高中全程复习方略配套数列的概念ppt课件

1、第一节 数列的概念内内 容容 要要 求求 A A B B C C 数列的概念数列的概念三年三年1 1考考 高考指数高考指数: :1.1.数列的定义、分类与通项公式数列的定义、分类与通项公式(1)(1)数列的定义数列的定义按照按照_陈列的一列数称为数列，数列中的每个数陈列的一列数称为数列，数列中的每个数都叫做这个数列的都叫做这个数列的_._.数列是特殊的函数，它的特殊性主要表达在定义域为正整数列是特殊的函数，它的特殊性主要表达在定义域为正整数集数集N N* *( (或它的有限子集或它的有限子集11，2 2，kkNkkN* *).).一定次序一定次序项项(2)(2)数列的分类数列的分类根据数列的项

2、数可以将数列分为两类：根据数列的项数可以将数列分为两类：有穷数列有穷数列项数项数_的数列；的数列；无穷数列无穷数列项数项数_的数列的数列. .有限有限无限无限(3)(3)数列的通项公式数列的通项公式假设数列假设数列anan的的_与与_之间的关系可以用一个公之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式. .数列的表示方法数列的表示方法第第n n项项序号序号n n通项公式法通项公式法列表法列表法图象法图象法(1)(1)思索：数列的通项公式是独一的吗？能否每个数列都有通思索：数列的通项公式是独一的吗？能否每个数列都有通项公式？项公式？

3、提示提示: :不独一，如数列不独一，如数列-1,1,-1,1-1,1,-1,1，的通项公式可以是的通项公式可以是an=an=(-1)n(nN(-1)n(nN* *) )，也可以是，也可以是 有的数列没有有的数列没有通项公式通项公式. .【即时运用】【即时运用】n1(n)a1 n为奇数，为偶数(2)(2)判别以下说法能否正确判别以下说法能否正确.(.(请在括号中填写请在括号中填写“或或“) )数列数列1,3,5,71,3,5,7可表示为可表示为1,3,5,7. ( )1,3,5,7. ( )数列数列1,01,0，1 1，2 2与数列与数列2 2，1,0,11,0,1是一样的数列是一样的数列.(

4、).( )数列数列 的第的第k k项为项为 ( ) ( )数列数列0,2,4,6,0,2,4,6,可记为可记为2n. ( )2n. ( )n1n11.k【解析】由数列的定义可知、错误；数列【解析】由数列的定义可知、错误；数列 的第的第k k项项为为 故正确；数列故正确；数列0,2,4,60,2,4,6，的通项公式为的通项公式为anan2n2n2 2，故错综上知，正确；，故错综上知，正确；, , ,错误错误. .答案：答案： n1nk111kk ，(3)(3)数列数列9 9，9999，999999，的通项公式的通项公式an=_.an=_.【解析】【解析】9=10-19=10-1，99=102-1

5、99=102-1，999=103-1999=103-1，,an=10n-1.an=10n-1.答案：答案：10n-110n-12.2.数列的递推公式数列的递推公式假设知数列假设知数列anan的首项的首项( (或前几项或前几项) )，且任何一项，且任何一项anan与它的前一项与它的前一项an-1(an-1(或前几项或前几项) )间的关系可以用一个式子来表示，即间的关系可以用一个式子来表示，即an=f(an-1)an=f(an-1)或或an=f(an-1,an-2)an=f(an-1,an-2)，那么这个式子叫做数列，那么这个式子叫做数列anan的递推公式的递推公式. .(1)(1)知数列知数列a

6、nan中，中，a1a11 1， 那么那么a5a5_._.(2)(2)数列数列anan满足满足a1a10 0，an+1an+1anan2n2n，那么，那么anan的通项公式的通项公式anan_._.【即时运用】【即时运用】nn1naa2a3，【解析】【解析】(1)a1(1)a11 1，(2)(2)由知，由知，an+1an+1anan2n2n，故故anana1a1(a2(a2a1)a1)(a3(a3a2)a2)(an(anan-1)an-1)0 02 24 42(n2(n1)1)n(nn(n1)1)答案答案:(1) (2)n(n:(1) (2)n(n1)1)122312a1a1aa2a352a31

