考研数学一公式手册大全VIP

1、考研数学一公式手册大全导数公式:2(tgx)=secx(ctgx)二-csc2x(secx)=secxtgx(cscx)=-cscxctgx(ax)=axIna1(logax)xlna,、1(arcsinx).1一x2/、1(arccosx):.1-x2(arctgx)二一2-21x1(arcctgx)=21x基本积分表:Jtgxdx=-Incosx+CJctgxdx=lnsinx+Cfsecxdx=lnsecx+tgx+Cdx2cosxdxsinx2=secxdx=tgxC2=cscxdx=-ctgxCsecx tgxdx = secx Cdx2a xdx2x -adx2a -xdx1, x

2、-= - arctg- Can2anax -ax + aa x 八 Ccscx ctgxdx = -cscx Cxaxdx = CIn ashxdx = chx CIn2a a -x.x _=arcsin C achxdx= shx Cj dx= ln(x +Vx2 ±a2) + Cx2,a2=sinn xdx = cosn,n -1xdx = I n an2卜 Edx = 2x 42W 十、ln(x + GW)+C 2J22 , x 22x -a dx = x -a2aIn x +72222 4cx -a +C、-、a2 -x2dxx 22 a . x- a - x arcsin-

3、 CJcscxdx=Incscx-ctgx+C,x u =tg-, 2, 2dudx 二；1 u2三角函数的有理式积分:2u-1-usinx=7,cosx=1u21u一些初等函数:两个重要极限:双曲正弦双曲余弦,e-e:shx:2x-X,ee:chx二2sinx(lim二1x-0xlim(1-)x=e=2.718281828459045.一：xxx双曲正切:thx=arshx=ln(xx21)archx=ln(x.x2-1)arthx1,1x=-ln21-x三角函数公式:和差角公式:诱导公式：、理i数角Asincostgctg-a-sinacosa-tga-ctga90°-acosa

4、sinactgatga90+acosa-sina-ctga-tga180°-asina-cosa-tga-ctga180°+a-sina-cosatgactga270°-a-cosa-sinactgatga270°+a-cosasina-ctga-tga360°-a-sinacosa-tga-ctga360°+asinacosatgactga和差化积公式:sin(,之二l：,)=sin:cos|J,二cos：sin:cos（二：）二tg（）=cos-cos:"sin二sin:tg工-tg-Ra+Pasin工"sin

5、:=2sincos2Ra+Pasin-sin-=2cossin-P21-tg-tg:,:、ctg二ctg：-1ctg-gl-ctg：22Ra+Pa-Pcos二cos-=2coscos22Ra+Pa-Pcos：-cos-=2sinsin倍角公式:sin 2 1二2sin 二 cos：cos2二=2 cos2 二-1 =1 -2sin2 1二cos2 ;2-sin 二ctg2 1tg2 =1,2ctg :-12ctg ;2tg ;,2-tg -3sin3：= 3sin： -4sin 二3cos3： - 4cos : - 3cos：c 3tget -tg3a tg3 =f1 -3tg2：半角公式:a

6、sin=21 - cos：a cos21 cos：一 2atg2 =_1 -cos：1 - cos：sin ：,1 cos：sin*1 cos。：actg-=-1 cos：1 - cos-：1 cos：sin ：sin：1 一 cos：正弦定理：asin Absin Bc =2R sin C,、22余弦定理：c =a.2b -2abcosC冗arctgx = - arcctgx2,反三角函数性质：arcsinx=-arccosx2高阶导数公式莱布尼兹（Leibniz）公式:n(n)-vi(n*)(k)(UV)八CnUVk£(n)(nJ)-n(n-1)(n-2).n(n-1)(n-k1

