两年中考模拟2020年中考数学：开放探究问题(学生版)

1、两年中考一年模拟第七篇专题复习篇专题38开放探究题知识点名师点晴条件开放型全等与相似利用全等与相似的判定方法添加条件使两个三角形全等或相似特殊的四边形条件条件，使四边形是平行四边形、矩形、菱形结论开放型结论探究题结合具体情境，探究问题的结论条件结论开放型条件与结论双开放题目根据具体问题，探究问题的条件与结论思维方法探索题思维与方法开放式探索根据题意，探究问题的解题方法号向突破归纳1:条件开放探索题基础知识归纳：条件探索题经常与三角形全等、相似、平行四边形、矩形、菱形等特殊的图形结合在一起进行考查.基本方法归纳：掌握特殊的三角形、四边形的性质以及全等和相似的判定方法，利用性质与方法合理添加条件.

2、注意问题归纳：所添加的条件，经过一定的推理说明，能够得到所给的结论.【例1】（2019湖南省邵阳市，第15题,3分）如图，已知AD=AE,请你添加一个条件，使得 ADCAEB,你添加的条件是.（不添加任何字母和辅助线）A归纳2:结论开放型问题基础知识归纳：结论开放型问题是指根据所给的条件，经过合理的推理探究，所得到的结论的正 确性,这种问题的结论往往不止一个.基本方法归纳：解决结论探究性问题，要具备一定的逻辑推理能力，观察、猜想和验证是解决此 类的关键.注意问题归纳：结论探究性问题要注意结论的合理性与正确性，对于给出的多个结论要准确找到正确的个数，不要漏掉也不能多选.经典树题【例2】（2019

3、内蒙古通辽市，第25题,9分）如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接CP,将线段CP绕点C顺时旋转90° ,得到线段CQ,连接BP,DQ.（1）如图 1,求证： BCPA DCQ ;（2）如图，延长BP交直线DQ于点E.如图2,求证：BEXDQ;如图3,若4BCP为等边三角形，判断 DEP的形状，并说明理由.规律总结归纳3:思维方法探索题经具树题【例3】(2019广安，第26题,10分)如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点(A在B的左侧)，与y 轴交于点N,过A点的直线l： y=kx+n与y轴交于点C,与抛物线y= - x2+bx+c的另一个交点为 D,已知A (1

4、,0) ,D (5,-6) ,P点为抛物线 y=-x2+bx+c上一动点(不与 A、D重合).(1)求抛物线和直线l的解析式；(2)当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE/x轴交直线l于点E,作PF/y轴交直线l于点F,求PE+PF的最大值；(3)设M为直线l上的点，探究是否存在点 M,使得以点N、C,M、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在 ， 求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.真题实战【2019年题组】一、选择题二、填空题三、解答题1. (2019内蒙古赤峰市，第26题,14分)【问题】如图1.在RtABC中,/ACB=90° ,AC=BC,过点C作直线l平行于 AB.

5、 / EDF =90 °，点D在直线l上移动, 角的一边DE始终经过点B,另一边DF与AC交于点P,研究DP和DB的数量关系.【探究发现】(1)如图2,某数学兴趣小组运用“从特殊到一般”的数学思想，发现当点D移动到使点P与点C重合时通过推理就可以得到 DP=DB，请写出证明过程.【数学思考】（2）如图3,若点P是AC上的任意一点（不含端点 A、C）,受（1）的启发，这个小组过点 D作DGLCD交BC于点G,就可以证明DP=DB,请完成证明过程.【拓展引申】（3）如图4,在（1）的条件下 /是人8边上任意一点（不含端点A、B） ,N是射线BD上一点，且AM = BN,连接MN与BC交于

6、点Q,这个数学兴趣小组经过多次取 M点反复进行实验，发现点M在某一位置时BQ的值最大.若AC=BC=4,请你直接写出 BQ的最大值.尸zvm n t2. （2019内蒙古通辽市，第23题,8分）如图，4ABC内接于。O,AB是。O的直径，AC=CE,连接AE交BC于点D,延长DC至F点,使CF=CD,连接AF.（1）判断直线 AF与。的位置关系，并说明理由. 若 AC=10,tan/ CAE （2019自贡，第25题,12分）（1）如图1,E是正方形 ABCD边AB上的一点，连接BD、DE,将/ BDE绕点D逆时针旋转90° ,旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G.线段DB和D

7、G的数量关系是;写出线段BE,BF和DB之间的数量关系.（2）当四边形 ABCD为菱形，/ ADC=60°，点E是菱形ABCD边AB所在直线上的一点，连接BD、DE,将/BDE绕点D逆时针旋转120° ,旋转后角的两边分别与射线 BC交于点F和点G.如图2,点E在线段AB上时，请探究线段BE、BF和BD之间的数量关系，写出结论并给出证明；，求 AE 的长.4精选资源战胜中考如图3,点E在线段AB的延长线上时，DE交射线BC于点M,若BE=1,AB=2,直接写出线段 GM的长度.4. (2019四川省遂宁市，第25题,12分)如图，顶点为P (3,3)的二次函数图象与x轴交于

