数学试验--matlab-Koch雪花

1、数学实验报告3分形实例电气二班陆展辉201430222325(51)问题描述1.对一个等边三角形，每条边按照Koch曲线的方式进行迭代，产生的分形图称为Koch雪花。编制程序绘制出它的图形，并计算Koch雪花的面积，以及它的分形维数。2、对一条横向线段，先将其等分成4段，然后再将第二段向上移，将第三段向下移，再将第四段的相邻端点连接起来，迭代一次后变成图3-21.继续迭代得到的分形图，称为Minkowski香肠。编制程序绘制出它的图形，并计算它的分形维数。图3-21Minkowski香肠一次迭代问题分析与实验过程实验过程:1.仿照Koch曲线代码对三角形的每条边进行Koch曲线化,函数的输入参

2、数有三角形的边长R和迭代次数k,输由Koch雪花图形以及雪花所围面积S.(1)代码如下：functionxuehua(k)%k为迭代次数forj=0:2%依次对3条边进行Koch曲线运算ifj=0;P=0,0；10,0；elseifj=1;p=5,-5*sqrt(3);0,0;elsej=2;p=10,0;5,-5*sqrt(3);endn=1;%存放线段的数量，初始值为1A=cos(pi/3),-sin(pi/3);sin(pi/3),cos(pi/3);%1于计算新的结点fors=1:kj=0;%j为行数fori=1:nq1=p(i,:);%M前线段的起点坐标q2=p(i+1,:);%B前

3、线段的终点坐标d=(q2-q1)/3;j=j+1;r(j,:)=q1;%起点存入rj=j+1;r(j,:)=q1+d;%ff1点存入rj=j+1;r(j,:)=q1+d+d*A;%ff2点存入rj=j+1;r(j,:)=q1+2*d;涮3点存入rendn=4*n;於部线段迭代一次后，线段数量乘4clearp%青空p,注意：最后一个终点q2不在r中p=r;q2;犷条边的全部结点clearrendplot(p(:,1),p(:,2)%连接各个结点holdon;axisequalend不同k对应不同的图像如下:k=1k=2k=3(2)Koch雪花面积推导如下所示:.32rk=0时S=43r273r2

4、k=1时S=4+12k=2时由2S=4+、.3212,+3227_3222-324r32k=3时S=r+12r+27r+243r,32.323*32(n4)4r23,32()r2r2r2r2*4(n4)4*(-n)2r2*4(n1)*(-)2k=n时S=4+12+43+431每一次迭加，所产生的新三角形的边长变为上一次的3,数量为上一次的4倍.、3232/12/12/12rVr(二)Cj)(n4)(6)S=4+4*(3*3+12*3+3*4(*3n_1c占202%3*4/)*(J)2=4+4-=13曲线总面积无穷大。(3)综上所述可得Koch雪花的分形维数为：根据迭代的规律得到：相似形个数：m

5、=6边长放大倍数：c=3,d=lnm+lnc=ln6+ln3=16312、绘制Minkowski香肠(D编辑实现题目迭代的函数在Matlab中，编制一个函数来绘制Minkowski香肠的图形。具体代码如下:functionMinkowski(k)p=0,0;10,0;%n=1;%A=0,1;-1,0;%fors=1:k%j=0;fori=1:n;q1=p(i,：);%q2=p(i+1,：);%d=(q2-q1)/4;j=j+1;r(j,：)=q1;%j=j+1;r(j,:)=q1+d;%j=j+1;r(j,:)=q1+d+d*A;%j=j+1;r(j,:)=q1+2*d+d*A;%j=j+1;

6、r(j,:)=q1+2*d+d*A;%j=j+1;r(j,:)=q1+3*d+d*A;%j=j+1;r(j,:)=q1+3*d;%end%显示迭代k次后的Minkowski曲线图存放结点坐标，每行一个点，初始值为两结点的坐存放线段的数量，初始值为1用于计算新的结点实现迭代过程，计算所有的结点的坐标原终点作为下条线段的起点,目前线段的起点坐标目前线段的终点坐标原起点存入r新1点存入r新2点存入r新3点存入r新4点存入r新5点存入r新6点存入r在迭代下条线段时存入rn=n*7;%clearp%p=r;q2;%endplot(p(:,1),p(:,2)axisequal%全部线段迭代一次后，线段数量

7、乘7清空p,注意：最后一个终点q2不在r中重新装载本次迭代后的全部结点%显示各结点的连线图各坐标轴同比列将这个文件保存，文件名记为Minkowski.m.(2)绘制Minkowski香肠的图形代码：frat(3)运行结果如下图所示：代码：frat(5)运行结果如下图所示:810计算Minkowski香肠的维数根据迭代规律得到：形似形个数m=7边长放大倍数c=4,故维数d=1.4037.因此Minkowski香肠的维数介于1与2之间。具体计算如下：d=lnm/lnc=ln7/ln4=1.4037u=0,l;fork=1:4m=u/4;uu=m,1/4+m*(i),m+1/4+i/4,1/2+i/

8、4+m*(-i),1/2,1/2+m*(-i),m+1/2-i/4,m*(i)+3/4-i/4,m+3/4;subplot(2,2,k);plot(uu)u=uu;end040.20-0.2-040051结果合理性分析通过模仿学习书本上的例题，用程序绘制出了Koch雪花和Minkowski香肠的图形，并且和网上标准结果对照一致，此外计算出了两图形的维数，都符合实际情形；故可认为所得图形和维数计算结果很具有合理性。实验总结与实验感悟实验总结通过这次实验再次拓展了迭代法，而且还学习了迭代法应用于分形实例，对解决分形图形问题提供了强大的软件支持，Matla及其代码给分形图形的绘制创造了很便捷的操作平台，并且易于操作