7、)(nA)(k)(n)=uvnuvuvuvuv2!k!中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理：f(b)-f(a)=f(j(b-a)柯西中值定理：f(b)-f(a)=u)F(b)-F(a)F()当F(x)=x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。曲率：弧微分公式：ds=x-1+y%x,其中y'=tga化量；As： MM弧长。平均曲率：K=|詈卜口：从M点到M点，切线斜率的倾角变M点的曲率：K=lim,s-0直线：K=0;半径为a的圆：K=工.a定积分的近似计算:b矩形法：f(x)：ab梯形法：f(x)：ab抛物线法：f (x)a函数的平均值：y二b-a,、(v。yiyni)nb-ar1,-

8、V2(y0yn)y1»b-aF(y。yn)2(y2y4”)4(y1y3yn)定积分应用相关公式：功：W=Fs水压力：F=pA引力：F=kmg曳,k为引力系数rbf(x)dxa均方根:空间解析几何和向量代数:空间2点的距离：d=|MiM2=d(x2-xi)2+(y2-yi)2+%zi)2向量在轴上的投影：PrjuABfAcosQ中是ABfeu轴的夹角。Prju(aia2)=PrjaPrja2ab=|abcos9=axbx+ayby+azbz,是一个数量，两向量之间的夹角：cos-axbxaybyazbz22a*ayabx2by2bz2ic=a黑b=axbxjk一ayaz,c=|a

9、9;bsin.例：线速度：v=wMr.bybz_axay向量的混合积：abc=(aMb)c=bxbyaz一bz=aMbccosa,a为锐角时,代表平行六面体的体积cxcz平面的方程：1、点法式：A(xxo)B(yy0)C(z-zo)=0,其中n=A,B,C,Mo(X0,yo,Z0)2、一般方程：AxByCzD=03、截距世方程：个丫一=1abc平面外任意一点到该平面的距离：d=lAxo+By0+Cz0+Dl.,A2B2C2Xx=x°mt空间直线的方程：士x0=y=三亘=t,其中S=m,n,p;参数方程：|y=y°+ntmnpz=z0Pt二次曲面：2221、椭球面：与yY.勺

10、=1abc222、抛物面：人+L=z,(p,q同号)2p2q3、双曲面：222单叶双曲面：与勺=1abc222双叶双曲面：与一冬.0=1(马鞍面)abc多元函数微分法及应用全微分：dz=dxdyfxy二u二u二udu=dxdydzfx：:yfz全微分的近似计算：；：z:dz=fx(x,y)xfy(x,y)：y多元复合函数的求导法：z=fu(t),v(t)z=fu(x,y),v(x,y)dz：:z：:u：:zA=T+*dt：:uft：:v2tz：z.uN:v=十xtu:X二vtx当u=u(x,y),v=v(x,y)时,fu.fu.du=dxdy；:x；:y隐函数的求导公式:dlxdxdy；:y隐

11、函数F(x,y)=0,dy=dxFx"Fyd2y二(_&"二(_dx2一：:xFy：:yFxFy隐函数F(x,y,z)=0,:z:xFzyFyFz隐函数方程组：*x,y,u,v)=0J=m9=G(x,y,u,v)=0c(u,v).u1；：(F,G)：N1f(F,G):x一J；:(x,v)一xF(u,x).U_1F(F,G)N1；:(F,G)y一J：:(y,v)yJ：:(u,y)微分法在几何上的应用:x=(t)空间曲线y=¥在点M仪0,%,4)处的切线方程:z=m千-U;G.U.VVFGuuFG-irCFI-WCGI一加x-X0_N-Voz-Zo=7t)M=

12、(M在点M处的法平面方程：(t'(to)(xXo)+w&o)(yyo)+rn'(t。)(zz0)=0若空间曲线方程为:F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0L，则切向量T=FyGyFzFzFxFxFyGz'GzGx'GxGy)曲面F(x,y,z)=0上一点乂(%,丫0,4),则：1、过此点的法向量：n=Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)&过此点的法线方程:x-x0Fx(x0,y0,4)2、过此点的切平面方程：Fx(x0,y0,z0)(x%)+Fy(x0,y0,z0)(yy0)+Fz(x0,y0,z0)(

