(完整版)数学培优竞赛新方法(九年级)-第23讲几何定值

1、第 23 讲几何定值知识纵横几何定值， 是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些集合性质或位置关系不变。解几何定值问题的基本方法是：分清问题的定量和变量，运用极端位置、特殊位置、直接计算等方法，先探求出定值，再给出一般情形下的证明。例题求解【例1 】 （1 ）如图 1，圆内接ABC 中， AB BCCA， OD,OE 为圆 O的半径，ODBC 于点 F ，OEAC 于点 G ，求证：阴影部分四边形OFCG 的面积是ABC 的1面积的 .3（2 ）如图 2 ，若 DOE 保持 120角度不变，求证：DOE 绕着 O 点旋转时，由两条半径和ABC 的两条边围成的图形（图中阴

2、影部分）面积始终是1ABC 的面积的3（广东省中考题）思路点拨对 于 （1），连OA、 OC，则要证明SOAC1 S3ABC，只需证明OAGOCF ；对于（2 ），类比（1）的证明方法证明。【例 2 】如图， O1 和 O2 外切于点A ， BC 是 O1 和 O2 的公切线， B,C 为切点（1）求证： ABAC ；（2）过点 A 的直线分别交 O1 和 O2于点 D, E ，且 DE 是连心线时， 直线 DB 与直线 EC交于点 F 请在图中画出图形，并判断DF 与 EF 是否互相垂直，请证明；若不垂直，请说明理由；（3）在（ 2 ）的其他条件不变的情况下，将直线 DE 绕点 A 旋转（

3、DE 不与点 A, B,C 重合），请另画出图形， 并判断 DF 与 EF 是否互相垂直？若垂直，请证明； 若不垂直， 请说明理由（沈阳市中考题）思路点拨按题意画出图形，充分运用角的知识证明若DFE90 ，则 DFEF 这一位置关系不变。【例 3 】如图，定长的弦ST 在一个以 AB 为直径的半圆上滑动，M 是 ST 的中点， P 是 S对 AB 作垂线的垂足，求证：不管ST 滑到什么位置，SPM 是一定角（第18 届加拿大数学竞赛题）思路点拨不管 ST 滑到什么位置，弧ST 及SOT 的度数都是定制，从探寻SPM 与SOT 的关系入手。【例4 】如图，扇形 OAB 的半径OA3，圆心角AOB

4、90 ，点C是弧AB 上异于A, B的动点，过点C作CDOA 于点D，作CEOB 于点E ，连接DE ，点G, H在线段DE上，且DGGHHE .（ 1 ）求证：四边形 OGCH 是平行四边形；（ 2 ）当点 C 在弧 AB 上运动时，在 CD , CG, DG 中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度；（3 ）求证： CD 23CH 2 是定值（广州市中考题）思路点拨 对于（ 3 ），设法把 CH 用 CD 的代数式表示，通过计算的方式确定定值。而随着辅助线添加的不同， 为探索不同的解题思路提供了可能， 而解题的关键是对等分点条件的运用。【例 5 】 如图，已知等边ABC 内接

5、于圆，在劣弧AB 上取异于 A、B 的点 M ，设直线AC 与 BM 相交于 K ，直线 CB 与AM 相交于点 N ，证明：线段AK 和 BN 的乘积与 M 点的选择无关（湖北省竞赛题）思路点拨即要证AKBN 是一个定值，在图形中ABC 的边长是一个定值，说明AK BN 与 AB 有关，从图知AB 为ABM 与ANB 的公共边，作一个大胆的猜想，AKBNAB2 ，从而我们的证明目标更加明确以退为进【例 6 】如图 1 ，在平面直角坐标系xOy 中，点 M 在 x 轴的正半轴上， M 交 x 轴于 A, B两点，交 y 轴于 C, D 两点，且 C 为弧 AE 的中点， AE 交 y 轴于 G

6、 点，若点A 的坐标为2,0 ,AE8（ 1 ）求点 C 的坐标；（ 2）连接 MG,BC ，求证： MG BC ；OF（3 ）如图 2 ，过点 D 作 M 的切线，交 x 轴于点 P 动点 F 在 M 的圆周上运动时，PF的比值是否发生变化？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律（深圳市中考题）学力训练基础夯实1. 阅读下列材料，然后解答问题经过正四边形（即正方形）各顶点的圆叫做这个正四边形的外接圆，圆心是正四边形的对称中心，这个正四边形叫做这个圆的内接正四边形如图， 已知正四边形ABCD的外接圆O ， O 的面积为S1 ，正四边形ABCD 的面积为 S2，以圆心O 为顶点作MON，使MON

