2年中考1年模拟备战2020年中考数学精品专题22圆的有关性质(解析版)

1、第四篇 图形的性质专题22圆的有关性质考点解读知识点名师点晴垂径定理1.垂径定理能运用垂径定理解决有关问题.2.垂径定理逆定理能运用垂径定理的逆定理解决有关问题.圆心角、弧、弦之间相等关系的定理1.圆心角了解圆心角的概念2.圆心角、弧、弦之间相等关系的定理应用弧、弦、圆心角的关系进行证明和计算.圆周角1.圆周角了解圆周角的概念2.圆周角的定理理解圆周角定理及其推论，熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用.考问突破规律总结归纳1：垂径定理及其推论基础知识归纳：i垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.推论1: (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.(2)

2、弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.(3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等.基本方法归纳：垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题. 注意问题归纳：这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思 想方法一定要掌握.【例1】(2019湖北省黄冈市，第 7题，3分)如图，一条公路的转弯处是一段圆弧( AB),点O是这段弧所在圆的圆心，AB=40m,点C是AB的中点，点D是AB的中点，且CD=10m,则这段弯路所在圆的半径为()A . 25mB. 24mC.

3、30mD. 60m【答案】A.【分析】根据题意，可以推出AD = BD=20,若设半径为r,则OD=r-10, OB=r,结合勾股定理可推出半径r的值.【详解】: OCXAB, AD = DB=20m.在 RtAOD 中，OA2=OD2+AD2,设半径为 r 得：r2= (r- 10) 2+202, 解得：r=25m, 这段弯路的半径为 25m.故选A.【点睛】本题考查了垂径定理的应用、勾股定理的应用，关键在于设出半径为r后，用r表示出OD、OB的长度.考点：垂径定理的应用.现律总培归纳2:弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理基础知识归纳：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等

4、，所对的弦的弦心距相等.推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.基本方法归纳：正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系：在同圆或等圆中，圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等.注意问题归纳：这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合.经具制题ABO【例2】（2019辽宁省葫芦岛市，第 9题，3分）如图，在。中，/ BAC=15° , / ADC=20的度数为（）9A. 70°B. 55°C. 45°

5、;D, 35°【答案】B.【分析】根据圆周角定理可得出/AOB的度数，再由OA=OB,可求出/ ABO的度数.【详解】连接OA、OC. / BAC=15° , / ADC=20° ,/ AOB=2 （/ADC + /BAC） =70 ° .OA=OB （都是半径），./ ABO=/OAB - （180。乙 AOB） =55 ° .2故选B.【点睛】本题考查了圆周角定理，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半.考点：圆心角、弧、弦的关系.规律总结归纳3:圆周角定理基础知识归纳：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心

6、角的一半.推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等.推论2:半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90。的圆周角所对的弦是直径.推论3:如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.基本方法归纳：在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握.注意问题归纳： 圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形.利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化. 圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”一圆心角转化.定理成立的条件是 “同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆

7、心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角.【例3】（2019浙江省温州市，第 22题，10分）如图，在 ABC中，/ BAC=90°，点E在BC边上，且CA = CE,过A, C, E三点的。交AB于另一点F,作直径 AD,连结DE并延长交 AB于点G,连结CD, CF .（1）求证：四边形 DCFG是平行四边形.（2）当BE=4, CD 3AB时，求。的直径长.8【答案】（1）证明见解析；（2） 3J5.【分析】（1）连接AE,由/ BAC=90° ,得到CF是。的直径，根据圆周角定理得到/ AED=90° ,即GDXAE,推出CF/DG,推出AB/CD,于是得到

8、结论；（2）设 CD=3x, AB=8x,得至U CD=FG=3x,于是得至U AF=CD=3x,求得 BG=8x- 3x- 3x=2x,求得 BC=6+4=10,根据勾股定理得到 AB=8=8x,求得x=1 .在RtA ACF中，根据勾股定理即可得到结论.【详解】（1）连接AE.BAC=90° , CF 是OO 的直径. AC=EC,CFXAE. AD 是。的直径， ./ AED=90° ,即 GDXAE, . CF/ DG . AD 是。的直径，ACD=90° , ./ ACD + ZBAC=180° ,AB/CD, 四边形 DCFG 是平行四边 形

