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文档简介

1、第五节 两角和与差的三角函数内内 容容要要 求求A AB BC C两角和两角和( (差差) )的正弦、的正弦、余弦及正切余弦及正切三年三年4 4考考 高考指数高考指数: :1.1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式两角和与差的正弦、余弦和正切公式公式名公式名公式公式两角和与两角和与差的正弦差的正弦两角和与两角和与差的余弦差的余弦两角和与两角和与差的正切差的正切sin()_ sin coscos sincos()_ cos cossin sintan()_ tantan1tan tan【即时运用】【即时运用】(1)(1)判别以下式子的正误判别以下式子的正误.(.(请在括号内打请在括号内打“或或“)

2、 )cos15cos15=cos(45=cos(45-30-30)=cos45)=cos45-cos30-cos30 ( ) ( )sin15sin15=sin(45=sin(45-30-30)=cos45)=cos45sin30sin30-sin45-sin45cos30cos30 ( ) ( )cos15cos15=cos(60=cos(60-45-45)=cos60)=cos60cos45cos45+sin60+sin60sin45sin45 ( ) ( )cos15cos15=cos(60=cos(60-45-45)=cos60)=cos60cos45cos45-sin60-sin60

3、sin45sin45 ( ) ( )(2)(2)计算计算sin72sin72cos18cos18+cos72+cos72sin18sin18=_.=_.(3)(3)计算计算cos72cos72cos12cos12+sin72+sin72sin12sin12=_.=_.【解析】【解析】(1)cos15(1)cos15=cos(45=cos(45-30-30) )=cos45=cos45cos30cos30+sin45+sin45sin30sin30, ,故错误;故错误;sin15sin15=sin(45=sin(45-30-30)=sin45)=sin45cos30cos30- -cos45co

4、s45sin30sin30,故错误,故错误;cos15;cos15=cos(60=cos(60- -4545)=cos60)=cos60cos45cos45+sin60+sin60sin45sin45, ,故正确,错误故正确,错误. .(2)(2)原式原式=sin(72=sin(72+18+18)=sin90)=sin90=1.=1.(3)(3)原式原式=cos(72=cos(72-12-12)=cos60)=cos60= .= .答案:答案:(1)(1) (2)1 (3) (2)1 (3) 12122.2.辅助角公式辅助角公式asin+bcos=_sin(+)asin+bcos=_sin(+

5、)【即时运用】【即时运用】(1)(1)思索:在辅助角公式中如何确定思索:在辅助角公式中如何确定?提示提示: :展开展开 sin(+) sin(+)后可以发现:后可以发现:cos= ,sin= ,cos= ,sin= ,角的终边位置可角的终边位置可由由a a、b b的符号确定的符号确定. .22ab22ab22aab22bab (2) (2)化简:化简:cos + sin =_.cos + sin =_.【解析】【解析】= = =答案:答案:1231213cos3sin2( cossin)12122122122(coscossinsin)3123122cos2cos2.31242 三角函数式的求

6、值三角函数式的求值【方法点睛】【方法点睛】三角函数式求值的类型和思绪三角函数式求值的类型和思绪(1)(1)三角函数式求值的类型三角函数式求值的类型三角函数式求值分为直接求值和条件求值三角函数式求值分为直接求值和条件求值, ,直接求值就是直接根直接求值就是直接根据所给的三角函数式选择恰当的公式化简变形求得三角函数式据所给的三角函数式选择恰当的公式化简变形求得三角函数式的值的值. .条件求值是要根据条件选择适宜的公式进展三角恒等变换条件求值是要根据条件选择适宜的公式进展三角恒等变换求得所需求的值,同时留意所给角的范围求得所需求的值,同时留意所给角的范围. .(2)(2)条件求值的普通思绪条件求值的

7、普通思绪先化简所求式子或所给条件先化简所求式子或所给条件; ;察看知条件与所求式子之间的联络察看知条件与所求式子之间的联络( (从三角函数名及角入手从三角函数名及角入手););将知条件代入所求式子将知条件代入所求式子, ,化简求值化简求值. .【提示】在配角时特殊角也可以看作知角,如【提示】在配角时特殊角也可以看作知角,如= -= -( -)( -)等,利用诱导公式时一定留意符号的变化等,利用诱导公式时一定留意符号的变化. . 44【例【例1 1】(1)(1)求以下三角函数式的值求以下三角函数式的值sin50sin50(1+ tan10(1+ tan10)=_.)=_.假设假设cos(+)=

8、,cos(-)= ,cos(+)= ,cos(-)= ,那么那么tantan=_.tantan=_.(2)(2021(2)(2021扬州模拟扬州模拟) )知函数知函数f(x)=2sin( x- ),xR.f(x)=2sin( x- ),xR.求求f( )f( )的值;的值;设设,0, 0, ,f(3+ )= f(3+2)=f(3+ )= f(3+2)=求求cos(+)cos(+)的值的值. .31535136542210,136,5【解题指南】【解题指南】(1)(1)把切函数换成弦函数再用公式化简求值,重把切函数换成弦函数再用公式化简求值,重在公式的逆用;利用两角和、差的余弦公式展开求在公式的