7、90，将MON绕点O 旋转，OM , ON 分别与O 相交于点E, F，分别与正四边形ABCD 的边相交于点G, H设由 OE, OF ,弧EF 及正四边形ABCD 的边围成的图形（图中的阴影部分）的面积为S .（1 ）当 OM经过点A 时（如图），则S, S1 , S2 之间的关系为：S（用含S1 、 S2 的代数式表示）；（2 ）当 OMAB 时（如图），点G 为垂足，则（ 1）中的结论仍然成立吗？请说明理由；（ 3 ）当MON 旋转到任意位置时（如图），则（1 ）中的结论仍然成立吗？请说明理由（邵阳市中考题）2.如图，在等腰三角形ABC 中， O 为底边BC 的中点， 以 O 为圆心作半

8、圆与AB, AC相切，切点分别为D , E过半圆上一点F作半圆的切线，分别交AB, AC于M,N求证： BMCN 为定值。3 如图，已知等边三角形ABC 的周长为a ，P 为其内任一点，PDAB 于D ，PEBC 于E ，PFAC于 F。求证：（ 1 ） PDPEPF 为定值；（ 2 ）ADBECF为定值。（三明市中考题）4. 已知半径为 R 的 O' 经过半径为 r 的 O 的圆心， O 与 O' 交于 E, F 两点（1 ）如图 1，连接 OO' 交 O 于点 C ，并延长交O'于点 D ，过点 C 作 O 的切线交O 于A, B 两点，求 OA OB 的值

9、；（2 ）若点 C 为 O 上一动点当点 C 运动到 O'内时，如图 2 ，过点 C 作 O 的切线交 O 于， A, B 两点，则 OA OB的值与（ 1 ）中的结论相比较有无变化？请说明理由；当点 C 运动到 O'外时，过点C 作 O 的切线，若能交O 于 A, B 两点，如图3，则OA OB 的值与（ 1）中的结论相比较有无变化？请说明理由（济南市中考题）能力拓展5. 如图，内接于圆O 的四边形ABCD 的对角线AC 与 BD 垂直相交于点K，设圆O 的半径为R ，求证：（1 ）AK2BK2CK2DK2 是定值；（2 ）AB 2BC 2CD 2DA 2 是定值。DOKAC

10、BPAPC6. 如图，已知P 为正方形 ABCD 的外接圆的劣弧AD 上任意一点，求证：为定PB值。7. 如图，已知ABC 为直角三角形， ACB90 , AC BC ，点 A,C 在 x 轴上，点 B 坐标为 3,m m0 ，线段 AB 与 y 轴相交于点D ，以 P 1,0 为顶点的抛物线过点 B, D （ 1 ）求点 A 的坐标（用 m 表示）；（ 2 ）求抛物线的解析式；（3 ）设点 Q 为抛物线上点P 至点 B 之间的一动点， 连接 PQ 并延长交 BC 于点 E ，连接 BQ并延长交 AC 于点 F ，试证明： FC ACEC 为定值（湘潭市中考题）8. 如图所示， 四边形 OAB

11、C 是矩形， 点 A, C 的坐标分别为6,0 , 0,2 ，点 D 是线段 BC 上的动点（与端点 B, C 不重合），过点 D 作直线 y1b 交折线 OAB 于点 E x2（1）记 ODE 的面积为 S ，求 S 与 b 的函数关系式；（2）当点 E 在线段 OA 上时，若矩形 OABC 关于直线 DE 的对称图形为四边形O1 A1 B1C1 ，试探究四边形 O1 A1 B1C1 与矩形 OABC 的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由（广州市中考题）综合创新9. 如图1 所示，以点M1,0为圆心的圆与y 轴，x 轴分别交于点A,B,C, D，直线

12、y3x5 3与M相切于点H ，交y 轴于点E ，交y 轴于点F3 3（ 1 ）请直接写出 OE ， M 的半径 r ， CH 的长；（2）如图 2所示，弦 HQ 交 x 轴于点 P ，且 DP : PH3 : 2 ，求 cos QHC 的值；（3）如图 3所示，点 K 为线段 EC 上一动点 （不与 E,C 重合），连接 BK 交 M 于点 T ，弦 AT 交 x 轴于点 N 是否存在一个常数 a ，始终满足 MN MKa ？如果存在，请求出a 的值；如果不存在，请说明理由（深圳市中考题）10.小明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线yax2 a0 的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O ，两直角边与该抛物线交于 A, B 两点，请解答以下问题：（