13、z4)=0y-y°z-z0Fy(x0,y0,4)Fz(x0,y0,z°)方向导数与梯度：函数z=f(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向l的方向导数为：史=fcos中十之sin中J；xFy其中华为x轴到方向l的转角。f开函数z=f(x,y)在一点p(x,y)的梯度：gradf(x,y)=i+jfxZ它与方向导数的关系是：'f=gradf(x,y)-e,其中e=cos邛i+sin中j,为l方向上的J单位向量。二f是gradf(x,y)在l上的投影。,:l多元函数的极值及其求法：设fx(x0,y0)=fy(x0,y0)=。令：fxx(x0,y0)=Afxy(x°

14、;,y°)=B,fyy(x0,y0)=C二口2、卅入<0,(%,丫0)为极大值ACB>5VJ4皿1/士、A0,(x0,y0)为极小值则AC-B2<0时，无极值AC-B2=00寸，不确定重积分及其应用:!”x,y)dxdy=f(rcosi,rsini)rdrd二DD'曲面z=f(x,y)的面积A=R；1+©+包'D(Ox)18y/x.x,y)d二平面薄片的重心：x=胆=-MiiP(x,y)d。Ddxdyy：(x, y)dcD：(x, y)d二D平面薄片的转动惯量：对于x轴Ix=Hy2P(x,y)db,对于y轴Iy="x2P(x,y)

15、d。DD_；(x,y)xd 二Fx - f I I3，D (x2 y2 a2)"柱面坐标和球面坐标：匚 _ f ；(x, y)yd 二Fy - f I I3,D (x2 y2 a2产Fz=-fa(x，y)xdD (x2y2 a2产平面薄片(位于xoy¥面)对冽上质点M(0,0,a),(a>0)的引力：F=Fx,Fy,Fz,其中:x = r cos1柱面坐标： y =r sin9, z = z其中 M = x： hi -dvQ= .(x2 y2)：dvQ设f(x,y)在L上连续，L的参数方程为：,；蓝，(。空则inf(x,y,z)dxdydz：mF(r,z)rdrddz

16、,QQ其中：F(r,i,z)=f(rcos.rsini,z)x=rsincos球面坐标：y=rsin中sin9,dv=rd*rsin中d日dr=r2sin*drd*dez=rcos中2二二r(rTinf(x,y,z)dxdydz：mF(r,)r2sindrdd-d?d:F(r,)r2sindr70001_1.1_重心：xxdv,yydv,zzdv,MM/MIz转动惯量：Ix=(y2z2)Pdv,Iy=(x2z2)：dv,QQ曲线积分:第一类曲线积分(对弧长的曲线积分)：x 二tP(ff(x,y)ds=f&t)W巾M(t)十中'2(t)dt(«<P)特殊情况：la

17、第二类曲线积分(对坐标的曲线积分)：设L的参数方程为,x=*(t),则：yWt)PP(x,y)dxQ(x,y)dy=P(t),-(t)：(t)Q：(t)J(t)dtL：两类曲线积分之间的关系：jPdx+Qdy=J(Pcos«+QcosP)ds其中o(和口分别为LLL上积分起止点处切向量的方向角。Q二PQ二P格林公式：(一一一)dxdy=PdxQd册林公式：(一一一)dxdy=，PdxQdyd:xFylD:xFyl当p=一y,Q=x,即：毡P=2时，彳3到D的面积：A=ffdxdy=1qxdyydx：xZD2L平面上曲线积分与路径无关的条件：1、G是一个单连通区域；2、P(x,y),Q