9、;(2)由 CD 3AB,设 CD=3x, AB=8x, . CD = FG=3x.8. / AOF = /COD, AF=CD=3x, . . BG=8x 3x-3x=2x. GE / CF,BE BG 2EC GF 3 BE=4, AC=CE=6, . BC=6+4=10 , . AB V102628=8x,x=1 .在 RtMCF 中，AF=10, AC=6, . CFJ32 623 J5 ,即。O的直径长为3，5 .D【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，平行四边形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，熟练掌 握平行四边形的判定定理是解题的关键.考点：1.平行四边形的判定与性质；2.垂

10、径定理；3.圆周角定理；4.三角形的外接圆与外心.题突战【2019年题组】一、选择题1. （2019广西贵港市，第 9题，3分）如图，AD是。的直径，Ab Cd ,若/ AOB=40° ,则圆周角/BPC的度数是（A . 40°B, 50°C. 60°D, 70°【答案】B.【分析】根据圆周角定理即可求出答案.【详解】: Ab Cd, zaob=40° , .-.z cod=zaob=40° .,/ AOB+/BOC+/COD=180。, . / BOC=100° , . . / BPC - Z BOC=502故选

11、B.【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键.考点：1.圆心角、弧、弦的关系； 2.圆周角定理.2. (2019内蒙古赤峰市，第 10题，3分)如图，AB是。O的弦，OCLAB交。O于点C,点D是。O上一点，/ ADC=30° ,则/ BOC的度数为()A . 30°B, 40°C. 50°D, 60°【答案】D.BOC的【分析】由圆周角定理得到/ AOC=2ZADC=60° ,然后由垂径定理和圆心角、弧、弦的关系求得/【详解】如图，.一/ ADC=30° , .AOC =2ZADC =60. AB 是。

12、O 的弦，OCAB 交。O 于点 C, AC ?C , . AOC = /BOC=60° 故选D.【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能综合运用定理进行推理是解答此题的关键.考点：1.垂径定理；2.圆心角、弧、弦的关系；3.圆周角定理.3. （2019广西梧州市，第11题，3分）如图，在半径为 JT3的。中，弦AB与CD交于点E, / DEB=75A. 2 而B. 210C. 2布D. 4a【答案】C.【分析】过点 。作OF LCD于点F, 06，人8于6,连接OB、OD、OE,由垂径定理得出 DF = CF,AG = BG ；AB=3,得出EG

13、=AG-AE=2,由勾股定理得出 OG JoB2BG2 2,证出 EOG是等腰直角三角形，得出/ OEG=45° , OE J20G=2j2,求出/ OEF=30° ,由直角三角形的性质得出OF 1OE J5,由勾股定理得出 DF 一 布，即可得出答案.2【详解】过点 。作OF LCD于点F,。6，人3于6,连接OB、OD、OE,如图所示：则 DF = CF, AG=BG 1AB=3,. EG=AG-AE=2.在 R匕 BOG 中，OG TOB2BG2 ,13 9 2, 2EG = OG, . EOG 是等腰直角三角形，OEG=45° , OE J20G=2亚.

14、/ DEB=75。，. / OEF=30。，. . OF 1OE 五.在 RtODF 中，DF JoD2 OF2 J13 2 历， 2 .CD=2DF=2 5.故选C.D【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理以及直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键.考点：1.勾股定理；2.垂径定理.4. （2019湖北省十堰市，第 8题，3分）如图，四边形 ABCD内接于。O, AE，CB交CB的延长线于点E,若 BA 平分/ DBE, AD=5, CE J13 ,贝U AE=（）A . 3B. 372C. 473D. 2近【答案】D.【分析】连接 AC,如图，根据圆内接四边形

15、的性质和圆周角定理得到/1 = /CDA, /2=/3,从而得到/3=/CDA,所以AC=AD=5,然后利用勾股定理计算 AE的长.【详解】连接 AC,如图，= BA平分/ DBE,1 = 72. / 1 = /CDA, /2=/3,，/3=/CDA, . AC=AD=5. AECB, ./ AEC=90。，. . AE JaT CE2 /52 （而）2 273 .故选D.【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）.也考查了勾股定理.考点：1.勾股定理；2.垂径定理；3.圆内接四边形的性质.5. （2019

