2020版高考数学大一轮复习-第4节复数讲义理含解析新人教A版

1、第 4 节复数考试要求 1.通过方程的解，认识复数；2.理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义；3.掌握复数代数表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义.|间识例叱依脸I回颇敦对，夯实基础知识梳理1.复数的有关概念内容意义备注复数的概念形如a+bi(aCR,beR)的数叫复数，其中实部为a,虚部为b若b=0,则a+bi 为实数；若a=0且bw0,则a+bi 为纯虚数复数相等a+bi=c+di?a=c且b=d(a,b,c,deR)共轲复数a+bi 与c+di 共轲？a=c且b=一d(a,b,c,dR)复平面建立平囿直角坐标系来表不复数的平面叫做复平面，x轴叫实轴，y轴叫虚轴

2、实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示虚数复数的模设OZ寸应的复数为 z=a+bi,则向量OZ勺长度叫做复数z=a+bi 的模|z|=|a+bi|=7a2+b22 .复数的几何意义复数集 C 和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集 C 与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即(1)复数 z=a+bi-复平面内的点Z(a,b)(a,beR).(2)复数z=a+bi(a,beR)- -川川: :平面向量OZ3 .复数的运算设zi=a+bi,Z2=c+di(a,b,c,deR),则(1)加法:zi+Z2=(a+bi)+(c+di)

3、=(a+c)+(b+d)i；(2)减法：ziZ2=(a+bi)(c+di)=(ac)+(bd)i；乘法：ziz2=(a+bi)(c+di)=(acbd)+(ad+bc)i;(a+bi)(cdi)(c+di)(cdi)微点提醒i.i 的乘方具有周期性1, n=4k,i,n=4k+i,ni=(kCZ).-i,n=4k+2,-i,n=4k+32 .复数的模与共轲复数的关系Z-Z=|Z|2=|z|2.3 .两个注意点(1)两个虚数不能比较大小；(2)利用复数相等a+bi=c+di 列方程时，注意a,b,c,dCR 的前提条件.基础自测疑误辨析二1 .判断下列结论正误(在括号内打或“x”)(1)复数z=

4、a+bi(a,bCR)中，虚部为bi.()(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.()(3)原点是实轴与虚轴的交点.()(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.()解析(i)虚部为 b;(2)虚数不可以比较大小.答案(i)x(2)x(3)V(4)V教材近化a2 .(选彳 2-2Pi06A2 改编)若复数(a23a+2)+(ai)i 是纯虚数，则实数a的值为(A.iB.2C.i 或 2D.-i(4)除法:zia+biZ2c+diac+bd+(bcad)i(c+diwo).2a3a+2=0,解析依题意，有解得 a=2,故选 B.a1W0,答案

5、 B253 .(选彳 2-2P116A1 改编)复数 2的共轲复数是()A.2iB.2+iC.3-4iD.3+41525(2+i)22-“一一解析丁一=”. .、=(2+i)2=3+4i,所以其共轲复数是 3-4i.2 i(2i2+i答案 C去縻然聆上、，3+i4 .(2017全国 n 卷)4P=()A.1+2iB.1-2iC.2+iD.2-i3+i(3+i)(1i)1+i(1+i)(1i)答案 D15 .（2018北京卷）在复平面内，复数匚 y 的共轲复数对应的点位于（）A.第一象限C.第三象限 D.第四象限解析=；+!，其共轲复数为 25，二复数;的共轲复数对应的点的坐标为 1-i2222

6、21-i11,、一，2,2,位于第四象限，故选D.答案 D一，一、,，1I、，,，、，、z+26.（2019青岛一模）已知复数 z=-1+i（i 是虚数单位），则齐=.解析 z=-1+i,则 z2=2i,.z+21+i（1+i）（1+i）2z+z1i（1i）11+i）2答案1|涛点聚焦突破外知井委悦求立考点一复数的相关概念解析B.第二象限【例 1】（1）（2019 上海崇明区质检）已知 z=?,则复数z的虚部为（）A.-iB.2C.-2iD.-2（2）已知在复平面内，复数z对应的点是Z（1,2）,则复数z的共轲复数 z=（）A.2-iB.2+iC.1-2iD.1+2i,.,1+i，i,、,，一