9、逆用;利用两角和、差的余弦公式展开求coscos,sinsincoscos,sinsin,相除得结果,相除得结果. .(2)(2)直接代入求值;将知条件转化利用两角和的余弦公式求直接代入求值;将知条件转化利用两角和的余弦公式求解解. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)原式原式= =sin50=sin50=2sin50=2sin503sin10sin50 (1)cos10132( cos10sin10 )22cos10sin30 cos10cos30 sin10cos10=2cos40=2cos40cos(+)=coscos-sinsin= (cos(+)=coscos-sinsin= (*

10、 *) )cos(-)=coscos+sinsin= (cos(-)=coscos+sinsin= (* * *) )由由( (* *)()(* * *) )解得解得coscos= ,sinsin= ,coscos= ,sinsin= ,那么那么tantan= .tantan= .答案:答案:1 1 (2)(2)f( )=f( )=sin40sin80cos101.cos10cos10cos1015352515sin sin1cos cos2125452sin()2sin2.12641f(3)2sin(3)2326=2sin= ,sin= .=2sin= ,sin= .0, 0, ,cos=

11、.,cos= .又又f(3+2)=2sinf(3+2)=2sin (3+2)- (3+2)- =2sin(+ )=2cos= ,=2sin(+ )=2cos= ,cos= .cos= .0, 0, ,sin= .,sin= .cos(+)=coscos-sinsincos(+)=coscos-sinsin= =101351321213136265352451235416.13513565【互动探求】把本例【互动探求】把本例(1)(1)中的条件改为中的条件改为“sin(+)=“sin(+)=sin(-)= sin(-)= , ,如何求如何求 ?【解析】由于【解析】由于sin(+)=sincos+

12、cossin=sin(+)=sincos+cossin=sin(-)=sincos-cossin=sin(-)=sincos-cossin=两式相加得两式相加得sincos= sincos= 两式相减得两式相减得cossin=- cossin=- 即得即得 =-2. =-2.1,535tantan1,53,52515tantan【反思【反思感悟】三角函数式求值问题的留意点感悟】三角函数式求值问题的留意点(1)(1)三角函数式求值时一定要准确地运用公式和选择恰当的思绪,三角函数式求值时一定要准确地运用公式和选择恰当的思绪,否那么会使求值过程繁琐否那么会使求值过程繁琐. .(2)(2)条件求值要求

13、准确利用所给的条件,在此能够涉及到式子的条件求值要求准确利用所给的条件,在此能够涉及到式子的变形和角的变换,同时要留意角的范围变形和角的变换,同时要留意角的范围. .【变式备选】知【变式备选】知 , ,求求cos(2+ )cos(2+ )的值的值. .【解析】【解析】又又故可知故可知从而从而cos2=sin(2+ )cos2=sin(2+ )33cos(),45 22 42cos(2)cos2 cossin2 sincos2sin2,4442337,.22444 3cos()0,4537,244 4sin(),45 2=2sin(+ )cos(+ )=2sin(+ )cos(+ )= =sin

14、2=-cos(2+ )=1-2cos2(+ )sin2=-cos(2+ )=1-2cos2(+ )= = =4443242 ().5525 2423712 ( ).525 2cos(2)(cos2sin2 )42224731 2().2252550 三角函数的给值求角三角函数的给值求角【方法点睛】【方法点睛】1.1.三角函数的给值求角问题的普通思绪三角函数的给值求角问题的普通思绪(1)(1)求出该角的某一三角函数值,求出该角的某一三角函数值,(2)(2)确定角的范围;确定角的范围;(3)(3)根据角的范围写出角根据角的范围写出角. .2.2.三角函数给值求角时应留意的问题三角函数给值求角时应留

15、意的问题求角的某一三角函数值时求角的某一三角函数值时, ,应选择在该角所在范围内是单调应选择在该角所在范围内是单调的函数的函数. .这样这样, ,由三角函数值才可以独一确定角由三角函数值才可以独一确定角. .如如: :假设角的假设角的范围是范围是(0, ),(0, ),选正、余弦皆可选正、余弦皆可; ;假设角的范围是假设角的范围是(0,),(0,),选余选余弦较好弦较好; ;假设角的范围为假设角的范围为(- , ),(- , ),那么选正弦那么选正弦. . 222【例【例2 2】知】知cos= ,cos(-)= ,cos= ,cos(-)= ,且且0 0 . .(1)(1)求求tan2tan2

16、的值;的值;(2)(2)求求.【解题指南】【解题指南】(1)(1)利用同角三角函数关系式求出利用同角三角函数关系式求出sin,tansin,tan,再求出再求出tan2tan2;(2)(2)把把写成写成-(-)-(-),根据知条件求出,根据知条件求出的正弦,的正弦,-的的正弦,求出正弦,求出coscos,根据范围确定角,根据范围确定角. .1713142【规范解答】【规范解答】(1)(1)由由cos= ,0cos= ,0 , ,得得于是于是1722214 3sin1 cos1 ( ).77 sin4 37tan4 3.cos71 222tan2 4 38 3tan2.1tan4714 3 (2