16、吉林省，第5题，2分）如图，在。中，AB所对的圆周角/ ACB=50° ,若P为Ab上一点,A. 30°B. 45C. 55D. 60°ZAOP=55° ,则/ POB的度数为（）B. 4C. 2 AD. 4.8【答案】B.【分析】根据圆心角与圆周角关系定理求出/AOB的度数，进而由角的和差求得结果.【详角军】. / ACB=50° , . AOB=2/ACB=100° . / AOP=55° , .POB=45° .故选B.【点睛】本题是圆的一个计算题，主要考查了在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角等于它所对的

17、圆周角的2信倍.考点：1.圆心角、弧、弦的关系；2.圆周角定理.6. （2019四川省广元市，第 6题，3分）如图，AB, AC分别是。O的直径和弦，OD LAC于点D,连接BD, BC,且 AB=10, AC=8,贝U BD 的长为（）【答案】C.【分析】先根据圆周角定理得/ ACB=90° ,则利用勾股定理计算出 BC=3,再根据垂径定理得到CD=AD -AC=4,然后利用勾股定理计算 BD的长. 2【详解】. AB 为直径， ./ ACB=90° , BC JAB2AC7 q5 42 3. ODXAC, CD=AD 1 AC=4 .在 Rt CBD 中，BD 4462

18、 2瓦.故选C.【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的90。的圆周角所对的弦是直径.也考查了垂圆心角的一半.推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角, 径定理.考点：1.勾股定理；2.垂径定理；3.圆周角定理.7. （2019四川省成都市，第 9题，3分）如图，正五边形ABCDE内接于。O, P为DE上的一点（点 P不与点D重合），则/ CPD的度数为（）A. 30°B. 36°C. 60°D, 72°【答案】B.【分析】连接 OC, OD.求出/ COD的度数，再根据圆周角定理即可解决问题.【详解】如

19、图，连接 OC, OD. ABCDE 是正五边形，COD 360- 72° , ：.£ CPD - Z COD=36° 52故选B.【点睛】本题考查了正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考 题型.考点：1.圆周角定理；2.正多边形和圆.8. （2019四川省眉山市,第10题，3分）如图，。的直径AB垂直于弦 CD,垂足是点E, ZCAO=22.5° ,A. 6C. 6D. 12【答案】A.,则4OCE为等腰直角三【分析】先根据垂径定理得到 CE = DE,再根据圆周角定理得到/ BOC=2ZA=45°角形，所

20、以CE 12OC=3 J2 ,从而得到CD的长.【详解】 CDXAB,CE=DE.BOC=2/A=2X22.5° =45° ,OCE 为等腰直角三角形，CE OCCD=2CE=6 V2 .故选A.【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.也考查了垂径定理.考点：1.垂径定理；2.圆周角定理.9. (2019山东省威海市，第 12题，3分)如图，O P与x轴交于点 A (- 5, 0), B (1, 0),与y轴的正半轴交于点C.若/ ACB=60° ,则点C的纵坐标为()A.而也B. 2 72 MC.

21、 472D, 272 2【答案】B.【分析】连接 PA, PB, PC,过P作PDXAB于D, PEXBC于E,根据圆周角定理得到/ APB=120° ,根 据等腰三角形的性质得到/ FAB=ZPBA=30° ,由垂径定理得到 AD = BD=3,解直角三角形得到 PD J3 , PA=PB=PC=2，3,根据勾股定理得至ij CE PC2 PE2 J12 4 2J2,于是得到结论.【详解】连接 PA, PB, PC,过P作PD, AB于D, PEXBC于E. / ACB=60° , .APB=120° . PA=PB, ./ PAB=ZPBA=30&#

22、176; .,PA=PB=PC=2. A (5, 0), B (1, 0), AB=6,AD = BD=3, . PD PDXAB, PEXBC, /AOC=90° , .四边形 PEOD 是矩形，OE = PD 3 , PE=OD=2,CEJPC2PE2J124272 , .OC = CE+OE=2 J2J3 ,点 C 的纵坐标为 2丘J3 .故选B.13【点睛】本题考查了圆周角定理，坐标与图形性质，垂径定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键.考点：1.坐标与图形性质；2.垂径定理；3.圆周角定理.10. （2019滨州，第6题，3分）如图，AB为。的直径，C, D为。上两点

