一、 线性变换的矩阵

1、一、一、 线性变换的矩阵线性变换的矩阵 二、二、 坐标变换坐标变换三、三、 矩阵唯一确定线性变换矩阵唯一确定线性变换四、四、 线性变换在不同基的矩线性变换在不同基的矩阵阵 相似矩阵相似矩阵一、一、 线性变换的矩阵线性变换的矩阵 现在设现在设V是数域是数域F上一个上一个n维向量空间，令维向量空间，令是是V的一的一个线性变换，取定个线性变换，取定V的一个基的一个基 令令 ,21nnnaaa12211111)(nnaaa22221122)(nnnnnnaaa2211)(设设 nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211n 阶矩阵阶矩阵A 叫做线性变换叫做线性变换关于基关于基 的的矩阵矩阵

2、. 上面的表达常常写出更方便的形式上面的表达常常写出更方便的形式: ,21n(1) (1) Annn)()(,),(),(),(212121二、二、 坐标变换坐标变换设设V是数域是数域F上一个上一个n 维向量空间维向量空间, 是它的一个基是它的一个基, 关于这个基的坐标是关于这个基的坐标是 而而()的坐标是的坐标是 问问: 和和 之间有什么关系之间有什么关系? ,21n),(21nxxx).,(21nyyy),(21nyyy),(21nxxx设设.),(21212211nnnnxxxxxx因为因为是线性变换，所以是线性变换，所以 （2 2）.)(,),(),()()()()(21212211n

3、nnnxxxxxx将（将（1）代入（）代入（2）得）得 .),()(2121nnxxxA最后，等式表明，最后，等式表明， 的坐标所的坐标所组成的列是组成的列是 ),()(21n关于.21nxxxA综合上面所述综合上面所述, 我们得到坐标变换公式：我们得到坐标变换公式：定理定理7.3.17.3.1 令令V是数域是数域F上一个上一个n 维向量空间，维向量空间，是是V的一个线性变换，而的一个线性变换，而关于关于V的一个基的一个基 的矩阵是的矩阵是 ,21nnnnnnnaaaaaaaaaA212222111211如果如果V中向量中向量关于这个基的坐标是关于这个基的坐标是 ，而而()的坐标是的坐标是 ，

4、 ),(21nxxx),(21nyyy那么那么nnxxxAyyy2121例例1 在空间在空间 内取从原点引出的两个彼此正交的内取从原点引出的两个彼此正交的单位向量单位向量 作为作为 的基的基.令令是将是将 的每一向的每一向量旋转角量旋转角的一个旋转的一个旋转. 是是 的一个线性变换的一个线性变换.我们我们有有 2V21,2V2V2V .cossin,sincos212211所以所以关于基关于基 的矩阵是的矩阵是21,cossinsincos设设 ，它关于基，它关于基 的坐标是的坐标是 ,而而 的坐标是的坐标是 .那么那么 2V21,xx21, 21, yy2121cossinsincosxxy

5、y三、三、 矩阵唯一确定线性变换矩阵唯一确定线性变换引理引理7.3.1 设设V是数域是数域F上一个上一个n 维向量空间，维向量空间， 是是V的一个基，那么对于的一个基，那么对于V 中任意中任意n个向量个向量 ，有且仅有，有且仅有 V 的一个线性变的一个线性变换换，使得，使得:,21nn,21niii, 2 , 1)(证证 设设 nnxxx2211是是V中任意向量中任意向量.我们如下地定义我们如下地定义V到自身的一个映到自身的一个映射射：nnxxx2211)(我们证明，我们证明，是是V的一个线性变换。设的一个线性变换。设Vyyynn2211那么那么 .)()()(222111nnnyxyxyx于

6、是于是 ).()()()(.)()()()(22112211222111nnnnnnnyyyxxxyxyxyx设设 那么那么 .Fa).()()()(221122112211axxxaaxaxaxaxaxaxannnnnn这就证明了这就证明了是是V的一个线性变换的一个线性变换.线性变换线性变换显然显然满足定理所要求的条件：满足定理所要求的条件：niii, 2 , 1)(如果如果是是V的一个线性变换，且的一个线性变换，且 niii, 2 , 1)(那么对于任意那么对于任意.2211Vxxxnn),()()()()()(221122112211nnnnnnxxxxxxxxx证证 设线性变换设线性变

7、换关于基关于基 的矩阵是的矩阵是A。那么那么 是是 的一个映射的一个映射.,21nA)()(FMVLn到定理定理7.3.27.3.2 设设V V 是数域是数域 F F 上一个上一个n n 维向量空间，维向量空间， 是是V V 的一个基，对于的一个基，对于V V 的每一个线的每一个线性变换性变换，令，令关于基关于基 的矩阵的矩阵A A与与它对应，这样就得到它对应，这样就得到V V 的全体线性变换所成的集合的全体线性变换所成的集合L(V)L(V)到到F F上全体上全体n n 阶矩阵所成的集合阶矩阵所成的集合 的一个的一个双射，并且如果双射，并且如果 , ,而而 ， 则则 (6)(6) (7) (7

