热传导方程与扩散方程

1、第二章 热传导方程与扩散方程v热传导方程在三维空间中，考虑均匀的、各向同性的物体。假定它的内部有热源或汇，并且与周围的介质有热交换，来研究物体内部温度的分布规律。物理模型xyzodSn Fourier实验定律实验定律:成正比导数法方向的方向度沿曲面与物体温的热量面积流过一个无穷小法线方向内沿物体在无穷小时段nudSdQdSnt .),(dSdtnuzyxkdQ 注：负号是因为热量总是从温度高的一侧流向低的一侧，.异号与故nudQ ., 它所包围的区域记为内任取一闭曲面在物体G.),(2121 ttdtdSnuzyxkQtt的全部热量为流进闭曲面到从时刻.),(),(),(),(),(),(,1

2、22121 dxdydztzyxutzyxuzyxzyxctzyxutzyxutt 它所吸收的热量是变化到温度从中在时间间隔., 为密度为比热其中 c由热量守恒定律，物体内部无热源时，由热量守恒定律，物体内部无热源时， dxdydzdttuzyxzyxcdxdydzdtzukzyukyxukxtttt2121),(),( dxdydztzyxutzyxuzyxzyxcdtdSnuzyxktt),(),(),(),(),(1221 2112ttttttt 通过边界的流入量热量热量交换积分次序交换积分次序 210ttdxdydzdtzukzyukyxukxtuc 则有热传导的齐次方程均是任意的及注

3、意到,21 tt. 0 zukzyukyxukxtuc 211212t tt ttt ttt t 热量 热量通过边界的流入量 热源的生成量若物体内部有热源，若物体内部有热源，程则有热传导的非齐次方).,(tzyxfzukzyukyxukxtuc 数学模型2( , , , )uauf x y z tt 二维的情形：22222( , , )uuuaf x y ttxy一维的情形：222( , )uuaf x ttx其中： a2=k/C， f (x,y,z,t)=f0/C，222222xyz 如果物体是均匀的，且各向同性的，则有如果物体是均匀的，且各向同性的，则有v定解条件边界条件给定温度函数 u(

4、x,y,z,t) 在物体表面的限制。一般来有三种类型：(0,)( , , , )( , , , )u x y z tg x y z t第一类边界条件：初始条件给出物体在初始时刻 t=0 的温度( , , ,0)( , , )u x y zx y z第二类边界条件：(0,)( , , , )ukg x y z tn第三类边界条件：(0,)( , , , )uug x y z tnv定解问题由方程与定解条件可以描述一个特定的物理现象，它构成一个定解问题混合问题：初始问题：222,0( ,0)( ),uuaxttxu xxx 222,0,0(0, )( , )0,0( ,0)( )0 xuuax l

5、 ttxutu l ttu xxx l v扩散方程考虑三维空间中一均匀的、各向同性的物体，假定它的内部有扩散源，来研究物体内部分子的浓度在时刻 t 的分布规律。物理模型数学模型( , , , )uD uf x y z tt 其中：u(x,y,z,t)表示于时刻 t 在 (x,y,z) 处的分子浓度f (x,y,z,t)表示单位时间内单位体积中产生的粒子数D 为扩散系数第二节初边值问题的分离变量法第二节初边值问题的分离变量法n 定解问题 )(|0|, 0|0,002xuuuLxuautLxxxxt )()(),(tTxXtxu 0)()0(0)()()0()( LXXLXtTXtT222222/

6、)/( XXTaTTXaTXaTXaXTTXaXTl 未知函数分离l 泛定方程分离l 边界条件分离l 分离结果00)()0(0222 TaTLXXXX )exp()(22taAtTkkk 0sin)(0)0(sincos)( LDLXCXxDxCxX LkxxXkkk/,sin)( NkLkkLL ,/0sin l 空间方程解出l 非零解条件l 非零解l 时间方程解出l 分离结果的求解00)()0(0222 TaTLXXXX 典型问题的求解xtaAtTxXtxukkkkkk sin)exp()()(),(22 xAxkk sin)( 11sin),(22kktakkkxeAtxuuk l 初始

7、条件要求l 分离结果的合成l 再合成半通解l 系数的确定xdxxLAkLk sin)(20 l 过程小结l分离变量分别求解合成半通解由初始条件确定系数分离变量流程图xxtuau20|0Lxxuu)(|0 xut)()(xXtTu0)() 0 (LXXXXTaT/ )/(2022TwaT02 XwX)exp(22twaATLkxX,sin)()(xXtTukkkkkXTu),( txuu典型问题的求解n 例题1)cos(sin|0|, 0|0, 0002xBAxuuuxuautxxxxtNktakATkxXkkk),exp(),sin(220)()0(0, 0)()(),(222XXXXTaTt

8、TxXtxu0,3sin2sinsin2sinsinsin)cos(sin2212132121kkABAAAxAxAxAxBxAkxAxBAx122sin)exp(kkkxtakAul 代入初始条件l 分离变量l 分别求解l 合成半通解第二类边界条件n 定解问题)(|0|, 0|0, 0002xuuuLxuautLxxxxxxt)exp(, 2 , 1 , 0,/),cos(222tawATwkLkwwxXkkk)()(),(tTxXtxu0)( )0( LXXXXTaT/ )/(2)()(0 xXAAxkk10)()(kkkxXtTTul 初始条件要求l 未知函数分离l 泛定方程分离l 边界条件分离l 本征运动l 半通解典型问题的求解n 例题2xAuuuxuautxxxxxxt2002cos|0|, 0|0, 000022, 1),exp(),cos(ATXNktakATkxXkkk0)( )0( 0, 0)()(