高中数学归纳法大全数列不等式精华版(共11页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上§数学归纳法1数学归纳法的概念及基本步骤数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法它的基本步骤是：(1)验证：nn0 时，命题成立；(2)在假设当nk(kn0)时命题成立 的前提下，推出当nk1时，命题成立根据(1)(2)可以断定命题对一切正整数n都成立 2归纳推理与数学归纳法的关系数学上，在归纳出结论后，还需给出严格证明在学习和使用数学归纳法时，需要特别注意：(1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关 的命题；(2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可 1用数学归纳法证明命题的第一步时，是验证使命题成立的最小正整数n，注意n不一定是

2、1.2当证明从k到k1时，所证明的式子不一定只增加一项；其次，在证明命题对nk1成立时，必须运用命题对nk成立的归纳假设步骤二中，在由k到k1的递推过程中，突出两个“凑”：一“凑”假设，二“凑”结论关键是明确nk1时证明的目标，充分考虑由nk到nk1时命题形式之间的区别与联系，若实在凑不出结论，特别是不等式的证明，还可以应用比较法、分析法、综合法、放缩法等来证明当nk1时命题也成立，这也是证题的常用方法 3用数学归纳法证命题的两个步骤相辅相成，缺一不可尽管部分与正整数有关的命题用其他方法也可以解决，但题目若要求用数学归纳法证明，则必须依题目的要求严格按照数学归纳法的步骤进行，否则不正确4要注意

3、“观察归纳猜想证明”的思维模式，和由特殊到一般的数学思想的应用，加强合情推理与演绎推理相结合的数学应用能力 5数学归纳法与归纳推理不同(1)归纳推理是根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个都有这种属性结果不一定正确，需要进行严格的证明(2)数学归纳法是一种证明数学命题的方法，结果一定正确 6在学习和使用数学归纳法时，需要特别注意：(1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题，要求这个命题对所有的正整数n都成立； (2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；

4、它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递的保证，即只要命题对某个正整数成立，就能保证该命题对后继正整数都成立，两步合在一起为完全归纳步骤，称为数学归纳法，这两步各司其职，缺一不可特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题是否具有传递性如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题 证明：1(其中nN)证明(1)当n1时，左边，右边1，等式成立(2)假设当nk(k1)时，等式成立，即1，那么当nk1时，左边111右边这就是说，当nk1时，等式也成立根据(1)和(2)，可知等式对任何nN都成立用数学归纳法证明：1.证明当n1时，左边1右边，当n1时，等式成立假设nk时等式成立，即

5、1.则当nk1时，左边1()()()右边nk1时等式成立由知等式对任意nN都成立点评在利用归纳假设论证nk1等式成立时，注意分析nk与nk1的两个等式的差别nk1时，等式左边增加两项，右边增加一项，而且右式的首项由变到.因此在证明中，右式中的应与合并，才能得到所证式因此，在论证之前，把nk1时等式的左右两边的结构先作一下分析是有效的证明不等式 用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n，不等式成立证明当n2时，左1，右，左右，不等式成立假设nk(k2且kN*)时，不等式成立，即，那么当nk1时，1·，nk1时，不等式也成立对一切大于1的自然数n，不等式成立点评(1)本题证明nk1命题成

6、立时，利用归纳假设并对照目标式进行了恰当的缩小来实现，也可以用上述归纳假设后，证明不等式成立(2)应用数学归纳法证明与非零自然数有关的命题时要注意两个步骤： 第步p(n0)成立是推理的基础; 第步由p(k)p(k1)是推理的依据(即n0成立，则n01成立，n02成立，从而断定命题对所有的自然数均成立) 另一方面，第步中，验证nn0中的n0未必是1，根据题目要求，有时可为2,3等；第步中，证明nk1时命题也成立的过程中，要作适当的变形，设法用上上述归纳假设 .(2013·大庆实验中学高二期中)用数学归纳法证明：1<2(n2)分析按照数学归纳法的步骤证明，由nk到nk1的推证过程可

7、应用放缩技巧，使问题简单化 证明1°当n2时，1<2，命题成立2°假设nk时命题成立，即1<2当nk1时，1<2<222命题成立由1°、2°知原不等式在n2时均成立证明整除问题用数学归纳法证明下列问题：(1)求证：3×52n123n1是17的倍数；(2)证明：(3n1)·7n1能被9整除分析(2)先考察：f(k1)f(k)18k·7k27·7k，因此，当nk1时，(3k4)7k1(21k28)·7k1(3k1)·7k118k·7k27·7k.证明(1)

8、当n1时，3×532439117×23是17的倍数假设3×52k123k117m(m是整数)，则3×52(k1)123(k1)13×52k1223k133×52k1×2523k1×8(3×52k123k1)×817×3×52k1 8×17m3×17×52k117(8m3×52k1)， m、k都是整数，17(8m3×52k1)能被17整除，即nk1时，3×52n123n1是17的倍数(2)令f(n)(3n1)·

9、;7n1 f(1)4×7127能被9整除 假设f(k)能被9整除(kN*)， f(k1)f(k)(3k4)·7k1(3k1)·7k7k·(18k27)9×7k(2k3)能被9整除， f(k1)能被9整除由可知，对任意正整数n，f(n)都能被9整除点评用数学归纳法证明整除问题，当nk1时，应先构造出归纳假设的条件，再进行插项、补项等变形整理，即可得证 (2014·南京一模)已知数列an满足a10，a21，当nN时，an2an1an.求证：数列an的第4m1项(mN)能被3整除证明(1)当m1时，a4m1a5a4a3(a3a2)(a2a1