7、7 ， ，344534a1a1aa.2a3532a3161， 11613.an3.an与与SnSn的关系的关系假设数列假设数列anan的前的前n n项和为项和为SnSn，那么，那么1nS(n1)a.n2nn 1SS(1)(1)数列数列anan的前的前n n项和项和Sn=n2+1,Sn=n2+1,那么那么an=_.an=_.(2)(2)数列数列anan的前的前n n项和为项和为SnSn，且，且a1=1,Sn=nan,a1=1,Sn=nan,那么那么an=_.an=_.【解析】【解析】(1)(1)当当n=1n=1时，时，a1=S1=2;a1=S1=2;当当n2n2时，时，an=Sn-Sn-1=(n

8、2+1)-an=Sn-Sn-1=(n2+1)-(n-1)2+1(n-1)2+1=n2-(n-1)2=2n-1,=n2-(n-1)2=2n-1,将将n=1n=1代入代入an=2n-1an=2n-1得得a1=12.a1=12.【即时运用】【即时运用】n2n1 ,a2n1n2 . (2)(2)当当n2n2时，时，an=Sn-Sn-1=nan-(n-1)an-1,an=Sn-Sn-1=nan-(n-1)an-1,an=an-1(n2)an=an-1(n2)，又，又a1=1,an=1.a1=1,an=1.答案：答案： (2)1 (2)1 2(n1)12n1(n2) 知数列的前几项归纳数列的通项公式知数列

9、的前几项归纳数列的通项公式【方法点睛】【方法点睛】求数列的通项时，要抓住以下几个特征求数列的通项时，要抓住以下几个特征(1)(1)分式中分子、分母的特征；分式中分子、分母的特征；(2)(2)相邻项的变化特征；相邻项的变化特征；(3)(3)拆项后的特征；拆项后的特征；(4)(4)各项符号特征等，并对此进展归纳、联想各项符号特征等，并对此进展归纳、联想. . 【例【例1 1】根据数列的前几项，写出以下各数列的一个通项公式】根据数列的前几项，写出以下各数列的一个通项公式. .(1)-1,7,-13,19,(1)-1,7,-13,19,(2)0.8,0.88,0.888,(2)0.8,0.88,0.8

10、88,(3)(3)1 15 1329 61,2 48 1632 64【解题指南】【解题指南】(1)(1)从各项符号和各项绝对值的关系两方面思索从各项符号和各项绝对值的关系两方面思索. .(2)(2)从思索数列从思索数列0.8,0.88,0.888,0.8,0.88,0.888,和数列和数列0.9,0.99,0.999,0.9,0.99,0.999,的的关系着手关系着手. .(3)(3)分子规律不明显，从思索分子与分母的关系着手分子规律不明显，从思索分子与分母的关系着手. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)符号可经过符号可经过(-1)n(-1)n表示，后面的数的绝对值总表示，后面的数的绝对值

11、总比前面的数的绝对值大比前面的数的绝对值大6 6，故其一个通项公式为，故其一个通项公式为an=(-1)n(6n-5).an=(-1)n(6n-5).(2)(2)数列变为数列变为(3)(3)各项的分母分别为各项的分母分别为2121，2222，2323，2424，易看出第，易看出第2 2，3 3，4 4项项的分子分别比分母少的分子分别比分母少3.3.因此把第因此把第1 1项变为项变为原数列化为原数列化为881 0.1 ,1 0.01 ,99nn8811 0.001 ,a(1).991023.21234123423 2323 232222， ，nnnn23a1.2 【反思【反思感悟】感悟】1.1.解

12、答此题解答此题(3)(3)时有两个困惑：一是首项的符号，时有两个困惑：一是首项的符号，二是各项分子规律不明显二是各项分子规律不明显. .从分子与分母的关系入手，是解题的从分子与分母的关系入手，是解题的关键关键. .2.2.归纳通项公式应从以下四个方面着手：归纳通项公式应从以下四个方面着手：(1)(1)察看项与项之间的关系；察看项与项之间的关系；(2)(2)符号与绝对值分别思索；符号与绝对值分别思索；(3)(3)分开看分子、分母，再综合看分子、分母的关系；分开看分子、分母，再综合看分子、分母的关系；(4)(4)规律不明显，适当变形规律不明显，适当变形. .【变式训练】根据数列的前几项，写出各数列