7、，（3）（2019大连一模）若复数 z=彳0为纯虚数，则实数a的值为（）A.1B.0C.-D.-12-,2-i（2i）（i），一一，解析（1）z=一二二=12i,则复数z的虚部为一 2.故选 D.ii（一 i）（2）复数z对应的点是Z（1,-2）,z=1-2i,:复数z的共轲复数 z=1+2i,故选 D.设z=bi,bCR 且bw0,1+i则d=bi,得至 ij1+i=ab+bi,i 十ai1=ab,且 1=b,解得 a=-1,故选 D.答案(1)D(2)D(3)D规律方法 1.复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的

8、方程（不等式）组即可.2.解题时一定要先看复数是否为a+bi（a,be用的形式，以确定实部和虚部.【训练 1】（1）已知复数z满足：（2+i）z=1i,其中 i 是虚数单位，则z的共轲复数为（）A3i551D.+i3（2）（2019株洲二模）设 1 为虚数单位，1i=jF 则实数 a=（）A.2B.1C.0D.-1解析(1)由(2+i)z=1i,得 z=2yi=Lil2iI，-z=5+|i.故选 B.2IiI2Ii/y2i/55552+ai(2).1i=iq,2+ai=(1i)(1+i)=2,解得 a=0.故选 C.13B.-+-i55C.3-i答案(1)B(2)C考点二复数的几何意义zi.【

9、例 2】(1)已知 i 是虚数单位，设复数zi=1+i,Z2=1+2i,则一在复平面内对应的点在Z2()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限2(2)(2019 北东新局考倜研考试)在复平面内，复数z对应的点与对应的点关于实轴对1i称，则 z=()A.1+iB.-1-iC.1+iD.1-iz11+i(1+i)(12i)31,斛析(1)由题可(于，1=1+2i=(1+2i)(1_2i)=5-5i，对应在呈平面上的点的坐,一，31，标为口一,在第四象限.55(2)复数 z 对应的点与 72=02I1；、=1+i 对应的点关于实轴对称，z=11-i(1-i)(1+i)1 .故选 D.答

10、案(1)D(2)D规律方法 1.复数z=a+bi(a,beR).一型工Z(a,b).一川应.&=(a,b).2 .由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观1,一一【训练 2】(1)设 i 是虚数单位，则复数 4r 在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限(2)如图，若向量OZ寸应的复数为 z,则 z+4 表示的复数为()8. 一 3 一 iC.3-iA.1+3iD.3+i-11-i11，11解析(1)=(1+i)(1)=2引，则复数 z 对应的点为 2-2，

11、在第四象限,故选 D.(2) 由题图可得Z(1,-1),即 Z=1-i,所以 zH=1-i+-r=1-idrr-z1-i(1i)(1+i)=1-i+424_=1i+2+2i=3+i.故选 D.答案(1)D(2)D考点三复数的运算【例 3】(1)(2018全国出卷)(1+i)(2-i)=()A.3iB.3+iC.3-i1i(2)(2018全国 I 卷)设 2=百丁+21,则|2|=()A.0B.1C.12一,一z2+3(3)设复数 z=1+2i,则Z=()A.2iB.-2iC.2D.3+iD.2D.-2解析(1)(1+i)(2i)=2i+2ii2=3+i.故选 D.2(2)-.=7L+2i=(+

12、2i=-1+2i=i,Iz|=|i|1+i(1+i)(1i)2=1.故选 c.Z2+3z-1(1+2i)2+312+4i+4i2+31+2i-12i4i-2r=2.故选 c.(4)原式=6_(1+i)2(中+血)(V3+V2i)2+(水)2+(盛)2.6x/6+2i+3i-J6.=i+_=1+i.5答案(1)D(2)C(3)C(4)1+i规律方法复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略(1)复数的乘法.复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位 i 的看作一类同类项，不含 i 的看作另一类同类项，分别合并即可.(2)复数的除法.除法的关键是分子分母同乘以分母的共轲复数，解题时要注意把

13、i 的哥写成最简形式.(3)复数的运算与复数概念的综合题.先利用复数的运算法则化简，一般化为 a+bi(a,be的形式，再结合相关定义解答(4)复数的运算与复数几何意义的综合题.先利用复数的运算法则化简,bCR)的形式，再结合复数的几何意义解答A.3-2iC.-3-2i,1+i(2)已知 i 为虚数单位，则二=(3i般化为a+bi(a,【训练 3】(1)(2018全国 H 卷)i(2+3i)=()B.3+2iD.-3+2i2-iAF2+iB.F1-2ic.-1+2iD.-设 z=1+i(i是虚数单位)，则A.1+3iB.1-3iC.1+3iD.-1-3i解析(1)i(2+3i)=2i+3i2=