23、，若/ BCD=40° ,则/ ABD的大小为（）DA . 60°B, 50°C. 40°D, 20°【答案】B.【分析】连接 AD,先根据圆周角定理得出/ A及/ADB的度数，再由直角三角形的性质即可得出结论.【详解】连接AD. AB 为。的直径， ./ ADB=90° . / BCD=40° , . A=ZBCD=40° ,，ABD=90° 40° =50 ° .【点睛】本题考查了圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解答此题的关键.考点：圆周角定理.11. （2019山东

24、省潍坊市，第 11题，3分）如图，四边形 ABCD内接于。O, AB为直径，AD=CD,过点D作DEXAB于点E,连接AC交DE于点F.若sinZ CAB 3 , DF=5,则BC的长为（）A. 8B. 10C. 12D. 16【答案】C.【分析】连接BD,如图，先利用圆周角定理证明/ADE=/DAC得至ij FD=FA=5,再根据正弦的定义计算出EF=3,贝UAE=4, DE=8,接着证明 ADEA DBE ,禾U用相似比得至U BE=16,所以AB=20 ,然后在RtA ABC 中利用正弦定义计算出 BC的长.【详解】连接 BD,如图，AB为直径，/ ADB = /ACB=90°

25、 . AD = CD,DAC=/DCA,而/ DCA = ZABD, . / DAC=/ABD. DEXAB, ./ ABD+ /BDE=90° ,而/ ADE + Z BDE=90° ,/ ABD = Z ADE, . / ADE= / DAC,。人 上 ，八 EF 3FD = FA=5.在 RtAEF 中，sinZ CAB -, . EF=3, . AE <5 34, DE=5+3=8 .AF 5 . / ADE=/DBE, /AED=/BED, /.A ADEA DBE, ，DE: BE=AE: DE,即 8: BE=4: 8, . BE=16,BC33AB=4

26、+16=20 .在 RtA ABC 中，sin Z CAB 一 BC=20 12AB 55故选C.【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90。的圆周角所对的弦是直径.也考查了解直角三角形.考点：1.圆心角、弧、弦的关系；2.圆周角定理；3.解直角三角形.12. （2019聊城，第8题，3分）如图，BC是半圆。的直径，D, E是？C上两点，连接BD, CE并延长交于点A,连接OD, OE.如果/ A=70° ,那么/ DOE的度数为（）A. 35°B. 38°

27、C. 40D. 4217【答案】C.【分析】连接 CD,由圆周角定理得出/ BDC=90° ,求出/ ACD =90 ° -Z A=20° ,再由圆周角定理得出/ DOE=2/ACD=40° 即可.【详解】连接 CD,如图所示：. BC 是半圆。的直径， ./ BDC=90° , . ADC=90° , . . / ACD=90° - Z A=20° , . . / DOE=2/ACD =40 ° .故选C.【点睛】本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质；熟练掌握圆周角定理是解题的关键.考点：圆周角定理.

28、13. （2019山东省荷泽市，第 6题，3分）如图，AB是。的直径，C, D是。O上的两点，且 BC平分/ABD, AD分别与BC, OC相交于点巳F,则下列结论不一定成立的是（）A . OC/ BDB. ADXOCC. CEFA BEDD. AF=FD【分析】由圆周角定理和角平分线得出/ADB=90° , /OBC = /DBC,由等腰三角形的性质得出/ OCB=ZOBC,得出/ DBC=/OCB,证出OC/BD,选项A成立；由平行线的性质得出 ADXOC,选项B成立；由垂径定理得出 AF=FD,选项D成立； CEF和ABED中，没有相等的边， CEF与 BED不全等，选项 C不

29、成立，即可得出答案.【详解】 AB 是。的直径，BC 平分Z ABD, ./ADB=90° , /OBC=/DBC, ADXBD. . OB = OC, .OCB=/OBC, ./ DBC = /OCB, ，OC/BD,选项 A 成立； ADXOC,选项B成立; . AF = FD,选项D成立； CEF和ABED中，没有相等的边， CEFBED不全等，选项 C不成立.故选C.【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，角平分线的性质，解答本题的关键是熟练掌圆周角定理和垂径定理.考点：1.全等三角形的判定；2.圆周角定理.14. （2019广西柳州市，第6题