17、)(2)由由0 0 , ,得得0 0- . .又又cos(-)= ,cos(-)= ,sin(-)=sin(-)=由由=-(-),=-(-),得得cos=coscos=cos-(-)-(-)=coscos(-)+sinsin(-)=coscos(-)+sinsin(-)= = .= .22131422133 31cos1().1414 1134 33 31,71471423【反思【反思感悟】根据三角函数值求角时,一定要先确定角的范感悟】根据三角函数值求角时,一定要先确定角的范围围. .另外,也可运用同角三角函数的商数关系,如在等式另外,也可运用同角三角函数的商数关系,如在等式sinBcosAs

18、inBcosAsinAcosBsinAcosB两端同除以两端同除以cosAcosBcosAcosB得得tanB=tanAtanB=tanA等变化技等变化技巧也经常用到巧也经常用到. .【变式训练】【变式训练】ABCABC的三内角分别为的三内角分别为A A、B B、C C,向量,向量 = =( sinA,sinB), =(cosB, cosA)( sinA,sinB), =(cosB, cosA),假设,假设 = =1+cos(A+B),1+cos(A+B),求求C.C.【解析】【解析】 = sinAcosB+ sinBcosA = sinAcosB+ sinBcosA= (sinAcosB+s

19、inBcosA)= (sinAcosB+sinBcosA)= sin(A+B)=1+cos(A+B),= sin(A+B)=1+cos(A+B), sinC=1-cosC, sinC=1-cosC, sinC+cosC=1, sinC+cosC=1,m3n3mnmn333333即即2sin(C+ )=1,2sin(C+ )=1,sin(C+ )= ,sin(C+ )= ,又又C(0,),C(0,),C+ = ,C= .C+ = ,C= .6612165623【变式备选】知【变式备选】知tan= ,tan= ,tan= ,tan= ,tan= ,tan= ,、均为锐角,求均为锐角,求+的值的值.

20、 .【解析】【解析】tan= tan= 1 1且且为锐角,为锐角,00 , ,同理同理0 0 ,0 ,0 , ,00+ ,+= . ,+= .131531111tantan435tan,111tan tan7135 43tantan711tan1.431tantan1711 13444344【总分值指点】三角函数性质综合题的规范解答【总分值指点】三角函数性质综合题的规范解答【典例】【典例】(14(14分分)(2021)(2021四川高考四川高考) )知函数知函数f(x)=sin(x+f(x)=sin(x+ )+cos(x- ),xR. )+cos(x- ),xR.(1)(1)求求f(x)f(x

21、)的最小正周期和最小值的最小正周期和最小值; ;(2)(2)知知cos(-)= ,cos(+)=- ,cos(-)= ,cos(+)=- ,0 ,0 ,求证:求证:f()f()2-2=0.2-2=0.743445452【解题指南】【解题指南】(1)(1)把把f(x)f(x)化成化成Asin(x+)Asin(x+)的方式;的方式;(2)(2)利用两角和与差的余弦公式展开,两式相加可得利用两角和与差的余弦公式展开,两式相加可得2coscos=02coscos=0,结合,结合0 0 可得可得= .= .【规范解答】【规范解答】(1)f(x)=(1)f(x)=2sin(x- ). 4=2sin(x-

22、). 4分分227sin x24 3sin xsin xsin(x)42444f(x)f(x)的最小正周期的最小正周期T=2T=2,f(x)f(x)的最小值为的最小值为-2.-2. 6 6分分(2)(2)由知得由知得coscos+sinsin= ,coscos-coscos+sinsin= ,coscos-sinsin=- ,sinsin=- ,两式相加得两式相加得2coscos=0. 122coscos=0. 12分分0 ,= ,0 ,= ,f()f()2-2=4sin2 -2=0. 142-2=4sin2 -2=0. 14分分4545224【阅卷人点拨】经过高考中的阅卷数据分析与总结,我们

23、可以【阅卷人点拨】经过高考中的阅卷数据分析与总结,我们可以得到以下失分警示和备考建议:得到以下失分警示和备考建议:失失分分警警示示 解答本题时有三处容易失分:解答本题时有三处容易失分:(1)(1)第第(1)(1)问中三角恒等变换中的诱导公式容易用错得不问中三角恒等变换中的诱导公式容易用错得不到化简后的正确结果到化简后的正确结果. .(2)(2)由由,的和差的余弦值得不到的和差的余弦值得不到2coscos=02coscos=0而导致而导致后续计算无法进行后续计算无法进行. .(3)(3)在第在第(2)(2)问中得到问中得到2coscos=02coscos=0后忽略后忽略0 0 而得不到而得不到的值,而无法继续往下进行的值,而无法继续往下进行. .2备备考考建建议议 解答此类问题时还有以下几点容易造成失分,在备考时解答此类问题时还有以下几点容易造成失分,在备考时要高度关注:要高度关注:(1)(1)三角恒等变形转化不准确造成后面求解繁琐或错误三角恒等变形转化不准确造成后面求解繁琐或错误. .(2)(2)忽略特殊角的值而使问题漏解忽略特殊角的值而使问题漏解. .另外如果给

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