8、点A (6,0),点B在该图象上，OB交其对称轴l于点M,点M、N关于点P对称,连接BN、ON.(1)求该二次函数的关系式.(2)若点B在对称轴l右侧的二次函数图象上运动 ，请解答下列问题:连接OP,当OP -MN时,请判断 NOB的形状，并求出此时点B的坐标.2求证：/ BNM=/ONM.5. (2019山东省东营市，第24题,10分)如图1.在RtABC中,/ B=90° ,AB=4,BC=2,点D、E分别是边 BC、AC的中点，连接DE.将 CDE绕点C逆时针方向旋转，记旋转角为a.(1)问题发现一 一，AEAF当«=0时，些 ；当 #180。时，生 .BDBD(2)

9、拓展探究试判断：当0° w a< 360°时，上旦的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明.BD(3)问题解决 CDE绕点C逆时针旋转至 A、B、E三点在同一条直线上时，求线段BD的长.6. (2019山东省威海市，第21题,8分)(1)阅读理解1 如图，点A,B在反比仞函数y 的图象上，连接AB,取线段AB的中点C.分别过点A,C,B作x轴的垂线，垂足为E,F,G,CF交反比例函数y 1的图象于点D.点E,F,G的横坐标分别为n-1,n,n+1 (n>1). x小红通过观察反比例函数y 1的图象，并运用几何知识得出结论：xAE+BG=2CF,CF> DF

10、由此得出一个关于 , ,2，之间数量关系的命题： n 1 n 1 n若n>1,则(2)证明命题小东认为：可以通过“若ab>0,则a>b”的思路证明上述命题.小晴认为：可以通过“若a>0,b>0,且a+b>1,则a>b”的思路证明上述命题.请你选择一种方法证明(1)中的命题.7. (2019山东省泰安市，第25题,14分)如图，四边形ABCD是正方形， EFC是等腰直角三角形，点E在AB上，且/CEF=90° ,FG，AD,垂足为点 G.(1)试判断AG与FG是否相等？并给出证明;(2)若点H为CF的中点,GH与DH垂直吗？若垂直，给出证明；若

11、不垂直，说明理由.8. (2019山东省济南市，第26题,12分)小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究.在 ABC中,AB=AC,M是平面内任意一点，将线段AM绕点A按顺时针方向旋转与/ BAC相等的角度，得到线 段AN,连接NB.(1)如图1,若M是线段BC上的任意一点，请直接写出/ NAB与/ MAC的数量关系是 ,NB与MC 的数量关系是;(2)如图2,点E是AB延长线上点，若M是/ CBE内部射线BD上任意一点，连接MC , (1)中结论是否仍然 成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由.(二)拓展应用(3)如图3.在481。中小田1=8,/48心1=60

12、°,/8小1。=75°尸是B1C1上的任意点，连接AP,将AP绕 点A1按顺时针方向旋转 75。，得到线段A1Q,连接BQ.求线段B1Q长度的最小值.9. (2019山东省烟台市，第24题,11分)【问题探究】(1)如图1, ABC和 DEC均为等腰直角三角形 ，/ACB=/DCE=90°，点B,D,E在同一直线上，连接AD,BD.请探究AD与BD之间的位置关系：；若AC=BC M，DC = CE J2,则线段AD的长为【拓展延伸】(2)如图 22 ABC 和 DEC 均为直角三角形，/ACB = /DCE =90° ,AC J21 ,BC J7,CD

13、J3 ,CE=1 .将 DCE绕点C在平面内顺时针旋转，设旋转角/ BCD为a (0° < a< 360° ),作直线BD,连接AD,当点B,D,E 在同一直线上时，画出图形，并求线段AD的长.10. (2019山西省，第22题,11分)综合与实践动手操作：第一步：如图1,正方形纸片ABCD沿对角线AC所在的直线折叠，展开铺平.在沿过点C的直线折叠，使点B, 点D都落在又扪I线 AC上.此时，点B与点D重合,记为点N,且点E,点N,点F三点在同一条直线上，折痕分别 为CE,CF.如图2.第二步：再沿 AC所在的直线折叠,ACE与4ACF重合,得到图3.第三步：在

14、图3的基础上继续折叠，使点C与点F重合，如图4,展开铺平，连接EF,FG,GM,ME.如图5,图中的 虚线为折痕.问题解决：.一 AF. . 一(1)在图5中,/ BEC的度数是 ,的值是.BE(2)在图5中,请判断四边形EMGF的形状，并说明理由；(3)在不增加字母的条件下，请你以图中5中的字母表示的点为顶点，动手画出一个菱形(正方形除外)，并写出这个菱形：11. (2019南京，第26题,9分)如图.在 Rt ABC中，/ C=90,AC=3,BC=4.求作菱形 DEFG,使点D在边AC上，点E、F在边AB上，点G在边BC上.小明的作法:1 .如图 在边AC上取一点 D,过点D作DG /