30、，3分）如图，A, B, C, D是。上的点，则图中与/ A相等的角是（）治A./BB./CC. / DEBD. / D【答案】D.【分析】直接利用圆周角定理进行判断.【详解】一/ A与/ D都是？C所对的圆周角，/ D=/A.故选D.【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.考点：圆周角定理.15. （2019江苏省镇江市，第15题，3分）如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，DC Cb .若ZC=110° ,则/ ABC的度数等于（【答案】A.【分析】连接AC,根据圆内接四边形的性质求出/DAB,根据圆

31、周角定理求出/ ACB、/ CAB,计算即可.【详解】连接AC.四边形 ABCD是半圆的内接四边形，/DAB=180° - Z C=70 ° .DC CB, ./CAB 1/DAB=35° . AB 是直径， ./ ACB=90° , . ABC=90° - Z CAB=55° .故选A.【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键.考点：1.圆心角、弧、弦的关系；2.圆周角定理；3.圆内接四边形的性质.16. （2019湖北省宜昌市，第 12题，3分）如图，点 A, B, C均在。O上，当

32、/ OBC=40°时，/ A的度数是（）A . 50°B, 55°C. 60°D, 65°【答案】A.【分析】先利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出/BOC的度数，然后根据圆周角定理可得到/A的度数.【详角军】 OB=OC, ./ OCB = ZOBC=40,BOC=180 40。-40。=100。，/A1/BOC=50。2故选A.【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的 圆心角的一半.考点：圆周角定理.17. （2019湖北省襄阳市，第 10题，3分）如图,AD是。O的直径，BC是弦，四

33、边形 OBCD是平行四边形，AC与OB相交于点P,下列结论错误的是（A . AP=2OPB. CD=2OPC. OB，ACD. AC平分OB【答案】A.【分析】利用圆周角定理得到/ACD=90° ,再根据平行四边形的性质得到CD/ OB, CD=OB,则可求出/A=30° .在RtAOP中利用含30度的直角三角形三边的关系可对A选项进行判断；利用 OP/CD, CDXAC可对C选项进行判断；利用垂径可判断OP为4ACD的中位线，则 CD=2OP,原式可对B选项进行判断；同时得到 OB=2OP,则可对D选项进行判断.【详解】AD为直径，/ ACD=90° .CD 1

34、四边形 OBCD 为平行四边形，CD/ OB, CD=OB.在 RtAACD 中，sinA ./ A=30 ° 在AD 2RtA AOP中，AP J3OP,所以A选项的结论错误；OP/CD,CD，AC,，OP，AC,所以 C 选项的结论正确；AP=CP,OP 为 ACD 的中位线，CD=2OP, 所以B选项的结论正确；OB=2OP,，AC平分OB,所以D选项的结论正确.故选A.【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90。的圆周角所对的弦是直径.也考查了垂径定理和平行四边形的性质

35、.考点：1.三角形中位线定理；2.平行四边形的性质；3.垂径定理；4.圆周角定理.18. （2019甘肃省，第8题，3分）如图，AB是。O的直径，点 C、D是圆上两点，且/ AOC=126° ,则/CDB=()C. 27°D. 37【答案】C.【分析】由/ AOC=126° ,可求得/ BOC的度数，然后由圆周角定理，求得/ CDB的度数.【详角军】. / AOC=126° , .BOC=180° - Z AOC=54° , . . / CDB 1/BOC=27。2故选C.【点睛】本题考查了圆周角定理.注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所

36、对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.考点：1.圆心角、弧、弦的关系； 2.圆周角定理.19. (2019甘肃省天水市，第 9题,4分)如图，四边形 ABCD是菱形，O O经过点A、C、D,与BC相交于点E,连接AC、AE.若/ D=80A . 20°B. 25°C. 30°D. 35°【答案】C.【分析】根据菱形的性质得到/ACB -ZDCB - (180。- / D) =50 ° ,根据圆内接四边形的性质得到22ZAEB = ZD=80° ,由三角形的外角的性质即可得到结论.【详解】.四边形 ABCD 是菱形，/ D=8

