初中数学最值问题集锦几何地定值与最值

1、标准实用文案几何的定值与最值几何中的定值问题， 是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题，解几何定值问题的基本方法是：分清问题的定量及变量，运用特殊位置、极端位置，直接计算等方法，先探求出定值，再给出证明几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量( 如线段长度、 角度大小、图形面积 ) 等的最大值或最小值， 求几何最值问题的基本方法有：1特殊位置与极端位置法；2几何定理 ( 公理 ) 法；3数形结合法等注：几何中的定值与最值近年广泛出现于中考竞赛中， 由冷点变为热点 这是由于这类问题具有很强的探索性 ( 目标不明确

2、) ，解题时需要运用动态思维、 数形结合、特殊与一般相结合、逻辑推理与合情想象相结合等思想方法【例题就解】【例 1】 如图，已知 AB=10，P 是线段 AB上任意一点，在 AB的同侧分别以AP和 PB为边作等边 APC和等边 BPD，则 CD长度的最小值为思路点拨如图，作 CC AB于 C，DD AB于 D，2221DQCC， CD=DQ+CQ，DQ= AB一常数，当 CQ越小， CD越小，2本例也可设 AP=x ，则 PB=10x ，从代数角度探求CD的最小值注：从特殊位置与极端位置的研究中易得到启示，常能找到解题突破口， 特殊位置与极端位置是指：(1) 中点处、垂直位置关系等；(2) 端

3、点处、临界位置等【例 2】 如图，圆的半径等于正三角形ABC的高，此圆在沿底边AB滚动，切点为 T，圆交 AC、BC于 M、N，则对于所有可能的圆的位置而言，MTN为的度数（）文档标准实用文案A从 30°到 60°变动B从 60°到 90°变动C保持 30°不变D保持 60°不变思路点拨先考虑当圆心在正三角形的顶点C 时，其弧的度数，再证明一般情形，从而作出判断注：几何定值与最值问题，一般都是置于动态背景下，动与静是相对的，我们可以研究问题中的变量，考虑当变化的元素运动到特定的位置，使图形变化为特殊图形时，研究的量取得定值与最值【例

4、3】如图，已知平行四边形 ABCD，AB= ，BC= (a> )，P为 AB边上abb的一动点，直线 DP交 CB的延长线于 Q，求 AP+BQ的最小值思路点拨设 AP= ，把 AP、BQ分别用x的代数式表示，运x用不等式 a 2b 2 2ab ( 当且仅当 ab 时取等号 ) 来求最小值【例 4】 如图，已知等边 ABC内接于圆，在劣弧 AB上取异于 A、B 的点 M，设直线 AC与 BM相交于 K，直线 CB与 AM相交于点 N，证明：线段 AK和 BN的乘积与 M点的选择无关思路点拨 即要证 AK·BN是一个定值，在图形中 ABC 的边长是一个定值，说明 AK·

5、 BN与 AB有关，从图知 AB为2 ABM与 ANB的公共边，作一个大胆的猜想， AK·BN=AB，从而我们的证明目标更加明确注：只要探求出定值， 那么解题目标明确， 定值问题就转化为一般的几何证明问题【例 5】 已知 XYZ是直角边长为 1 的等腰直角三角形 ( Z=90°) ，它的三个顶点分别在等腰 Rt ABC(C=90°) 的三边上，求 ABC直角边长的最大可能值思路点拨顶点 Z 在斜边上或直角边CA(或 CB)上，当顶点 Z 在斜边 AB上时，取 xy 的中点，通过几何不等关系求出直角边的最大值，当顶点 Z 在(AC 或 CB) 上时，设 CX=x ，

6、CZ=y ，建立 x ， y 的关系式，运用代数的方法求直角边的最大文档标准实用文案值注：数形结合法解几何最值问题，即适当地选取变量， 建立几何元素间的函数、方程、不等式等关系，再运用相应的代数知识方法求解常见的解题途径是：(1) 利用一元二次方程必定有解的代数模型，运用判别式求几何最值；(2) 构造二次函数求几何最值学力训练1如图，正方形 ABCD的边长为 1，点 P 为边 BC上任意一点（可与 B 点或 C 点重合），分别过 B、C、D 作射线 AP的垂线，垂足分别是 B、C、D，则 BB+CC +DD的最大值为，最小值为2如图， AOB=45°，角内有一点 P，PO=10，在角