8、) ,21n,21n)(FMn,( )L V A,FaaAaBAAB,BnnnnnnaaaaaaaaaA212222111211反过来，设反过来，设是是F上任意一个上任意一个n阶矩阵阶矩阵.令令 ., 2 , 1,2211njaaannjjjj显然显然关于基关于基 的矩阵就是的矩阵就是A. 这就证这就证明了如上建立的映射是明了如上建立的映射是 的双射的双射. ,21n)()(FMVLn到由引理由引理7.3.1，存在唯一的，存在唯一的 使使 )(VL., 2 , 1,)(njjj设设 我们有我们有 ).(),(ijijbBaA.),()(,),(),(),()(,),(),(21212121BA

9、nnnn由于由于是线性变换是线性变换, 所以所以 niiijniiijnibb11., 2 , 1),(因此因此 .),()(,),(),()(,),(),(212121ABBnnn 所以所以 关于基关于基 的矩阵就是的矩阵就是AB。（7）式成立，至于（）式成立，至于（6）式成立，是显然的）式成立，是显然的.,21n推论推论7.3.17.3.1 设数域设数域F上上n 维向量空间维向量空间V 的一个线性的一个线性变换变换关于关于V 的一个取定的基的矩阵是的一个取定的基的矩阵是A，那么，那么可可逆当且仅当逆当且仅当A可逆，并且可逆，并且 关于这个基的矩阵就关于这个基的矩阵就是是 . 11A证证 设

10、设可逆。令可逆。令 关于所取定的基的矩阵是关于所取定的基的矩阵是B。由（由（7），）， 1.1AB然而单位变换关于任意基的矩阵都是单位矩阵然而单位变换关于任意基的矩阵都是单位矩阵 I .所以所以AB = I . 同理同理 BA = I . 所以所以.1 AB注意到（注意到（5），可以看出），可以看出 同理同理 所以所以有逆，而有逆，而 .1 反过来，设反过来，设 而而A可逆可逆.由定理由定理7.3.2，有，有 于是于是 ,A1( ).L VA使.1IAA我们需要对上面的定理我们需要对上面的定理7.3.1和定理和定理7.3.2的深刻意义的深刻意义加以说明加以说明: 1. 取定取定n 维向量空间维

11、向量空间V的一个基之后的一个基之后, 在映射在映射: 之下之下, (作为线性空间作为线性空间)AnnFVL)(研究一个抽象的线性变换研究一个抽象的线性变换, 就可以转化为研究一个就可以转化为研究一个具体的矩阵具体的矩阵. 也就是说也就是说, 线性变换就是矩阵线性变换就是矩阵.以后以后,可可以通过矩阵来研究线性变换以通过矩阵来研究线性变换,也可以通过线性变换也可以通过线性变换来研究矩阵来研究矩阵. 2. 我们知道我们知道, 数域数域F上一个上一个n 维向量空间维向量空间V 同构同构于于 , V上的线性变换上的线性变换 nF)(:转化为转化为 上一个具体的变换上一个具体的变换: nFnnxxxAx

12、xx2121也就是说也就是说, 线性变换都具有上述形式线性变换都具有上述形式. 设设V是数域是数域F一个一个n维维向量空间向量空间. 是是V的一个的一个线性变线性变换换.假设假设 关于关于V的两个基的两个基 和和 12,n12,n的矩阵分别是的矩阵分别是 和和 即即A.B 1212(), (),),nnA 1212(), (),),nnB 令 是由基 到 的过渡矩阵：12,n12,nT 12121212112,(), ()(), (),.,),),nnnnnBTATTAT 因此因此（8）1.BTAT 等式（等式（8）说明了一个线性变换关于两个基的矩阵）说明了一个线性变换关于两个基的矩阵的关系的

13、关系.定义：定义：设设 A，B 是数域是数域 F 上两个上两个 n 阶矩阵阶矩阵. 如果存如果存在在F上一个上一个 n 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 T 使等式使等式成立，那么就说成立，那么就说B与与A相似，记作：相似，记作： . ATTB1BA n阶矩阵的相似关系具有下列性质：阶矩阵的相似关系具有下列性质：1. 自反性：每一个自反性：每一个n阶矩阵阶矩阵A都与它自己相似，都与它自己相似，因为因为2. 对称性：如果对称性：如果 ，那么，那么 ；因为由因为由.1AIIABA AB .)(11111BTTTBTAATTB得BA CB CA 3. 3. 传递性：如果传递性：如果且且那么那么事实上，由事实上，由 得得BUUCATTB11和).()()()(111TUATUTUATUC等式（等式（8）表明）表明n维向量空间的一个线性变换关于维向量空间的一个线性变换关于两个基的矩阵是相似的两个基的矩阵是相似的.反过来反过来，相似矩阵可以是同一个线性变换关于两个相似矩阵可以是同一个线性变换关于两个基的矩阵基的矩阵. .（证明留做练习）（证明留做练习）练习练习.设设 为线性空间为线性空间V一组基，一组基， 线性变换在线性变换在12, 这组基下的矩阵为这组基下的矩阵为 2 1,1 0A 为为V的另一组基，且的另一组基，且 12, 121211,)(,),