15、AB交BC于点G .2 .以点D为圆心，DG长为半彳5画弧，交AB于点E.3 .在EB上截取EF=ED,连接FG,则四边形DEFG为所求作的菱形.(1)证明小明所作的四边形DEFG是菱形.(2)小明进一步探索，发现可作出的菱形的个数随着点D的位置变化而变化请你继续探索，直接写出菱12. (2019江苏省泰州市，第25题,12分)如图线段AB=8,射线BG±AB,P为射线BG上一点，以AP为边作正 方形APCD,且点C、D与点B在AP两侧，在线段DP上取一点 巳使/ EAP=/ BAP,直线CE与线段AB相交 于点F (点F与点A、B不重合).(1)求证： AEPACEP;(2)判断C

16、F与AB的位置关系，并说明理由；(3)求 AEF的周长.13. (2019江苏省淮安市，第27题,12分)如图.在 ABC中,AB=AC=3, / BAC=100° ,D是BC的中点.小明对图进行了如下探究： 在线段AD上任取一点P,连接PB.将线段PB绕点P按逆时针方向旋转 80° 点B的对应点是点E,连接BE,得到 BPE.小明发现，随着点P在线段AD上位置的变化，点E的位置也在变 化，点E可能在直线AD的左侧，也可能在直线 AD上还可能在直线 AD的右侧.请你帮助小明继续探究，并解答下列问题：(1)当点E在直线AD上时,如图所示./ BEP=° ;连接CE,

17、直线CE与直线AB的位置关系是 .(2)请在图中画出 BPE,使点E在直线AD的右侧，连接CE.试判断直线 CE与直线AB的位置关系，并 说明理由.14. (2019江西省，第19题,8分)如图1,AB为半圆的直径，点O为圆心,AF为半圆的切线，过半圆上的点 C作CD / AB交AF于点D,连接BC.(1)连接DO,若BC/OD,求证：CD是半圆的切线；(2)如图2,当线段CD与半圆交于点E时，连接AEAC,判断/ AED和/ ACD的数量关系，并证明你的结论.图1图215. (2019 河北，第 25 题,10 分)如图 1 和 2,?ABCD 中,AB=3,BC=15,tan/DAB.点

18、P 为 AB 延长线上一3点，过点A作。切CP于点P,设BP=x.(1)如图1,x为何值时，圆心。落在AP上？若此时。交AD于点E,直接指出PE与BC的位置关系；(2)当x=4时，如图2,。与AC交于点Q,求/ CAP的度数，并通过计算比较弦 AP与劣弧?Q长度的大小;(3)当。O与线段AD只有一个公共点时，直接写出x的取值范围.16. (2019海南，第21题,13分)如图，在边长为1的正方形ABCD中,E是边CD的中点，点P是边AD上一点(与点A、D不重合)，射线PE与BC的延长线交于点 Q.(1)求证： PDEA QCE;(2)过点E作EF / BC交PB于点F,连结AF,当PB=PQ时

19、，求证：四边形 AFEP是平行四边形;请判断四边形 AFEP是否为菱形，并说明理由.17. (2019湖北省十堰市，第24题,10分)如图1,4ABC中,CA=CB,/ACB=%D为4ABC内一点，将 CAD绕点C按逆时针方向旋转角a得到 CBE,点A,D的对应点分别为点 B,E,且A,D,E三点在同一直线上.(1)填空：/ CDE= (用含a的代数式表示)；(2)如图2,若a=60° ,请补全图形，再过点C作CFLAE于点F,然后探究线段 CF,AE,BE之间的数量关系，并证明你的结论;(3)若 行90° ,AC=5/2,且点G满足/ AGB=90° ,BG=6

20、,直接写出点 C至UAG的距离.(E1)18. (2019湖北省咸宁市，第23题,10分)定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形.理解:(1)如图1,点A,B,C在。上，/ABC的平分线交。于点D,连接AD,CD.求证：四边形 ABCD是等补四边形；探究：(2)如图2,在等补四边形 ABCD中,AB=AD,连接AC,AC是否平分/ BCD?请说明理由.运用：(3)如图3,在等补四边形 ABCD中,AB=AD淇外角/ EAD的平分线交 CD的延长线于点 F,CD=10,AF=5,求DF的长.AB AC20. (2019湖北省武汉市，第24题,12分)已知抛物线 C1： y= (x-

21、 1) 2-4和C2：19. (2019湖北省天门市，第23题,10分)已知 ABC内接于。O,/BAC的平分线交。于点D,连接DB,DC.(1)如图，当/ BAC=120°时，请直接写出线段 AB,AC,AD之间满足的等量关系式： (2)如图，当/BAC=90°时,试探究线段AB,AC,AD之间满足的等量关系，并证明你的结论;.一 .AD . .(3)如图，若BC=5,BD=4,求的值.y=x2.(1)如何将抛物线 5平移得到抛物线 C2?4(2)如图1,抛物线C1与x轴正半轴交于点 A,直线y -x+b经过点A,交抛物线C1于另一点B.请你在线3段AB上取点P,过点P作