13、的一个通项公式【变式训练】根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式. .(1)3,5,7,9(1)3,5,7,9，.(2) (2) (3)(3)1 3 7 15 31,.2 4 8 16 32，31 31 31,.23 45 6【解析】【解析】(1)(1)各项减去各项减去1 1后为正偶数后为正偶数,an=2n+1.,an=2n+1.(2)(2)每一项的分子比分母少每一项的分子比分母少1 1，而分母组成数列，而分母组成数列2121，2222，2323，2424，.(3)(3)各项负正相间，故通项公式中含有因式各项负正相间，故通项公式中含有因式(-1)n(-1)n，各项绝对值，各项绝对值的分母组

14、成数列的分母组成数列n,n,分子组成的数列中，奇数项为分子组成的数列中，奇数项为1 1，偶数项，偶数项为为3.3.即奇数项为即奇数项为2-12-1，偶数项为，偶数项为2+1.2+1.nnn21a.2nnn21a1.n 【变式备选】根据数列的前【变式备选】根据数列的前4 4项，写出数列的一个通项公式项，写出数列的一个通项公式. .(1)2(1)2，5 5，8 8，1111；(2)1(2)1，4 4，9 9，16.16.【解析】【解析】(1)(1)由由2=32=31-11-1；5=35=32-12-1；8=38=33-13-1；11=311=34-14-1；可推测可推测an=3an=3n-1n-1

15、，即，即an=3n-1.an=3n-1.(2)1=12(2)1=12，4=224=22，9=329=32，16=4216=42，an=n2.an=n2.1.“1.“累加法求累加法求anan知知a1a1且且an-an-1=f(n)(n2)an-an-1=f(n)(n2)，可以用，可以用“累加法，即累加法，即an-an-1 an-an-1 =f(n),an-1-an-2=f(n-1),a3-a2=f(3),a2-a1=f(2).=f(n),an-1-an-2=f(n-1),a3-a2=f(3),a2-a1=f(2).一切等式左右两边分别相加，代入一切等式左右两边分别相加，代入a1a1得得an.an

16、.由递推公式求数列的通项公式由递推公式求数列的通项公式【方法点睛】【方法点睛】2.“2.“累乘法求累乘法求anan知知a1a1且且 可以用可以用“累乘法，累乘法，即即一切等式左右两边分别相乘，代入一切等式左右两边分别相乘，代入a1a1得得an.an.【提示】在求解出通项公式后，记得验证【提示】在求解出通项公式后，记得验证a1a1能否满足公式能否满足公式. . nn 1af nn2 ,a 3nn 12n 1n 221aaaaf n ,f n1 ,f 3 ,f 2aaaa，【例【例2 2】根据以下条件，确定数列】根据以下条件，确定数列anan的通项公式的通项公式. .(1)a1=2, (1)a1=

17、2, (2)a1=1,nan+1=(n+1)an.(2)a1=1,nan+1=(n+1)an.【解题指南】【解题指南】(1)(1)求求an-an-1an-an-1，累加求和并验证，累加求和并验证n=1n=1的情形的情形. .(2)(2)求求 累乘求积并验证累乘求积并验证n=1n=1的情形的情形. .n 1n1aaln(1);nnn 1aa，【规范解答】【规范解答】(1)(1)an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1又又a1=2a1=2适宜上式，故适宜上式，故an=2+lnn(nNan=2+lnn

18、(nN* *).).n 1n1aaln(1)n，nn 11naaln(1)lnn2n 1n 1，nn13lnlnlnln22n1n22nn132ln(2)2lnn n2 .n1 n22(2)a1=1,nan+1=(n+1)an,(2)a1=1,nan+1=(n+1)an,又又a1=1a1=1适宜上式适宜上式, ,故故an=n(nNan=n(nN* *).).n 1nnn 13nn 12n1n 1n 221an1an,n2 .anan1aaaaaaaaaann13 21n n2 ,n1 n22 1【互动探求】将本例【互动探求】将本例(1)(1)中中 改为改为 其他条件不变，如何求解？其他条件不变

