(jio xu)设计设计问题问题(wnt)1设计求多项式设计求多项式f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当当x=5时的值的算法时的值的算法,并写出程序并写出程序.x=5f=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7PRINT fEND程序程序点评点评:上述算法一共做了上述算法一共做了15次乘法运算次乘法运算,5次加次加法运算法运算.优点优点(yudin)是简单是简单,易懂易懂

3、;缺点是不通用缺点是不通用,不能解决任意多项多求值问题不能解决任意多项多求值问题,而且计算效率不高而且计算效率不高.第2页/共13页第三页，共14页。 这样计算上述多项式的值这样计算上述多项式的值,一共需要一共需要9次乘法次乘法运算运算(yn sun),5次加法运算次加法运算(yn sun).问题问题2有没有更高效有没有更高效(o xio)的算法的算法?分析分析:计算计算(j sun)x的幂时的幂时,可以利用前面可以利用前面的计算的计算(j sun)结果结果,以减少计算以减少计算(j sun)量量,即先计算即先计算x2,然后依次计算然后依次计算222,(),()xx xxxxxxx的值的值.第

4、二种做法与第一种做法相比第二种做法与第一种做法相比,乘法的运算乘法的运算次数减少了次数减少了,因而能提高运算效率因而能提高运算效率.而且对于计算机而且对于计算机来说来说,做一次乘法所需的运算时间比做一次加法做一次乘法所需的运算时间比做一次加法要长得多要长得多,因此第二种做法能更快地得到结果因此第二种做法能更快地得到结果.第3页/共13页第四页，共14页。问题问题3能否探索出更好的算法能否探索出更好的算法(sun f),来解决任来解决任意多项式的求值问题意多项式的求值问题?f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7=(2x4-5x3-4x2+3x-6)x+7=(2x3-5x2-4x+3)

5、x-6)x+7=(2x2-5x-4)x+3)x-6)x+7=(2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7v0=2v1=v0 x-5=25-5=5v2=v1x-4=55-4=21v3=v2x+3=215+3=108v4=v3x-6=1085-6=534v5=v4x+7=5345+7=2677所以所以(suy),当当x=5时时,多项式的值是多项式的值是2677.这种求多项式值的方法这种求多项式值的方法(fngf)就叫秦九韶算法就叫秦九韶算法.第4页/共13页第五页，共14页。例例1:用秦九韶算法用秦九韶算法(sun f)求多项式求多项式 f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当当x=5时

6、的时的值值.解法一解法一:首先首先(shuxin)将原多项式改写成如将原多项式改写成如下形式下形式 : f(x)=(2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7v0=2 v1=v0 x-5=25-5=5v2=v1x-4=55-4=21v3=v2x+3=215+3=108v4=v3x-6=1085-6=534v5=v4x+7=5345+7=2677所以所以(suy),当当x=5时时,多项式的值多项式的值是是2677.然后由内向外逐层计算一次多项式的值然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即即第5页/共13页第六页，共14页。2 -5 -4 3 -6 7x=51052521105108540534267

7、02677所以所以(suy),当当x=5时时,多项式的值是多项式的值是2677.原多项式原多项式的系数的系数(xsh)多项式多项式的值的值.例例1:用秦九韶算法用秦九韶算法(sun f)求多项式求多项式 f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当当x=5时的值时的值.解法二解法二:列表列表2第6页/共13页第七页，共14页。2 -5 0 -4 3 -6 0 x=5105252512512160560830403034所以所以(suy),当当x=5时时,多项式的值是多项式的值是15170.练一练练一练:用秦九韶算法用秦九韶算法(sun f)求多项式求多项式 f(x)=2x6-5x5-4

8、x3+3x2-6x当当x=5时的值时的值.解解:原多项式先化为原多项式先化为: f(x)=2x6-5x5 +0 x4-4x3+3x2-6x+0列表列表(li bio)21517015170 注意注意:n次多项式有次多项式有n+1项项,因此缺少哪一项应因此缺少哪一项应将其系数补将其系数补0.第7页/共13页第八页，共14页。f(x)=anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+a1x+a0.我们可以我们可以(ky)改写成如下形式改写成如下形式:f(x)=(anx+an-1)x+an-2)x+a1)x+a0.求多项式的值时求多项式的值时,首先首先(shuxin)计算最内层计算最内层括号内一次多项

9、式的值括号内一次多项式的值,即即 v1=anx+an-1,然后由内向然后由内向(ni xin)外逐层计算一次多项式的值外逐层计算一次多项式的值,即即一般地一般地,对于一个对于一个n次多项式次多项式v2=v1x+an-2,v3=v2x+an-3, ,vn=vn-1x+a0.这样这样,求求n次多项式次多项式f(x)的值就转化为求的值就转化为求n个个一次多项式的值一次多项式的值.这种算法称为这种算法称为秦九韶算法秦九韶算法.第8页/共13页第九页，共14页。点评点评:秦九韶算法是求一元多项式的值秦九韶算法是求一元多项式的值的一种方法的一种方法(fngf).它的特点是它的特点是:把求一个把求一个n次多

10、项式的值次多项式的值转化为求转化为求n个一次多项式的值个一次多项式的值,通过这种转化通过这种转化,把运算的次数由至多把运算的次数由至多n(n+1)/2次乘法运算和次乘法运算和n次加法运算次加法运算,减少为减少为n次乘法运算和次乘法运算和n次加法次加法运算运算,大大提高了运算效率大大提高了运算效率.第9页/共13页第十页，共14页。v1=anx+an-1,v2=v1x+an-2,v3=v2x+an-3, ,vn=vn-1x+a0.观察观察(gunch)上述秦九韶算法中的上述秦九韶算法中的n个一次个一次式式,可见可见vk的计算要用到的计算要用到vk-1的值的值.若令若令v0=an,得得v0=an,

11、vK=vK-1x+an-k(k=1,2,n这是一个在秦九韶算法中反复执行这是一个在秦九韶算法中反复执行(zhxng)的步骤的步骤,因此可用循环结构来实现因此可用循环结构来实现.问题问题画出程序框图画出程序框图,表示表示(biosh)用秦九韶算法用秦九韶算法求求5次多项式次多项式f(x)=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0当当x=x0 (x0是任意实数是任意实数)时的值的过程时的值的过程,然后写出程序然后写出程序.第10页/共13页第十一页，共14页。否否程序框图程序框图开始开始(kish)输入输入(shr)a0,a1,a2,a3,a4,a5输入输入(shr)x0n5?n=1v=a5v=vx0+a5-nn=n+1输出输出v结束结束是是INPUT a0,a1,a2,a3,a4