37、0° , ACB 1 / DCB 1 (180° -ZD) =50° .22.四边形 AECD 是圆内接四边形，AEB=ZD=80° ,，EAC= Z AEB - Z ACE=30° .故选C.【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形的内角和，圆内接四边形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的 关键.考点：1.菱形的性质；2.圆周角定理.20. （2019甘肃省白银市，第9题，3分）如图，点A, B, S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的 J2倍,则/ ASB的度数是（）A . 225B. 30°C. 45°D. 60°0

38、【答案】C.【分析】设圆心为 0,连接OA、OB,如图，先证明 OAB为等腰直角三角形得到/ AOB=90° ,然后根据 圆周角定理确定/ ASB的度数.【详解】设圆心为 O,连接OA、OB,如图，二弦 AB的长度等于圆半径的 J2倍，即AB J2OA,OA2+OB2=AB2,， OAB 为等腰直角三角形，/ AOB=90° ,ASB - Z AOB=452故选C.【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的 圆心角的一半.考点：圆周角定理.21 . （2019西藏，第8题，3分）如图，在。中，半径OC垂直弦AB于D,点E在。

39、0上，/ E=22.5AB=2,则半径 OB等于（）A. 1B.亚C, 2D, 272【答案】B.【分析】直接利用垂径定理进而结合圆周角定理得出ODB是等腰直角三角形，进而得出答案.【详解】.半径 OCL 弦 AB 于点 D, Ac ?C , ./ E q / BOC=22.5 ° , . / BOD=45° , ODB 是等腰直角三角形. AB=2, DB = OD=1 ,贝U半径 OB 等于： &12 贬.故选B.【点睛】本题考查了勾股定理， 垂径定理和圆周角定理，正确得出 ODB是等腰直角三角形是解题的关键.考点：1.勾股定理；2.垂径定理；3.圆周角定理.2

40、2. (2019贵州省安顺市，第 8题，3分)如图，半径为 3的。A经过原点。和点C (0, 2), B是y轴左tan/ OBC 为（31DW4D.作直径CD,根据勾股定理求出OD ,根据正切的定义求出tan / CDO ,根据圆周角定理得到/OBC =/CDO,等量代换即可.【详解】作直径 CD.在 ROCD 中，CD=6, OC=2,则 OD CD2 OC2 4 72 , tan / CDO OC OD由圆周角定理得：/ OBC=ZCDO,则tan/OBC 4故选D.【点睛】本题考查了圆周角定理、锐角三角函数的定义，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的

41、一半、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键.考点：1.坐标与图形性质；2.圆周角定理；3.解直角三角形.ABCDEF内接于。O,连接BD.则/ CBD的度23. （2019贵州省贵阳市，第 6题，3分）如图，正六边形C. 60°D. 90°【答案】A.【分析】根据正六边形的内角和求得/BCD,然后根据等腰三角形的性质即可得到结论.【详解】.在正六边形 ABCDEF 中，/BCD 2一180- 120° , BC=CD , / CBD (180° - 120° ) 62=30°故选A.【点睛】本题考查了正多边形和圆、等腰三角形的性质，三角

42、形的内角和，熟记多边形的内角和是解题的 关键.考点：1.圆周角定理；2.正多边形和圆.24. （2019辽宁省沈阳市，第9题，2分）如图，AB是。的直径，点 C和点D是。上位于直径 AB两侧的点，连接 AC, AD, BD, CD,若。O的半径是13, BD=24,则sin/ACD的值是（）C.-12D.513【分析】首先利用直径所对的圆周角为90。得到 ABD是直角三角形，然后利用勾股定理求得 AD边的长,然后求得/ B的正弦即可求得答案.【详解】AB是直径，/ ADB=90。0的半径是13,，AB=2X 13=26,由勾股定理得:AD=10, sin/ BADAB10526 135/ACD

43、=/B, 1. sinZ ACD =SinZ B 13故选D.【点睛】本题考查了圆周角定理及解直角三角形的知识，解题的关键是能够得到直角三角形并利用锐角三 角函数求得一个锐角的正弦值，难度不大.考点：1.圆周角定理；2.解直角三角形.BC是。的直径，A, D是。上的两点，连接 AB, AD,25. （2019辽宁省营口市，第 7题，3分）如图，BD,若/ ADB=70° ,贝U/ ABC 的度数是（）A . 20°【答案】A.【分析】连接 AC,如图，根据圆周角定理得到/ABC的度数.【详解】连接 AC,如图，: BC是。的直径,B. 70C. 30°D. 90&