18、(x,y)在G内具有一阶连续偏导数,且毡=空。注意奇点，如(0,0),应二x二y减去对此奇点的积分，注意方向相反！二元函数的全微分求积：二Q二P.在=一时，Pdx+Qdy才是一兀函数u(x,y)的全微分，其中：.xjy(x.y)u(x,y)=P(x,y)dxQ(x,y)dy,通常设x0=y0=0。(Xo.yo)曲面积分：对面积的曲面积分：f(x,y,z)ds=fx,y,z(x,y)1z2(x,y)z2(x,y)dxdyVDxy,对坐标的曲面积分：P(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdxR(x,y,z)dxdy,其中：ZJjR(x,y,z)dxdy=±JjRx,y,z(x,y)

19、dxdy,取曲面的上侧时取正号；、DxyJjP(x,y,z)dydz=±JjPx(y,z),y,zdydz取曲面的前侧时取正号；DyzJJQ(x,y,z)dzdx=±JJQx,y(z,x),zdzdx,取曲面的右侧时取正号。、Dzx两类曲面积分之间的关系：口Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=口(Pc。®+QcosP+Rcos?)dsZZ高斯公式:)dv=PdydzQdzdxRdxdy=(Pcos二-Qcos-Rcos)ds高斯公式的物理意义通量与散度:.斯托散度：div十处十里，即：单位体积内所产生的流体质量，若divJc。,则为消失.x二y一z通量：口A6ds

20、=口Ands=口(Pcosa+QcosP+Rcos?)ds,zzz因此，高斯公式又可写成：jqdivAdv=由AndsQZ克斯公式一一曲线积分与曲面积分的关系：(-)dydz(-R)dzdx(-P)dxdy=；PdxQdyRdz工一y:z:z:x一x:ydydzdzdxdxdyCOsaCOsPCOs?上式左端又可写成：nrccc=ffrrrCGCexcycZJJEexcyczPQRPQR空间曲线积分与路径无关的条件：丑=由空cQ_cP一5一yZz.cz£xexcyijk旋度：rotA=ccexyyZz.PQR向量场A沿有向闭曲线的环流量：cPdx+Qdy+Rdz=qAtdsfr常数项

21、级数:n等比数列：1qq-.-q=1-q等差数列：1233nn=(n1)n2调和级数：1+1+1+1是发散的23n级数审敛法:别法)：1、正项级数的审敛法根植审敛法(柯西判Py1时，级数收敛设：七变，则91时，级数发散。=1时，不确定2、比值审敛法:设：P=lim-1nT:Un'p<1时，级数收敛,则p>1时，级数发散。=1时，不确定3、定义法：sn=u1+u2+un;limsn存在,则收敛；否则发n.散。交错级数Ui-U2U3-U4-U1+U2-U3+，UnA0)的审敛法莱布尼兹定理:如果交错级数满足Un之Un书一nn：，那么级数收敛且其和sEU1,其余项rn的绝对值rn

22、<Un#limUn=0、n-jpc绝对收敛与条件收敛：(1)U1+u2+Un+，其中Un为任意实数;(2池卜卜2月“一-u如果(2)收敛，则肯定收敛，且称为绝对收敛级数;如果(2)发散，而(1)收敛，则称为条件收敛级数。调和级数：工1发散，而ZGC攵敛n一一1一一级数:收敛;p -1时发散p .1时收敛np级数:£工!，；np|x：二1时，收敛于广|x1时，发散对于级数（3）a0 , a1x a2x2' anxn+，如果它不是仅在原点 收敛，也不是在全数轴上都收敛，则必存 在R,使R时收敛R时发散,其中R称为收敛半径。=R时不定求收敛半径的方法：设lim二an 1a a

23、n=p，其中an，：;叫，R = 1Pan 1是的系数,则：10时,R 一二 p = " 时，R = 0函数展开成哥级数:函数展开成泰勒级数：f (x) = f (Xo)(x Xo) f(X0)2!2(x- xo)n!(n 1)()(n 1)!(xx。)”*, f (x)可以展开成泰勒级数的 充要条件是：lim Rn =0 n F 二x0 =0时即为麦克劳林公式：f(x) = f (0) f (0)x 工祟乂2 fXn.n!些函数展开成骞级数:mm(m -1) 2(1 x) 1 mxx2!35sinx =x -(-1)n J3!5!mg) (m-n 1) n .xn!(-1 :二 x