19、，如何求解？【解析】【解析】n 1n1aaln(1)n“”n 1n1aa.n n1n 1n1aan n1“”，n 1nnn 1111aa,n n1nn111aan2 ,n1nan=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1当当n=1n=1时，时，a1=2a1=2也适宜上式，故也适宜上式，故11111()()(1)2n1nn2n1213n2 .nn1a3(nN ).n【反思【反思感悟】解答此类标题应留意两个方面的问题：一是何感悟】解答此类标题应留意两个方面的问题：一是何时运用时运用“累加或累加或“累乘法，

20、可从所给递推公式的构造上分累乘法，可从所给递推公式的构造上分析析. .二是如何二是如何“累加或累加或“累乘，这是求通项公式累乘，这是求通项公式anan的关键，的关键，应留意对应留意对“累加式或累加式或“累乘式的变形累乘式的变形. . 【变式备选】求出满足条件【变式备选】求出满足条件a1=0,an+1=an+(2n-1)(nNa1=0,an+1=an+(2n-1)(nN* *) )的数的数列的通项公式列的通项公式. .【解析】由题意得，【解析】由题意得，an-an-1=2n-3(n2),an=a1+(a2-an-an-1=2n-3(n2),an=a1+(a2-a1)+(an-an-1)=0+1+

21、3+(2n-5)+(2n-3)=(n-1)2a1)+(an-an-1)=0+1+3+(2n-5)+(2n-3)=(n-1)2，又，又a1=0a1=0适宜上式，所以数列的通项公式为适宜上式，所以数列的通项公式为an=(n-1)2.an=(n-1)2.知知anan的前的前n n项和项和SnSn，求，求anan时应留意的问题时应留意的问题(1)(1)应注重分类讨论思想的运用，分应注重分类讨论思想的运用，分n=1n=1和和n2n2两种情况讨论；两种情况讨论；特别留意特别留意an=Sn-Sn-1an=Sn-Sn-1中需中需n2.n2.(2)(2)由由Sn-Sn-1=anSn-Sn-1=an推得的推得的a

22、n,an,当当n=1n=1时，时，a1a1也适宜也适宜“an“an式，那么式，那么需一致需一致“合写合写. .知知SnSn求求an an 【方法点睛】【方法点睛】(3)(3)由由Sn-Sn-1=anSn-Sn-1=an推得的推得的anan，当，当n=1n=1时，时，a1a1不适宜不适宜“an“an式，那么式，那么数数列的通项公式应分段表示列的通项公式应分段表示(“(“分写分写) )，即，即1nnn 1S n1 ,aSS(n2).【例【例3 3】知数列】知数列anan的前的前n n项和项和SnSn，分别求它们的通项公式，分别求它们的通项公式an.an.(1)Sn=2n2+3n(1)Sn=2n2+

23、3n；(2)Sn=3n+1.(2)Sn=3n+1.【解题指南】处理此题的关键是明确通项公式【解题指南】处理此题的关键是明确通项公式anan与前与前n n项和项和SnSn的的关系，利用关系，利用 进展求解进展求解. .1nnn 1S(n1)aSS(n2)【规范解答】【规范解答】(1)(1)由题可知，当由题可知，当n=1n=1时，时，a1=S1=2a1=S1=212+312+31=51=5，当当n2n2时，时，an=Sn-Sn-1=(2n2+3n)-an=Sn-Sn-1=(2n2+3n)-2(n-1)2+3(n-1)2(n-1)2+3(n-1)=4n+1.=4n+1.当当n=1n=1时，时，4 4

24、1+1=5=a1,an=4n+1.1+1=5=a1,an=4n+1.(2)(2)当当n=1n=1时，时，a1=S1=3+1=4a1=S1=3+1=4，当当n2n2时，时，an=Sn-Sn-1=(3n+1)-(3n-1+1)=2an=Sn-Sn-1=(3n+1)-(3n-1+1)=23n-1.3n-1.当当n=1n=1时，时，2 231-1=2a131-1=2a1，nn 14n1a.2 3n2 【反思【反思感悟】解答此类标题易犯的错误是没有分感悟】解答此类标题易犯的错误是没有分n=1n=1和和n2n2两两种情况求解，而是直接根据种情况求解，而是直接根据an=Sn-Sn-1an=Sn-Sn-1求得