44、#176;BAC=90° , Z ACB = Z ADB=70° ,然后禾用互余计算/ ./ BAC=90. / ACB=/ADB=70° , . ABC=90 ° - 70° =20故选A.【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90。的圆周角所对的弦是直径.考点：圆周角定理.26. （2019陕西，第 9题，3分）如图，AB是。的直径，EF, EB是。的弦，且 EF=EB, EF与AB交于点C,连接OF,若/ AOF=40°

45、,则/ F的度数是（EA . 20°B, 35°C. 40°D, 55°【答案】B.【分析】连接 FB,得到/ FOB=140° ,求出/ EFB, Z OFB即可.【详解】连接FB.E. /AOF=40° , .FOB =180° 40° =140° , . . / FEB 1 / FOB=70°2 EF = EB ./ EFB = / EBF=55° . FO = BO, . OFB = /OBF=20° , . . / EFO=/EBO, Z EFO= Z EFB -

46、Z OFB =35° .故选B.【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.考点：1.圆心角、弧、弦的关系；2.圆周角定理.二、填空题27. （2019四川省宜宾市，第15题，3分）如图，0O的两条相交弦 AC、BD , / ACB = /CDB =60 ° , AC=2 J3 ,则。O的面积是.【答案】4兀【分析】由/ A=/BDC,而/ ACB = /CDB=60° ,所以/ A= / ACB=60 ° ,得至! ACB为等边三角形，又AC=2芯,从而求得半径，即可得到。的面积.【详解】/ A

47、=/BDC,而/ ACB = /CDB=60° , / A=/ACB=60° ,ACB 为等边三角形.AC=2j3,圆的半径为 2,，。0的面积是47t.故答案为：4兀【点睛】本题考查了圆周角定理，解题的关键是能够求得圆的半径，难度不大.考点：圆周角定理.28. （2019四川省广元市，第14题，3分）如图， ABC是。的内接三角形，且 AB是。的直径，点P 为。上的动点，且/ BPC=60° ,。的半径为6,则点P到AC距离的最大值是 .【答案】6 3 .3.【分析】过。作OM XAC于M ,延长MO交。于P,则此时，点 P到AC距离的最大，且点 P到AC距 离

48、的最大值=PM,解直角三角形即可得到结论.【详解】过。作OM XAC于M ,延长MO交。于P,则此时，点 P到AC距离的最大，且点 P到AC距 离的最大值=PM. OMXAC, /A=/BPC=60° ,。的半径为 6, . OP=OA=6, . OM OA - 6=373 , /.PM=OP+OM=6+3打，.则点P到AC距离的最大值是 6 3后故答案为：6 3J3.【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键.考点：1.圆周角定理；2.三角形的外接圆与外心；3.动点型；4.最值问题；5.综合题.29. （2019四川省雅安市，第

49、15题，3分）如图， ABC内接于。O, BD是。的直径，/ CBD=21 则/ A的度数为.【答案】69° .【分析】直接利用圆周角定理得出/BCD=90° ,进而得出答案.【详解】ABC内接于。O, BD是。的直径，BCD =90° . / CBD=21 ° , . A=ZD=90° 21 ° =69° .故答案为：69° .【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，正确掌握圆周角定理是解题的关键.考点：1.圆周角定理；2.三角形的外接圆与外心.30. （2019天津，第18题，3分）如图，在每个小正方形的边长为

50、1的网格中， ABC的顶点A在格点上,B是小正方形边的中点，/ ABC=50° , / BAC=30° ,经过点 A, B的圆的圆心在边 AC上.（1）线段 AB的长等于 ;（2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点 P,使其满足/ PAC=/PBC = /PCB,并简要 说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） .【答案】(1)-7- ； (2)答案见解析.【分析】(1)根据勾股定理即可得到结论；(2)如图，取圆与网格的交点 E, F,连接EF与AC交于一点，则这一点是圆心 O, AB与网格线相交于 D, 连接DO并延长交。于点Q,连接QC并延长，与B, O的

