23.利用平方和为定值.构圆巧解函数试题

1、中国高考数学母题一千题(第0001号)愿与您共建真实的中国高考数学母题(杨培明利用平方和为定值.构圆巧解函数试题构圆.寻找函数试题的几何解法 数形结合是数学中的重要思想和解题方法,也是高考重点考查的对象,构造法是数形结合的典范,其基本特点之一是通过构造,把代数问题转化为几何问题;圆是基本的构造对象,利用变量的平方和为定值是构圆的方法之一.母题结构:己知两变量a、b的平方和a2+b2=r2(r>0)为定值,求解关于变量a、b的函数F(a,b)的问题.解题程序:首先寻找或构造两变量a、b,使得a2+b2=r2(r>0)为定值,然后,把a2+b2=r2,视为在直

2、角坐标系aOb中的圆,最后,通过寻找或构造函数F(a,b)的几何意义,直观解决函数F(a,b)的问题. 1.函数f(x)=a+b的值域 子题类型:(2008年重庆高考试题.2009年全国高中数学联赛河南初赛试题)已知函数y=+的最大值为M,最小值为m,则的值为 .解析:令X=,Y=,则X0,Y0,且X2+Y2=4,y=X+Y点P(X,Y)在如图所示的圆弧上时,直线X+Y=y在Y轴上截距y的最大值ymax=M=2,ymin=m=2=.点评:求函数f(x)=a+b的值域:令两变量X=,Y=(X0,Y0);由X2+Y2=m+n作圆(第一象限);由直线l:aX+bY=f(x)与四分之一圆弧相交,直观分

3、析求解直线l在Y轴上截距. 2.三角换元后,由cos2+sin2=1构圆 子题类型:(2010年全国高中数学联赛江西初赛试题)函数f(x)=的值域是 .解析:设x=cos,且0,.则f(x)=,作P(cos,sin),A(-2,0),则f(x)=kAP0,.点评:由cos2+sin2=1构圆解题的关键是进行三角换元,使函数f(x)转化为关于sin与cos的函数F(sin,cos),通过令点P(sin,cos),构造单位圆,并由此寻找或构造函数F(sin,cos)的几何意义求解. 3.求a2+b2的最小值的方法 子题类型:(2014年全国高中数学联赛贵州初赛试题)已知函数f(x)=x2+ax+b

4、(xR,且x0),若实数a、b使得f(x)=0有实根,求a2+b2的最小值.解析:令a2+b2=r2(r>0),x+=t,则|t|=|x+|2,且x2+=t2-2;由f(x)=0x2+ax+b=0(x+)a+b+(x2+)=0ta+b+(t2-2)=0;在直角坐标系aOb中,由直线l:ta+b+(t2-2)=0与圆O:a2+b2=r2相交r=|-|-|=ra2+b2=r2,当且仅当x=1a=,b=时,等号成立(a2+b2)min=.点评:求a2+b2的最小值,首先令a2+b2=r2(r>0),并把a2+b2=r2,视为在直角坐标系aOb中的圆O,然后,把已知条件转化为关于变量a与b

5、的直线l,由直线l与圆O相交r圆心O到直线l的距离d,求d的最小值d0,得a2+b2的最小值=d02. 4.子题系列:1.(2005年第十六届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)函数y=+的最大值是 ,最小值是 .2.(2011年全国高中数学联赛四川初赛试题)函数f(x)=+的最大值是 .3.(2000年全国高考试题)若函数f(x)=-ax(a>0)在0,+)上单调递减,则实数a的取值范围是 .4.(2002年全国高中数学联赛上海初赛试题)已知函数f(x)=(1-x+),x2,4,则该函数的值域是_.5.(2013年全国高中数学联赛浙江初赛试题)设二次函数f(x)=ax2+(2b+1)

6、x-a-2(a,bR,a0)在3,4上至少有一个零点.求a2+b2的最小值.6.(2011年全国高中数学联赛湖北初赛试题)已知a,bR,关于x的方程x4+ax3+2x2+bx+1=0有一个实根,求a2+b2的最小值.7.(2014年全国高中数学联赛内蒙古初赛试题)已知a=xb+yc(x,yR),|a|=|b|=2,|c|=1,(a-c)(b-c)=0,则|a-b|的取值范围是 . 5.子题详解:1.解:取点P(,),点P在四分之一圆弧C:x2+y2=3(x0,y0)上,u=x+y,直线x+y=u在x轴上的截矩u满足:u.2.解:取点P(,),点P在四分之一圆弧C:x2+y2=3(x0,y0)上

7、,u=x+y,直线x+y=u在x轴上的截矩u满足:u2.3.解:令x=tan,(-,),则f(x)=-atan=a,取单位圆上的点P(cos,sin),令A(0,),则-kPA=f(x),由f(x)递减kPA递增1a1.4.解:由f(x)=(1-x+)=(-1+)=-1+,令1-=tan,则y=f(x)=(-tan+)=,取单位圆上的点P(cos,sin),A(0,1),-kPA=,kOA递增,递减,当tan=时,sin=,cos=f(x)max=;当tan=时,sin=,cos=f(x)min=.5.解:由f(x)=0ax2+(2b+1)x-a-2=0(x2-1)a+2xb+(x-2)=0,

8、令a2+b2=r2(r>0),则在直角坐标系aOb中,直线l:(x2-1)a+2xb+(x-2)=0与圆O:a2+b2=r2相交r(x3,4)=a2+b2=r2,当且仅当x=3a=-,b=-时,等号成立(a2+b2)min=.6.解:由x4+ax3+2x2+bx+1=0x3a+xb+(x4+2x2+1)=0,令a2+b2=r2(r>0),则在直角坐标系aOb中,直线l:x3a+xb+(x4+2x2+1)=0与圆O:a2+b2=r2相交ra2+b2=r2=+48,当且仅当=x2=1a2=b2=4时,等号成立a2+b2的最小值=8.7.解:设c=(m,n),a-c=(a,0),b-c=(0,b)m2+n2=1,a=(a+m,n),b=(