22、直线PQ/y轴交抛物线。于点Q,连接AQ.若AP=AQ,求点P的横坐标;若PA=PQ,直接写出点P的横坐标.(3)如图2QMNE的顶点M、N在抛物线C2上，点M在点N右边，两条直线ME、NE与抛物线C2均有唯一 公共点，ME、NE均与y轴不平行.若 MNE的面积为2,设M、N两点的横坐标分别为 m、n,求m与n的数 量关系.21 . (2019湖北省荆州市，第22题,10分)如图，AB是。O的直径，点C为。O上一点，点P是半径OB上一动点(不与O,B重合)，过点P作射线1 LAB,分别交弦BC, ?C于D,E两点，在射线l上取点F,使FC=FD .(1)求证：FC是。的切线;(2)当点E是？C

23、的中点时，若/ BAC=60。，判断以O,B,E,C为顶点的四边形是什么特殊四边形，并说明理 由；若tan/ ABC 3 ,且AB=20，求DE的长.422. (2019湖南省郴州市，第25题,10分)如图1,矩形ABCD中，点E为AB边上的动点(不与 A,B重合)，把 ADE沿DE翻折，点A的对应点为Ai,延长EAi交直线DC于点F,再把/ BEF折叠，使点B的对应点Bi落在 EF上，折痕EH交直线BC于点H .(1)求证： AiDEA B1EH;(2)如图2,直线MN是矩形ABCD的对称轴 若点Ai恰好落在直线 MN上,试判断 DEF的形状，并说明理由； (3)如图3,在(2)的条件下，点

24、G为4DEF内一点，且/ DGF=150°，试探究DG,EG,FG的数量关系.图1圉2图323. （2019贵州省贵阳市，第25题,12分）（1）数学理解：如图,ABC是等腰直角三角形，过斜边AB的中点D作正方形DECF,分另1J交BC,AC于点 巳F,求AB,BE,AF之间的数量关系；（2）问题解决：如图，在任意直角 ABC内,找一点D,过点D作正方形DECF,分另1J交BC,AC于点E,F,若AB=BE+AF,求/ ADB 的度数;（3）联系拓广：如图，在（2）的条件下，分别延长ED,FD,交AB于点M,N,求MN,AM,BN的数量关系.24. （2019贵州省遵义市，第22题,

25、12分）将在同一平面内如图放置的两块三角板绕公共顶点A旋转，连接BC,DE ,探究S*BC与Sa ADC的比是否为定值.（1）两块三角板是完全相同的等腰直角三角板时,SAABC ： Sa ADE是否为定值？如果是，求出此定值，如果不是，说明理由.（图）（2） 一块是等腰直角三角板，另一块是含有30°角的直角三角板时，Sa ABC： Sa ADE是否为定值？如果是，求出 此定值，如果不是，说明理由.（图）（3）两块三角板中，/BAE+/CAD=180° ,AB=a,AE=b,AC=m,AD=n （a,b,m,n 为常数）,Saabc ： Sade 是否为定值？如果是，用含a,

26、b,m,n的式子表示此定值（直接写出结论，不写推理过程），如果不是，说明理由.（图）25. （2019辽宁省大连市，第25题,12分）阅读下面材料，完成（1） - （ 3）题数学课上，老师出示了这样一道题：如图 1QABC中，/BAC=90° ,点D、E在BC上,AD=AB,AB=kBD （其中< k< 1） / ABC = /ACB + /BAE,/EAC的平分线与 BC相交于点F,BG，AF,垂足为G,探究线段BG与2AC的数量关系，并证明.同学们经过思考后，交流了自已的想法:小明:小伟:“通过观察和度量，发现/ BAE与/ DAC相等.”“通过构造全等三角形，经过进

27、一步推理，可以得到线段 BG与AC的数量关系.AH .老师：“保留原题条件，延长图1中的BG,与AC相交于点H （如图2）,可以求出2H的值.HC（2）探究线段BG与AC的数量关系（用含 k的代数式表示），并证明;AH（3）直接写出CH的值（用含k的代数式表示）.HC26. （2019辽宁省朝阳市，第24题,10分）如图，四边形ABCD是正方形，连接AC,将 ABC绕点A逆时针旋转a得 AEF,连接CF,O为CF的中点，连接OE,OD.（1）如图1,当“二45°时,请直接写出OE与OD的关系（不用证明）.（2）如图2,当45° V “V 90°时，（1）中的结论是