51、连线相交于点 P,连接AP,于是得到结论.【详解】(1) AB 222 (1)2 4.,1-故答案为：7 ;2(2)如图，取圆与网格的交点 E, F,连接EF与AC交于一点，则这一点是圆心 O, AB与网格线相交于 D, 连接DO并延长交。O于点Q,连接QC并延长，与B, O的连线相交于点 P,连接AP,则点P满足/ PAC二 / PBC = Z PCB.故答案为：取圆与网格的交点 巳F,连接EF与AC交于一点，则这一点是圆心 O, AB与网格线相交于 D, 连接DO并延长交。O于点Q,连接QC并延长，与B, O的连线相交于点 P,连接AP,则点P满足/ PAC二 / PBC = Z PCB.

52、【点睛】本题考查了作图-复杂作图，勾股定理，圆周角定理，正确的作出图形是解题的关键.考点：1.勾股定理；2.圆周角定理；3.作图一复杂作图.31 . (2019 安徽省，第 13 题，5 分)如图， ABC 内接于。O, Z CAB=30° , / CBA=45° , CD LAB 于点D,若。O的半径为2,则CD的长为【答案】22 .连接BE,于是得到/ E=/A=30° , / EBC=90° ,解直角三角形即【分析】连接 CO并延长交。于E,可得到结论.【详解】连接 CO并延长交。于E,连接BE,则/ E=ZA=30° , / EBC=9

53、0°1。0 的半径为 2,CE=4,BC -CE=2. CDXAB, /CBA=45° , . CD故答案为：J2.E【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是 解题的关键.考点：1.圆周角定理；2.三角形的外接圆与外心.32. （2019山东省东营市，第16题，4分）如图，AC是。的弦，AC=5,点B是。上的一个动点，且/ABC=45° ,若点 M、N分别是 AC、BC的中点，则 MN的最大值是5 2【分析】根据中位线定理得到 MN的长最大时,AB最大，当AB最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值.【详解】

54、.点 M, N分别是BC, AC的中点,MN 1AB, .当AB取得最大值时,2MN就取得最大值,当AB是直径时，AB最大，连接AO并延长交。于点B',连接CB'. AB'是。的直径，ACB'=90. /ABC=45° , AC=5, . . / AB'C=45ACsin455 J2，二 MN 最大5.2,5. 2故答案为：匕2【点睛】本题考查了三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质及解直角三角形的综合运用，解题的关键是了解当彳f么时候 MN的值最大，难度不大.考点：1.三角形中位线定理；2.圆周角定理；3.动点型；4.最值问题.33. （2

55、019青岛，第12题，3分）如图，五边形 ABCDE是。的内接正五边形， AF是。的直径，则/ BDF的度数是° .力F【答案】54.【分析】连接 AD,根据圆周角定理得到/ ADF=90° ,根据五边形的内角和得到/ABC=ZC=108° ,求得/ABD=72° ,由圆周角定理得到/ F=ZABD=72° ,求得/ FAD=18° ,于是得到结论.【详解】连接AD.AF 是。O 的直径，/ ADF=90° .五边形 ABCDE 是。O 的内接正五边形，ABC=/C=108° , / ABD=72° ,/

56、 F = /ABD=72 ./ FAD=18° , . CDF = ZDAF=18° , . . / BDF=36° +18° =54故答案为：54.【点睛】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理等知识，解题的关键灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.考点：1.圆周角定理；2.正多边形和圆.34. （2019江苏省盐城市，第 14题，3分）如图，点 A、B、C、D、E在0O上，且Ab为50° ,则/ E+/ C=【答案】155.【分析】连接EA,根据圆周角定理求出/ BEA,根据圆内接四边形的性质得到/DEA+ZC=180° ,结合图形计算即可.【详解】连接EA.Ab 为 50° , . BEA=25° .四边形 DCAE 为。O 的内接四边形，/ DEA+ZC=180° ,/ DEB+Z C=180° 25° =155°故答案为：155.【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键.考点：1.圆周角定理；2.圆内接四边形的性质.35. （2019江苏省连云港市，第 13题，3分）如图，点 A、B、C在OO ±, BC=6