24、 ： 1)2n 1 x+'(2n -1)!(-二：x ：二)a0f(x)=2bn1 二=一 f (x)cosnxdx冗.jr1 二=f (x)sinnxdxH 二-31(n =0,1,2 )(n =1,2,3 )111 22352242162一- 12411+ +2232。.上一223214：142+-2= (相力口)6- 2=(相减)12正弦级数:an=0,bn余弦级数:bn二0,an2 二=f (x)sin nxdx二 02 二二一 f (x)cosnxdxji 0n =1,2,3n -0,1,2f(x)=" bnsin nxwf (x) = a0八,ancosn娓偶函数

25、 2欧拉公式:ix.Jxe+ecosx:_ixe =cosx i sin x或.2.ix-ixe-esinx=2一一一二一一ac：.f(t)=A-aAnsin(ntn)二一%(ancosnxbnsinnx)n12n4其中，=aA0,an=Ansin中n，bn=Ancos中n，毗=x。正交性:1,sinx,cosx,sin2x,cos2Xsinnx,cosnX,任意两个不同项的乘积在-n,n上的积分=0傅立叶级数：QO一二(ancosnxbnsinnx),周期二2二n1周期为2l的周期函数的傅立叶级数:f(x)QO”(ancosn11lanf(x)cosl_Ln二x,.n二x、-bnsin),同

26、期=2llln-：x,dxl(n=0,1,2)l(n =1,2,3 ),1n-x.bn=f(x)sinjdx微分方程的相关概念:一阶微分方程：y.=f(x,y)或P(x,y)dxQ(x,y)dy=0可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为g(y)dy=f(x)dx的形式，解法:fg(y)dy=f(x)dx得：G(y)=F(x)+C称为隐式通解。dudu.,、=u+x ,u+=(u),二dxdx齐次方程：一阶微分方程可以写成dy=f(x,y)=(x,y),即写成丫的函数，解法:dxxdx=分离变量，积分后将卫代替u,x(u)-ux即得齐次方程通解。一阶线性微分方程:1、阶线性微分方程:dx p

27、("(x)当Q(x)=0日t为齐次方程，y=CeTP(x)dx、当Q(x)黄0时,为非齐次方程，y=(JQ(x)e""dx+C)e1'"'dx2贝努力方程：dyP(x)y=Q(x)yn,(n=0,1)dx全微分方程：如果P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0中左端是某函数的全微分方程，即：uux. u(x, y) =C应该是该全微分方程的 通解。二阶微分方程：du(x,y)=P(x,y)dxQ(x,y)dy=0,其中：一=P(x,y),一=Q(x,y)d2ydyf(x)=0时为齐次rP(x)Q(x)y=f(x)dxdxf(x):0时为非齐

28、次二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：(*)ypyqy=0,其中p,q为常数；求解步骤：1、写出特征方程：(A)r2+pr+q=0,其中r2,r的系数及常数项恰好是(*)式中y”,y：y的系数;2、求出()式的两个根r1,r2&卞!据r1,r2的不同情况，按下表写出(*)式的通解:r1,r2的形式(*)式的通解两个不相等实根(p2_4q>0)1x,r2xy=Ge1+C2e2两个相等实根(p24q=0)y=(G+c2x)er1x一对共轲复根(p24q<0)r1=a+iP,r2=a-iPapB.一p222y=e(C)cosPx+c2sinPx)二阶常系数非齐次线性微分方程y&q