28、否成立？请说明理由.，请直接写出点。经过的路径长.27. （2019辽宁省本溪市，第25题,12分）在 RABC中,/ BCA=90 °，/Av/ABC,D是AC边上一点，且DA = DB,O是AB的中点，CE是 BCD的中线.（1）如图a,连接OC,请直接写出/ OCE和/ OAC的数量关系： ;（2）点M是射线EC上的一个动点，将射线OM绕点O逆时针旋转得射线 ON,使/ MON = /ADB,ON与射线CA交于点N.如图b,猜想并证明线段 OM和线段ON之间的数量关系;若/ BAC=30° ,BC=m,当/ AON=15°时，请直接写出线段 ME的长度（用含

29、 m的代数式表示）.28. （2019辽宁省盘锦市，第25题,14分）如图，四边形ABCD是菱形，/BAD=120° ,点E在射线AC上（不包括点A和点C）,过点E的直线GH交直线AD于点G,交直线BC于点H,且GH / DC,点F在BC的延长线上,CF=AG,连接 ED,EF,DF .（1）如图1,当点E在线段AC上时.判断 AEG的形状，并说明理由.求证： DEF是等边三角形.（2）如图2,当点E在AC的延长线上时,ADEF是等边三角形吗？如果是，请证明你的结论；如果不是 ，请说 明理由.29. （2019辽宁省葫芦岛市，第25题,12分）如图， ABC是等腰直角三角形，/ACB

30、=90° ,D是射线CB上一点（点D不与点B重合），以AD为斜边作等腰直角三角形 ADE （点E和点C在AB的同侧），连接CE.（1）如图，当点D与点C重合时，直接写出CE与AB的位置关系；（2）如图，当点D与点C不重合时，（1）的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立 ，请说明理由；CE(3)当/ EAC=15 时，请直接写出 C的值.AB30. (2019辽宁省辽阳市，第25题,12分)如图1,A ABC (1ACvBCvAC)绕点C顺时针旋转得 DEC,射2线AB交射线DE于点F.(1) / AFD与/ BCE的关系是 ;(2)如图2,当旋转角为60°时，

31、点D,点B与线段AC的中点O恰好在同一直线上，延长DO至点G,使OG=OD,连接GC./ AFD与/ GCD的关系是 ，请说明理由;如图3,连接AE,BE,若/ ACB=45 ° ,CE=4,求线段AE的长度.图1图工图331 . (2019辽宁省铁岭市，第25题,12分)如图,ABC中,AB=AC,DE垂直平分 AB,交线段BC于点E (点E与点C不重合)，点F为AC上一点，点G为AB上一点(点 G与点A不重合)，且/ GEF+/BAC=180° .(1)如图1,当/ B=45°时，线段AG和CF的数量关系是 .(2)如图2,当/ B=30。时，猜想线段AG和C

32、F的数量关系，并加以证明.(3)若AB=6,DG=1,cosB 3,请直接写出CF的长.432. (2019辽宁省鞍山市，第25题,12分)在 RABC中,/ ACB=90 ° ,D是 ABC内一点，连接AD,BD .在BD左侧作 RtABDE,使/ BDE=90°，以AD和DE为邻边作？ADEF ,连接CD,DF.(1)若 AC=BC,BD=DE.如图1,当B,D,F三点共线时，CD与DF之间的数量关系为 .如图2,当B,D,F三点不共线时，中的结论是否仍然成立？请说明理由.CD 4AF(2)若 BC=2AC,BD=2DE,CD 4,且 E,C,F 三点共线，求 2F 的

33、值.AC 5CE33. (2019黑龙江省齐齐哈尔市，第23题,12分)综合与实践折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识.折一折：把边长为 4的正方形纸片 ABCD对折，使边AB与CD重合，展开后得到折痕 EF .如图：点 M为CF上一点，将正方形纸片 ABCD沿直线DM折叠，使点C落在EF上的点N处，展开后连接DN,MN,AN,如图A,ED 4耳口jIF*tq= ： "i.Br 1 V / j:Y/ ；：力； :一g ? S F M C图图(一)填一填，做一做：(1)图中，/CMD=，线段 NF=;(2)图中，试判

34、断 AND的形状，并给出证明.剪一剪、折一折：将图中的 AND剪下来，将其沿直线GH折叠，使点A落在点A'处，分别得到图、图.(二)填一填（3）图中阴影部分的周长为 .（4）图中，若/A'GN=80°，则/A'HD=:（5）图中的相似三角形（包括全等三角形）共有 对；（6）如图点A'落在边ND上，若 AN m,则JAGA'D n AH（用含m,n的代数式表示）、选择题【2018年题组】2018广西百色，第12题,3分）对任意实数a,b定义运算?”: a?b=a( a> b)b(a b)则函数y=x2 3? （2-x）的最小值是（）A .