25、求得an.an.【变式训练】知数列【变式训练】知数列anan前前n n项和为项和为SnSn，求以下条件下数列的通，求以下条件下数列的通项公式项公式. .(1)Sn=25n-2;(1)Sn=25n-2;(2)Sn=2(2)Sn=23n-1-1.3n-1-1.【解析】【解析】(1)(1)当当n=1n=1时，时，a1=S1=2a1=S1=25-2=8.5-2=8.当当n2n2时，时，an=Sn-Sn-1=25n-2-25n-1+2an=Sn-Sn-1=25n-2-25n-1+2=85n-1.=85n-1.当当n=1n=1时时,8,85 5- -=8=a1=8=a1，故故an=85n-1.an=85n

26、-1.(2)(2)当当n=1n=1时，时，a1=S1=1,a1=S1=1,当当n2n2时，时，an=Sn-Sn-1=23n-1-1-(23n-2-1)an=Sn-Sn-1=23n-1-1-(23n-2-1)=23n-1-23n-2=23n-2(3-1)=23n-1-23n-2=23n-2(3-1)=43n-2.=43n-2.当当n=1n=1时，时， 故数列故数列anan的通项公式为：的通项公式为：1 2144 3a ,3nn 21(n1)a.4 3(n2)【易错误区】忽视数列的项数【易错误区】忽视数列的项数n n的范围致误的范围致误【典例】【典例】(2021(2021大连模拟大连模拟) )知数

27、列知数列anan满足满足a1=33,an+1-an=2n,a1=33,an+1-an=2n,那么那么 的最小值为的最小值为_._.【解题指南】先用【解题指南】先用“累加法求出累加法求出anan，再根据，再根据 的单调性求最的单调性求最小值小值. .nannan【规范解答】【规范解答】an+1-an=2nan+1-an=2n，an-an-1=2(n-1)an-an-1=2(n-1)，an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=(2n-2)+(2n-4)+2+33=(2n-2)+(2n-4)+2+33

28、=n2-n+33(n2)=n2-n+33(n2)，又又a1=33a1=33适宜上式，适宜上式，an=n2-n+33an=n2-n+33，na33n1.nn 23333f xx1 x0 ,fx1xx 令则，令令f(x)=0f(x)=0得得当当 时，时，f(x)0f(x)0f(x)0，即即f(x)f(x)在区间在区间 上递减；在区间上递减；在区间 上递增上递增. .当当n=6n=6时，时， 有最小值有最小值答案：答案：x33.0 x33x33(033)，( 33)， 33535336f 551553321f 661f 5f 662 又，且，nan21.2212【阅卷人点拨】经过阅卷数据分析与总结，

29、我们可以得到以下【阅卷人点拨】经过阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示和备考建议：误区警示和备考建议：误误区区警警示示 在解答本题时，以下几点容易出错：在解答本题时，以下几点容易出错：(1)a(1)an n求错；求错；(2)(2)求求 的最小值时，直接使用基本不等的最小值时，直接使用基本不等式，忽视了等号成立的条件；式，忽视了等号成立的条件；(3)(3)求求 的最小值时，误认为是的最小值时，误认为是n=5n=5时的时的值最小值最小. . nannan备备考考建建议议 解决此类数列问题时，还有以下几点容易造成失分，解决此类数列问题时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：在备考时要高度关注：(1)(1)用用“累加法累加法”求求a an n时，不要忘记加上时，不要忘记加上a a1 1. .(2)(2)在用基本不等式求在用基本不等式求 的最小值时，由于等号成立的最小值时，由于等号成立的条件的条件 不满足，故不能使用基本不等不满足，故不能使用基本不等式求最小值，而应借助函数的单调性求解式求最小值，而应借助函数的单调性求解. . nan*(n33N )1.(20211.(2021扬州模拟扬州模拟) )知数列知数列an,an,其前其前n n项和项和Sn=n2+n+1,Sn=n2+n+1,那么那么a8+