29、uot;+py'+qy=f(x),p,q为常数f(x)=e'Pm(x)型，九为常数;f(x)=e迩Pl(x)cos0x+Pn(x)sin®x型概率论与数理统计1 .随机事件及其概率A 一AA - EA (A B) = AA.C.吸收律：A二七：=aA.(AB)=AA-B=AB=A-(AB)反演律：A.B=ABAB=A_.Bnn_A=Ai1i12 .概率的定义及其计算P(A)=1-P(A)若AB=P(B-A)=P(B)-P(A)对任意两个事件AB,有P(B-A)=P(B)-P(AB)加法公式：对任意两个事件AB,有P(A.B)=P(A)P(B)-P(AB)P(A.B)P

30、(A)P(B)nnnP(UA)=£P(Ai)-工P(AAj)+工P(AAjAk)+(-1)n“P(AA2An)i1i11'1：jin1_L:j:k_n3.条件概率PBP(AB)乘法公式P(AB)=P(A)PBA(P(A)0)全概率公式P(AAAn)=P(A)P(A2A广P(AnAA?人)/(P(AA2An。0)nP(A)- P(ABi)i 1n=Z P(Bi) P(A Bi) i 4Bayes公式P(Bk A) =P(ABk)kP(A)P(Bk)P(A Bk) n、P(Bi)P(A Bi)i 44 .随机变量及其分布分布函数计算P(a:二XMb)=P(XMb)-P(X<

31、a)=F(b)-F(a)5 .离散型随机变量(1)0-1分布P(X=k)=pk(1-p)Jk=0,1(2)二项分布B(n,p)若P(A)=pP(X=k)=C；pk(1-p)n”,k=0,1,n*Possion定理limnpn=10n，,k有nmckpld-pn)n*=e一下k=0,1,2,Poisson分布P(九),kP(X=k)=e,k=0,1,2,k!6.连续型随机变量(1) 均匀分布U(a,b)fj二0,a：x：b其他0,F(x)=x-ab-a(2)指数分布E(九)0,其他0,x:01exx_0(x-?22 二-二；x : ,二(3)正态分布N(R,仃2)1f(x)：e.2二二1F(x)

32、=2二(ti)2222二dt*N(0,1)一标准正态分布1(x)12ex2t2e 一万dt1x1J(x)二.2二f7 .多维随机变量及其分布二维随机变量(X,Y)的分布函数xyF(x,y)i.,j/(u,v)dvdu边缘分布函数与边缘密度函数x7'吸Fx(x)J-：Hf(u,v)dvdufx(x)-：,pf(x,v)dvyFY(y)ir,ir,f(u,v)dudvfY(y)二：日(u,y)du8 .连续型二维随机变量(1)区域G上的均匀分布，U(G)rif(x,y)A，(x，y)wG国其他(2)二维正态分布jx")22dx3(y广1O-CKJ(i_R)Jy性)2f(x,y)条

33、件分布1ve&9.二维随机变量的ee2二二1二2-1-:?2-二：二x:二二，-二：y:二二f(x,y)=fx(x)f；x(yx)fx(x)>Q=fY(y)fxy(xy)fY(y)>Qfx(x)=J(x,y)dy=J/iy(xy)fY(y)dy"bo-bofy(y)=_：f(x,y)dx=_：fY|x(yx)fx(x)dxfx y (x y)f(x, y)fYx(yx)fx(x)fY(y)fY(y)fYx(yx)f(x,y)fxy(x|y)fY(y)fx(x)fZTx)1Q.随机变量的数字特征数学期望-beE(x)-xkPkk=1E(x)=i-xf(x)dx-=O

34、随机变量函数的数学期望x的k阶原点矩E(xk)x的k阶绝对原点矩E(|x|k)x的k阶中心矩E(x-E(x)k)x的方差E(xE(x)2)=D(x)x,Y的k+l阶混合原点矩E(xkYl)x,Y的k+l阶混合中心矩E(x-E(x)k(Y-E(Y)1x,Y的二阶混合原点矩E(xY)x,Y的二阶混合中心矩x,Y的协方差E(X-E(X)(Y-E(Y)X,Y的相关系数E/(XE(X)(YE(Y)，二、：D(X7D(Y)厂XYX的方差D(X)=E(X-E(X)2)22D(X)-E(X2)-E2(X)协方差cov(X,Y)=E(X-E(X)(Y-E(Y)=E(XY).E(X)E(Y)1一、一、一、D(X,