35、- 1一、选择题二、填空题B. 0C. 1D. 44. （2018四川省甘孜州，第12题,4分）如图，已知AB=BC,要使 ABDA CBD,还需添加一个条件，你添加的条件是.（只需写一个，不添加辅助线）5. （2018浙江省衢州市，第13题,4分）如图，在那BC和4DEF中，点B,F,C,E在同一直线上,BF=CE,AB/ DE,（只需写一个，不添加辅助线）.请添加一个条件，使 ABCA DEF ,这个添加的条件可以是6. （2018浙江省金华市，第12题,4分）如图， ABC的两条高AD ,BE相交于点F,请添加一个条件，使得 ADC叁' BEC （不添加其他字母及辅助线）你添加的

36、条件是£加的条件为所添加的条件是7. （2018湖南省湘潭市，第14题,3分）如图，点E是AD延长线上一点，如果添加一个条件，使BC/ AD,则可添.（任意添加一个符合题意的条件即可）8. （2018黑龙江省牡丹江市，第14题,3分）如图,AC=BC,请你添加一对边或一对角相等的条件，使AD=BE.你三、解答题9. （2018江苏省南京市，第27题,9分）结果如此巧合!下面是小颖对一道题目的解答.题目：如图，RABC的内切圆与斜边 AB相切于点D,AD=3,BD=4,求4ABC的面积.解：设 ABC的内切圆分别与 AC、BC相切于点E、F,CE的长为x.根据切线长定理，得 AE=AD

37、=3,BF=BD=4,CF=CE=x.根据勾股定理，得(x+3) 2+ (x+4) 2= (3+4) 2.整理，得 x2+7x=12.所以 SaABC=1ACBC 21=(x+3) (x+4)21/2、=-(x2+7x+12)21,、=_X ( 12+12)2=12.小颖发现12恰好就是3X4，即 ABC的面积等于AD与BD的积.这仅仅是巧合吗？请你帮她完成下面的探索.已知： ABC的内切圆与 AB相切于点 DAD=m,BD=n.可以一般化吗？(1)若/ C=90°,求证： ABC的面积等于 mn.倒过来思考呢？(2)若 AC?BC=2mn,求证：/ C=90° .改变一下

38、条件(3)若/C=60°,用m、n表示 ABC的面积.1 210. (2018江苏省常州市，第28题,10分)如图，一次函数y=- -x +bx+2的图象与x轴父于点A、B,与y轴 3交于点C,点A的坐标为(-4,0) ,P是抛物线上一点(点 P与点A、B、C不重合).(1) b=，点B的坐标是;(2)设直线PB与直线AC相交于点M,是否存在这样的点 P,使得PM: MB=1: 2?若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由;(3)连接AC、BC,判断/ CAB和/ CBA的数量关系，并说明理由.11. (2018江苏省连云港市，第27题,14分)在数学兴趣小组活动中，小亮进行数

39、学探究活动. ABC是边长为2的等边三角形，E是AC上一点，小亮以BE为边向BE的右侧作等边三角形 BEF,连接CF .SAB图1图2(1)如图1,当点E在线段AC上时,EF、BC相交于点D,小亮发现有两个三角形全等，请你找出来，并证明.(2)当点E在线段AC上运动时，点F也随着运动，若四边形ABFC的面积为7 J3 ,求AE的长.4(3)如图2,当点E在AC的延长线上运动时，CF、BE相交于点D,请你探求 ECD的面积&与 DBF的面积S2之间的数量关系.并说明理由.(4)如图2,当4ECD的面积S1=二，时，求AE的长.612. (2018浙江省嘉兴市，第24题,12分)我们定义：

40、如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做 等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的等底(1)概念理解：如图1.在 "BC中,AC=6,BC=3,/ACB=30°,试判断 ABC是否是“等高底”三角形，请说明理由.(2)问题探究：如图2,AABC是 等高底”三角形,BC是“等底"，作 ABC关于BC所在直线的对称图形得到 A'BC,连结AA'ACBC交直线BC于点D .若点B是 AA'C的重心，求的值.(3)应用拓展：如图3,已知11/ 12,11与12之间的距离为2.等高底” 4ABC的 等底” BC在直线li上，点A在直线1

41、2上,有一边的长是BC的J2倍.将 ABC绕点C按顺时针方向旋转 45°得到 A'B'C,A'C所在直线交12于点D.求CD的值.13. (2018浙江省金华市，第23题,10分)如图，四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数y=m与y=- (x>0,0<m<n)的图象上，对角线BD/y轴，且BDLAC于点P.已知点B的横坐标为4.(1)当 m=4,n=20 时.若点P的纵坐标为2,求直线AB的函数表达式.若点P是BD的中点，试判断四边形 ABCD的形状，并说明理由.(2)四边形ABCD能否成为正方形？若能，求此时m,n之间的数量关系；若不能

42、，试说明理由.14. (2018湖北省十堰市，第24题,10分)已知正方形 ABCD与正方形 CEFG,M是AF的中点，连接DM ,EM .(1)如图1,点E在CD上，点G在BC的延长线上，请判断DM ,EM的数量关系与位置关系，并直接写出结论；(2)如图2,点E在DC的延长线上，点G在BC上，(1)中结论是否仍然成立？请证明你的结论；(3)将图1中的正方形CEFG绕点C旋转，使D,E,F三点在一条直线上，若AB=13,CE=5,请画出图形，并直接 写出MF的长.图 1）（S2）15. （2018湖北省襄阳市，第24题,10分）如图（1）,已知点G在正方形 ABCD的对角线 AC上,GE，BC