7、的两边上有两点Q，R(均不同于点 O)，则 PQR的周长的最小值为3如图，两点 A、 B 在直线 MN外的同侧， A 到 MN的距离 AC=8， B 到 MN的距离 BD=5，CD=4，P 在直线 MN上运动，则 PAPB 的最大值等于4如图， A 点是半圆上一个三等分点，B 点是弧 AN的中点， P 点是直径 MN上一动点， O的半径为 1，则 AP+BP的最小值为 ( )A 1B 2C 2D 3 125如图，圆柱的轴截面 ABCD是边长为 4 的正方形，动点 P 从 A 点出发，沿看圆柱的侧面移动到 BC的中点 S 的最短距离是 ()A 212B2142C412 D2426如图、已知矩形A

8、BCD，R，P 户分别是 DC、BC上的点， E，F 分别是 AP、RP的中点，当 P 在 BC上从 B 向 C移动而 R 不动时，那么下列结论成立的是 ()A线段 EF 的长逐渐增大B线段 EF 的长逐渐减小C线段 EF 的长不改变D线段 EF 的长不能确定文档标准实用文案7如图，点 C 是线段 AB上的任意一点 (C 点不与 A、B 点重合 ) ，分别以 AC、BC为边在直线 AB的同侧作等边三角形 ACD和等边三角形 BCE，AE与 CD相交于点 M，BD与 CE相交于点 N(1) 求证： MNAB；(2) 若 AB的长为 l0cm，当点 C在线段 AB上移动时，是否存在这样的一点 C，

9、使线段 MN的长度最长 ?若存在，请确定 C 点的位置并求出 MN的长；若不存在，请说明理由(2002 年云南省中考题 )8如图，定长的弦 ST 在一个以 AB为直径的半圆上滑动， M是 ST的中点， P 是 S 对 AB作垂线的垂足，求证：不管 ST滑到什么位置， SPM是一定角9已知 ABC是 O的内接三角形， BT为 O的切线， B 为切点， P 为直线AB上一点，过点 P 作 BC的平行线交直线 BT于点 E，交直线 AC于点 F(1) 当点 P 在线段 AB上时 ( 如图 ) ，求证： PA·PB=PE· PF；(2) 当点 P为线段 BA延长线上一点时，第 (1

10、) 题的结论还成立吗 ?如果成立，请证明，如果不成立，请说明理由文档标准实用文案10如图，已知；边长为 4 的正方形截去一角成为五边形ABCDE，其中 AF=2，BF=l，在 AB上的一点 P，使矩形 PNDM有最大面积，则矩形PNDM的面积最大值是 ()A8B12C25D14211如图， AB是半圆的直径，线段 CA上 AB于点 A，线段 DB上 AB于点 B，AB=2；AC=1，BD=3，P是半圆上的一个动点，则封闭图形 ACPDB的最大面积是 ( )A22B12C32D3212如图，在 ABC中， BC=5， AC=12，AB=13，在边 AB、AC上分别取点 D、E，使线段 DE将 A

11、BC分成面积相等的两部分，试求这样线段的最小长度13如图， ABCD是一个边长为 1 的正方形， U、V 分别是 AB、CD上的点， AV与 DU相交于点 P，BV与 CU相交于点 Q求四边形 PUQV面积的最大值14利用两个相同的喷水器， 修建一个矩形花坛， 使花坛全部都能喷到水 已知每个喷水器的喷水区域是半径为 l0 米的圆，问如何设计 ( 求出两喷水器之间的距离和矩形的长、宽 ) ，才能使矩形花坛的面积最大 ?15某住宅小区，为美化环境，提高居民生活质量，要建一个八边形居民广场 ( 平面图如图所示 ) 其中，正方形MNPQ与四个相同矩形 ( 图中阴影部分 ) 的面文档标准实用文案积的和为 800 平方米(1) 设矩形的边 AB= ( 米 ) ，AM=y ( 米) ，用含x的代数式表示 y 为x(2) 现计划在正方形区域上建雕塑和花坛， 平均每平方米造价为 2100 元；在四个相同的矩形区域上铺设花岗岩地坪， 平均每平方米造价为 105 元；在四个三角形区域上铺设草坪，平均每平方米造价为 40 元设该工程的总造价为 S(元 ) ，求 S 关于工的函数关系式若该工程的银行贷款为 235000 元，仅靠银行贷款能否完成该工程的建设任务 ?若能，请列出设计方案；若不能，请说明理由若该工程在银行贷款的基础上，又增