14、-3+2i,故选 D.1+i(1+i)(3+i)1+2i(2)3-i=(3-i)(3+i)=52222(3)因为 z=1+i,所以z=(1+i)=1+2i+i=2i,2(1i)1+i(1+i)(1i)2(1i)2(1i)=1-i,贝Uz2-|=2i-(1-i)=-1+3i.故选 C.答案(1)D(2)D(3)C思维升华1.复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根.除法实际上是分母实数化的过程.2.复数z=a+bi(a,bCR)是由它的实部和虚部唯一确定的，两个复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的主要方法.对于一个复数z=a+bi(a,beR),既要从整体的角度去认识它，把

15、复数看成一个整体；又要从实部、虚部的角度分解成两部分去认识易错防范1.判定复数是实数，仅注重虚部等于 0 是不够的，还需考虑它的实部是否有意义2.注意复数的虚部是指在a+bi(a,beR)中的实数b,即虚部是一个实数.I分层限时调炼基础巩固题组（建议用时：30 分钟）一、选择题1 .已知复数（1+2i）i=a+bi,aCR,bCR,则 a+b=（）A.-3B.-1C.1D.3解析因为（1+2i）i=2+i,所以 a=2,b=1,则 a+b=1,选 B.答案 B2 .（2018浙江卷）复数T12（i 为虚数单位）的共轲复数是（）IiA.1+iB.1-iC.一 1+iD.一 1 一 i22（1+i

16、）2（1+i）-2-解析因为+i）=；7ii2=1+i,所以复数彳、的共轲复数为 1i.故选 B.答案 B3 .设复数z满足 z=|1-i|+i(i 为虚数单位)，则复数 z=()A.啦-iB.2+iC.1D.-1-2i解析复数z满足 z=|1-i|+i=2+i,则复数 z=/2-i,故选 A.答案 A4 .下列各式的运算结果为纯虚数的是()A.i(1+i)2B.i2(1-i)C.(1+i)2D.i(1+i)解析 i(1+i)2=i-2i=-2,不是纯虚数，排除 Ai2(1-i)=-(1-i)=-1+i,不是纯虚数，排除 B;(1+i)2=2i,2i 是纯虚数.故选 C.答案 C1A.2训窿提

17、升能力5.设1.z=1j+i(i为虚数单位）,则|z|=（D.21+2i6.若a为实数,且1-i1-i+i=(1+i)(1i)+i所以|z|=A.1解析因为1+2ia+i为实数，则 a=（）1B.-210.-3D.-2(1+2i)(ai)a+2+(2a1)i 曰a+i(a+i)(ai)个实数，所以2a1=0,1,-a=2 故选 B.答案 B7.（2019豫南九校质量考评）已知复数a+i2=x+yi(a,x,yCR,i 是虚数单位)，贝Ux+2y=(A.13B.5-3C.-5D.-1解析由题意得a+i=(x+yi)(2+i)=2xy+(x+2y)i,，x+2y=1,故选A.答案8.（2019福建

18、省普通高中质量检查）若复数z满足（1+i）z=|、/3+i|,则在复平面内，z对应的点位于（A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析由题意,面内对应的点为答案 A二、填空题(1+i)(1i)=1i,所以 z=1+i,其在复平（1,1）,位于第一象限，故选 A.9.（2018天津卷）i 是虚数单位，复数6+7i1+2i业=(6+7i)02i)1+2i(1+2i)(12i)5=4-i.5答案 4-i10.复数 z=(1+2i)(3i),其中 i 为虚数单位，则z的实部是2解析(1+2i)(3-i)=3+5i-2i=5+5i,所以z的实部为 5.答案 5一、一、_a+bi,2一一，西安八校联考)若i(a,bCR)与(2i)互为共轲复数，则 a-b=a+bi(a+bi)(i)2a+bi解析：=T2=bai,(2i)=44i1=34i,；(a,bF)iii与(2i)2互为共轲复数，b=3,a=-4,则 a-b=-7,故答案为一 7.答案712.在复平面内，O为原点，向量OA寸应的复数为一 1+2i,若点A关于直线 y=x的对称点为B,则向量OB寸应的复数为.解析因为 A：1,2)关于直线y=x的对称点B(-2,1),所以向量OB寸应的复数为一 2+i.答案2+i能力提升题组解析由复数 z