35、Y)-D(X)-D(Y)2相关系数：-XY-cov(X,Y).D(X)1D(Y)简单整理了一下，中心极限定理及数理统计部分多概念少公式故未详细列出线性代数行列式n行列式共有n2个元素，展开后有n!项，可分解为2“行列式；代数余子式的性质：、Aij和aij的大小无关；、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0;、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为|A;代数余子式和余子式的关系：Mij=(-1)iJAjAj=(-1)ijMj设n行列式D:n(nA)将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为Di,则Di=(-1尸D；n(n)将D顺时针或逆时针旋转90：,所得行列式为D2,则D2

36、=(-1)D；将D主对角线翻转后(转置)，所得行列式为D3,则D3=D；将D主副角线翻转后，所得行列式为D4,则D4=D;行列式的重要公式：、主对角行列式：主对角元素的乘积；n(n月、副对角行列式：副对角元素的乘积X(-1)2；、上、下三角行列式(I、=|):主对角元素的乘积；n(n二)、|和，：副对角元素的乘积M(T)1、拉普拉斯展开式：C=AB、A=(-1)mnAB、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积;、特征值;n对于n阶行列式A，恒有：EEA=?+!(-1)kSkZn-，其中Sk为k阶主子式;k2证明A=0的方法:、A=A;、反证法；、构造齐次方程组Ax=0,证明其有非零解;、禾1J用

37、秩，证明r(A)<n;、证明0是其特征值；矩阵A是n阶可逆矩阵：uA00(是非奇异矩阵)；=r(A)=n(是满秩矩阵)UA的行(列)向量组线性无关；U齐次方程组Ax=0有非零解；UVbWRn,Ax=b总有唯一解；uA与E等价；UA可表示成若干个初等矩阵的乘积；uA的特征值全不为0;uATA是正定矩阵；UA的行(列)向量组是Rn的一组基;UA是Rn中某两组基的过渡矩阵；对于n阶矩阵A:AA*=A*A=AE无条件恒成立;(A1)*(A*)(A工)T=(AT)±(A*)T=(AT)*(AB)T=BTAT(AB)*=B*A*(AB/二B二A矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数

38、值，可求代数和；关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆：A、若A=A2.，则：I.<AJI、A=a|A2IIIAs;As)O1B-J;(主对角分块);(副对角分块);(拉普拉斯);(拉普拉斯)矩阵的初等变换与线性方程组一个mxn矩阵A,总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的:Er OF I r O O等价类：所有与 A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵;对于同型矩阵 A、3,若(A) =r(B)UA|_B；行最简形矩阵:、只能通过初等行变换获得;、每行首个非。元素必须为1;、每行首个非。元素所在列的其他元素必须为0;初等行变换的应用：(初等列

39、变换类似，或转置后采用初等行变换)若(A , E)(E , X),则 A可逆，且 X =A-；c、对矩阵(A,B)做初等行变化，当A变为E时，B就变成A-B,即：(A,B)-(E,A'B);r、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程Ax=b,如果(A,b)(E,x),则A可逆，且初等矩阵和对角矩阵的概念：、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵;,左乘矩阵A,九乘A的各行元素；右乘,九乘A的各列元素;、对调两行或两列，符号E(i,j),且E(i,j),=E(i,j),例如:1(k #0)；、倍乘某仃或某列，符号E(i(k),且e(i(k)=E(i(