10、)(a2a1)2a2a13a22a1303.即当m1时，第4m1项能被3整除故命题成立(2)假设当mk时，a4k1能被3整除，则当mk1时， a4(k1)1a4k5a4k4a4k32a4k3a4k22(a4k2a4k1)a4k23a4k22a4k1.显然，3a4k2能被3整除，又由假设知a4k1能被3整除3a4k22a4k1能被3整除即当mk1时，a4(k1)1也能被3整除命题也成立由(1)和(2)知，对于nN，数列an中的第4m1项能被3整除 几何问题 平面内有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点求证：这n个圆把平面分成n2n2个部分分析用数学归纳法证明几何问题，主要

11、是搞清楚当nk1时比nk时，分点增加了多少，区域增加了几块本题中第k1个圆被原来的k个圆分成2k条弧，而每一条弧把它所在的部分分成了两部分，此时共增加了2k个部分，问题就容易得到解决 解析当n1时，一个圆把平面分成两部分，12122，命题成立 假设当nk时命题成立(kN*)，k个圆把平面分成k2k2个部分当nk1时，这k1个圆中的k个圆把平面分成k2k2个部分，第k1个圆被前k个圆分成2k条弧，每条弧把它所在部分分成了两个部分，这时共增加了2k个部分，即k1个圆把平面分成( k2k2)2k(k1)2(k1)2个部分，即命题也成立由、可知，对任意nN*命题都成立点评利用数学归纳法证明几何问题应特

12、别注意语言叙述准确清楚，一定要讲清从nk到nk1时，新增加量是多少一般地，证明第二步时，常用的方法是加一法即在原来k的基础上，再增加1个，也可以从k1个中分出1个来，剩下的k个利用假设 分析找到从nk到nk1增加的交点的个数是解决本题的关键证明(1)当n2时，两条直线的交点只有一个又f(2)×2×(21)1，当n2时，命题成立(2)假设nk(k2)时，命题成立，即平面内满足题设的任何k条直线交点个数f(k)k(k1)，那么，当nk1时，任取一条直线l，除l以外其他k条直线交点个数为f(k)k(k1)，l与其他k条直线交点个数为k.从而k1条直线共有f(k)k个交点，即f(k

13、1)f(k)kk(k1)kk(k12)k(k1)(k1)(k1)1，当nk1时，命题成立由(1)(2)可知，对nN(n2)命题都成立点评关于几何题的证明，应分清k到k1的变化情况，建立k的递推关系 探索延拓创新归纳猜想证明 (2014·湖南常德4月，19)设a>0，f(x) ，令a11，an1f(an)，nN.(1)写出a2，a3，a4的值，并猜想数列an的通项公式；(2)用数学归纳法证明你的结论解析(1)a11，a2f(a1)f(1)；a3f(a2)；a4f(a3).猜想 an(nN)(2)证明：()易知，n1时，猜想正确()假设nk时猜想正确，即ak，则ak1f(ak).这

14、说明，nk1时猜想正确由()()知，对于任何nN，都有an已知数列xn满足x1，xn1，nN.(1)猜想数列x2n的单调性，并证明你的结论；(2)证明：|xn1xn| n1.解析(1) 解: 由x1及xn1，得x2，x4，x6.由x2>x4>x6，猜想数列x2n是单调递减数列下面用数学归纳法证明：当n1时，已证明x2>x4，命题成立假设当nk时，命题成立，即x2k>x2k2.易知xn>0，那么，当nk1时，x2k2x2k4>0，即x2(k1)>x2(k1)2.也就是说，当nk1时命题也成立综合和知，命题成立(2)证明：当n1时，|xn1xn|x2x1|

15、，结论成立当n2时，易知0<xn1<1.1xn1<2，xn>.(1xn)(1xn1)(1xn1)2xn1.|xn1xn|xnxn1|2|xn1xn2|n1|x2x1|n1.易错辨误警示 判断242nn2n1对大于0的自然数n是否都成立？若成立请给出证明误解假设nk时，结论成立，即242kk2k1，那242k2(k1)k2k12(k1)(k1)2(k1)1.即当nk1时，等式也成立因此，对大于0的自然数n,242nn2n1都成立误解假设nk时，结论成立，即242kk2k1，那242k2(k1)k2k12(k1)(k1)2(k1)1.即当nk1时，等式也成立因此，对大于0的

16、自然数n,242nn2n1都成立 正解不成立当n1时，左边2，右边12113，左边右边，所以不成立点评用数学归纳法证明命题的两个步骤是缺一不可的特别是步骤(1)，往往十分简单，但却是不可忽视的步骤本题中，虽然已经证明了：如果nk时等式成立，那么nk1时等式也成立但是如果仅根据这一步就得出等式对任何nN都成立的结论，那就错了事实上，当n1时，上式左边2，右边12113，左边右边而且等式对任何n都不成立这说明如果缺少步骤(1)这个基础，步骤(2)就没有意义了用数学归纳法证明(nN)误解(1) 略(2) 假设当nk(k1，kN)时等式成立，那么当nk1时，直接使用裂项相减法求得，即nk1时命题成立正解(1)当n1时，左边，右边，等式成立(2)假设当nk(k1，kN)时，成立那么当nk1时，.所以当nk1时，等式成立由(1)