43、,垂 足为点E,GF，CD,垂足为点F.（1）证明与推断：求证：四边形 CEGF是正方形； AG推断：CG的值为：BE（2）探究与证明：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转 a角（0°V a< 45°）,如图（2）所示,试探究线段AG与BE之间的数 量关系，并说明理由；（3）拓展与运用：正方形CEGF在旋转过程中，当B,E,F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交AD于点H.若AG=6,GH=2 V2，则 BC=.L4D AD A H DS E C BC 月C圄图图。）16. （2018湖南省岳阳市，第24题,10分）已知抛物线 F: y=x2+bx+c的图象

44、经过坐标原点 O,且与x轴另一交点为（,0）.3国1（1）求抛物线F的解析式;（2）如图1,直线l: y 飞-x+m （m>0）与抛物线F相交于点A （xi,yi）和点B （x2,y2）（点A在第二象限）求y2 - yi的值（用含 m的式子表示）；（3）在（2）中，若m 4,设点A'是点A关于原点O的对称点，如图2. 3判断 AA'B的形状，并说明理由；平面内是否存在点 P,使得以点A、B、A'、P为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在请说明理由.17.（2018贵州省贵阳市，第24题,12分）如图，在矩形ABCD中,AB2,AD=J3,P是BC边

45、上的一点,且BP=2CP.（1）用尺规在图中作出 CD边上的中点E,连接AE、BE （保留作图痕迹，不写作法）；（2）如图 布（1）的条件下，判断EB是否平分/ AEC,并说明理由；（3）如图，在（2）的条件下，连接EP并廷长交AB的廷长线于点F,连接AP,不添加辅助线.PFB能否由 都经过P点的两次变换与 PAE组成一个等腰三角形？如果能 ，说明理由，并写出两种方法（指出对称轴、旋 转中心、旋转方向和平移距离）DC D E C 口 E C图图图1 ,18. （2018 辽宁省抚顺市，第 25 题,12 分）如图 QABC 中,AB=BC,BD，AC 于点 D,/FAC= / ABC,且/ F

46、AC2在AC下方.点P,Q分别是射线BD,射线AF上的动点，且点P不与点B重合，点Q不与点A重合，连接CQ,过点P作PEXCQ于点 巳连接DE.图1年(1)若/ ABC=60°,BP=AQ.如图1,当点P在线段BD上运动时，请直接写出线段 DE和线段AQ的数量关系和位置关系；如图2,当点P运动到线段BD的延长线上时，试判断中的结论是否成立，并说明理由；(2)若/ ABC=2aW60。,请直接写出当线段 BP和线段AQ满足什么数量关系时，能使(1)中的结论仍然成 立(用含a的三角函数表示).19. (2018辽宁省本溪市，第25题,12分)菱形ABCD中、/ BAD =120°

47、; ,点O为射线CA上的动点，作射线OM与直线BC相交于点E,将射线OM绕点O逆时针旋转60° ,得到射线ON,射线ON与直线CD相交于点F.(1)如图，点。与点A重合时，点E,F分别在线段BC,CD上，请直接写出CE,CF,CA三条段段之间的数量关 系；(2)如图，点O在CA的延长线上，且OA -AC,E,F分别在线段BC的延长线和线段 CD的延长线上，请写 3出CE,CF,CA三条线段之间的数量关系，并说明理由；(3)点O在线段AC上，若AB=6,BO=2 ",当CF=1时，请直接写出BE的长.20. (2018辽宁省锦州市 第24题,12分)如图1,以？ABCD的较短

48、边CD为一边作菱形 CDEF ,使点F落在边AD上，连接BE,交AF于点G.(1)猜想BG与EG的数量关系，并说明理由；(2)延长DE、BA交于点H,其他条件不变：BH如图2,若/ ADC=60°,求DG的值；如图3,若/ADC=a (0°VaV 90°),直接写出DG的值(用含a的三角函数表示)BH21. (2018陕西省，第25题,12分)问题提出(1)如图.在 GABC中,/ A=120°,AB=AC=5,则 ABC的外接圆半径 R的值为问题探究(2)如图 QO的半径为13,弦AB=24,M是AB的中点，P是。上一动点，求PM的最大值.问题解决(3

49、)如图所示，AB、AC、Be是某新区的三条规划路 淇中AB=6km,AC=3km,/BAC=60°, ?C所对的圆心角为60。,新区管委会想在 BC路边建物资总站点P,在AB,AC路边分别建物资分站点 E、F,也就是，分别在?C、线段AB和AC上选取点P、E、F.由于总站工作人员每天都要将物资在各物资站点间按P-E-F-P的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路PE、EF和FP.为了快捷、环保和节约成本.要使得线段PE、EF、FP之和最短 试求PE+EF+FP的最小值.(各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计)22. (2018内蒙古包头市，第25题,12分)如图，在