40、-),例如:k-k、倍加某行或某列，符号E(ij(k),且E(ij(k)-=E(ij(_k),如:(k ¥0)；D、0 <r(Am) <min(m,n)；矩阵秩的基本性质:r(AT)=r(A)；若A|_|B,则r(A)=r(B);若P、Q可逆，则r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ);(可逆矩阵不影响矩阵的秩max(r(A),r(B)<r(A,B)<r(A)+r(B);(X)r(A+B)<r(A)+r(B);(X)r(AB)<min(r(A),r(B)；(X)如果A是mxn矩阵，B是nxs矩阵，且AB=0,则：(B的列向量全部是齐次方程组A

41、X=0解(转置运算后的结论)；r(A)-r(B)<n1、型如0二项展开式:、若A、B均为n阶方阵，则r(AB)>r(A)+r(B)n；三种特殊矩阵的方哥:、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵(向量)M行矩阵(向量)的形式，再采用结合律;cb的矩阵：利用二项展开式;1n(a+b)n=c0an+C才1+3+雷2曲|元：工a1-1+C：bn=£Cnmamb2；m=0注：I、n、Cnmn(n-1)l|H(nm1)m!(nn-m)!C0=Cn=1出、组合的性质：cnm=C：Hncn=2nr差rC：=nCnr：;r (A) =nr (A) =n -1 ;r (A) :：: n -1、

42、利用特征值和相似对角化:伴随矩阵:n、伴随矩阵的秩：r(A*)=10、伴随矩阵白特征值："(AXA=AX=?X);、A*=|AA,、A*|=|An-关于A矩阵秩的描述：、r（A）=n,A中有n阶子式不为0,n+1阶子式全部为0;（两句话）、r（A）<n,A中有n阶子式全部为0；、r（A）之n,A中有n阶子式不为0；线性方程组：Ax=b,其中A为mxn矩阵，则：、m与方程的个数相同，即方程组Ax=b有m个方程；、n与方程组得未知数个数相同，方程组Ax=b为n元方程;线性方程组Ax=b的求解：、对增广矩阵B进行初等行变换（只能使用初等行变换）；、齐次解为对应齐次方程组的解；、特解：

43、自由变量赋初值后求得；由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程:aiixiai2x2ainXnD、a21弱气22x2Ia-a2nxn=3,川I附川川川川皿川MIIHamixim2x2HII.Anm*n=bnaila21a12a 22III前I I Ia2b2Ax=b （向量方程， A为mxn矩阵，m个方程,n个未知数）aIaamnaia2IIIan)=p（全部按列分块，其中p=b2<xn/、aiKi+a2x2丑|+anxn=P(线性表出)、有解的充要条件：r（A）=r（A,P）<n（n为未知数的个数或维数）向量组的线性相关性m个n维列向量所组成的向量组A：Qi,%,l|l,c（

44、m构成nMm矩阵A=（ai,a2,lll,am）；m个n维行向量所组成的向量组B：胃，用',111,圮构成mMn矩阵B='PT含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；、向量组的线性相关、无关、向量的线性表出、向量组的相互线性表示=Ax=0有、无非零解；（齐次线性方程组）=Ax=b是否有解；（线性方程组）uAX=B是否有解；（矩阵方程）矩B$Am;1n与Bl刈行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组Ax=0和Bx=0同解；（P01例14）r（ATA）=r（A）;（P101例15）n维向量线性相关的几何意义:u 口 =0 ；=a, P坐标成比例或共线（平行）；u ot,P&quo

45、t;共面；、1a线性相关、a,P线性相关、a,P/，线性相关线性相关与无关的两套定理：若5,。21,Ots线性相关，则3,出|,5,Cfs+必线性相关；若0,0（2,111,as线性无关，则0（1,a2,III,as工必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）若r维向量组A的每个向量上添上nr个分量，构成n维向量组B：若A线性无关，则B也线性无关；反之若B线性相关，则A也线性相关；（向量组的维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；向量组A（个数为r）能由向量组B（个数为s）线性表示，且A线性无关，则r<s（二版P74定理7）；向量组A能由向量组B线性表示，则r（A）<r（B）;（P86定理3）向量组A能由向量组B线性表示UAX=B有解；=r（A）=r