50、矩形ABCD中,AB=3,BC=5,E是AD上的一个动点.(1)如图1,连接BD,O是对角线 BD的中点，连接OE.当OE=DE时，求AE的长；(2)如图2,连接BE,EC,过点E作EFLEC交AB于点F,连接CF,与BE交于点G.当BE平分/ABC时，求BG的长；(3)如图3,连接EC,点H在CD上,将矩形ABCD沿直线EH折叠折叠后点D落在EC上的点D处，过点D'作D'NLAD于点N,与EH交于点 M,且AE=1 .求SVED'M SVEMN的值;连接BE,AD'MH与/ CBE是否相似？请说明理由.23. (2018内蒙古赤峰市，第25题,14分)将一副三

51、角尺按图 1摆放，等腰直角三角尺的直角边DF恰好垂直平分AB,与AC相交于点G,BC=2j3cm.(1)求GC的长；(2)如图2,将4DEF绕点D顺时针旋转，使直角边DF经过点C,另一直角边DE与AC相交于点H,分别过H、C作AB的垂线，垂足分别为 M、N,通过观察，猜想MD与ND的数量关系，并验证你的猜想.(3)在(2)的条件下，将 DEF沿DB方向平移得到 D'E'F',当D'E”恰好经过(1)中的点G时，请直接写出DD'的长度.01图2图324. (2018四川省甘孜州，第28题,12分)如图，已知二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴分别交于A

52、 (1,0) ,B(3,0)两点，与y轴交于点C苗用图(1)求此二次函数解析式；(2)点D为抛物线的顶点，试判断 BCD的形状，并说明理由；(3)将直线BC向上平移t (t>0)个单位，平移后的直线与抛物线交于M,N两点(点M在y轴的右侧)，当4AMN为直角三角形时，求t的值.25. (2018山东省枣庄市，第25题,10分)如图1,已知二次函数y=ax2+3x+c (aw 0)的图象与y轴交于点A2(0,4),与x轴交于点B、C,点C坐标为(8,0),连接AB、AC.(1)请直接写出二次函数 y=ax 一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1,点P是正方形ABCD内一点，PA=1,

53、PB=2,PC=3 .你能 求出/ APB的度数吗？小明通过观察、分析、思考 ，形成了如下思路： 思路一：将 BPC绕点B逆时针旋转90° ,得到 BP'A,连接PP',求出/ APB的度数;+3x+c的表达式；2(2)判断 ABC的形状，并说明理由；(3)若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐标；(4)如图2,若点N在线段BC上运动(不与点 B、C重合)，过点N作NM /AC,交AB于点M,当4AMN面积最大时，求此时点N的坐标.E1卸26. (2018山东省济南市，第27题,12分)如图1抛物线y=ax，bx+4过A

54、(2,0)、B (4,0)两点，交y轴于点C,过点C作x轴的平行线与抛物线上的另一个交点为D,连接AC、BC.点P是该抛物线上一动点，设点P的横坐标为m (m>4).(1)求该抛物线的表达式和/ ACB的正切值;(2)如图2,若/ACP=45°，求m的值;(3)如图3,过点A、P的直线与y轴于点N,过点P作PMLCD,垂足为M,直线MN与x轴交于点Q,试判断四边形ADMQ的形状，并说明理由.27. (2018山东省烟台市，第24题,11分)【问题解决】思路二：将 APB绕点B顺时针旋转90° ,得到 CP'B,连接PP',求出/ APB的度数.请参考小

55、明的思路，任选一种写出完整的解答过程.【类比探究】(2)如图2,若点P是正方形 ABCD外一点，PA=3,PB=1,PC= 历，求/ APB的度数.28. (2018山东省荷泽市，第23题,10分)问题情境:在综合与实践课上，老师让同学们以 矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动.如图1,将：矩形纸片ABCD沿对角线 AC剪开，得到 ABC和 ACD.并且量得 AB=2cm,AC=4cm.操作发现:(1)将图1中的 ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转/ %使/ BAC,得到如图2所示的 AC'D, 过点C作AC'的平行线，与DC'的延长线交于点 E,则四边形ACEC&

56、#39;的形状是.(2)创新小组将图1中的 ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转，使B、A、D三点在同一条直线上， 得到如图3所示的AC'D,连接CC',取CC'的中点F,连接AF并延长至点G,使FG=AF,连接CG、C'G,得到四 边形ACGC'发现它是正方形，请你证明这个结论.实践探究：(3)缜密小组在创新小组发现结论的基础上，进行如下操作：将 ABC沿着BD方向平移，使点B与点A重合，此时A点平移至A'点,A'C与BC'相交于点H,如图4所示，连接CC',试求tan/C'CH的值.DDC29. (2018山西省，第22题,12分)综合与实践问题情境：在数学活动课上 ，老师