贵州省贵阳市普通高中207届高三(上)8月摸底数学试卷(理科)(解析版)

1、2016-20172016-2017 学年贵州省贵阳市普通高中高三(上)8 8 月摸底数学一、选择题：本大题共12 小题,每题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中是符合题目要求的已知集合 A=x|y=logx|0,只有一项1.A.2.A.2(x - 1) , B=x|xV2，则 AAB=(vxv2B. x|1Vxv2C. x|1xv2D. Rz 满足 z+z?i=2，贝Uz 的虚部为(已知 i 为虚数单位，若复数iB.C. - iD.- 13.已知实数xyly 满足 2 宴+yko)0.0500.0100.001ko3.8416.63510.8281 9 . 如 图 ， 四 棱 锥

2、P - A B C D 的 底 面 是 正 方 形 ， P D L 底 面 A B C D 点 E 在 棱 P B 上 .(I)求证：平面 AECL 平面 PDB附:B-AE- C 的余弦值.u20. 已知椭圆 C:匸+二一=1 (a0, b0)的离心率为 ，点 A (0,- 2)与椭圆右焦/ b22点 F 的连线的斜率为二 .3(I)求椭圆 C 的方程；(n)O 为坐标原点，过点 A 的直线 I 与椭圆 C 相交于 P、Q 两点，当OPQ 勺面积最大时, 求直线 I的方程.21. 已知函数 f (x) =xlnx , g ( x)=(其中 a R)x(I)求函数 f (x)的极值；(n)设函

3、数 h (x) =f( x) +g (x) - 1，试确定 h (x)的单调区间及最值；111 n(川)求证：对于任意的正整数n,均有成立.(注：e 为自然对数的底n!数) 请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答， 如果多做，则按所做的第一题计分.选修 4-1 : 几何证明选讲22.如图所示，AC 为OO 的直径，D 为：的中点，E 为 BC 的中点.(I)求证：DE/ AB(n)求证：AC?BC=2AD?CD(I)求圆 C 的直角做标方程;(n)圆 C 的圆心为 c,点P为直线 I 上的动点，求|PC|的最小值.选修 4-5 :不等式选讲24.设函数 f (x) =|x+1| - |

4、2x - 4| ;(I)解不等式 f(x)1;(n)若对？x R,都有 f (x) +3|x - 2| m,求实数 m 的取值范围.还未学选修 4-1、4-4、4-5 的学生可选作此题25.等比数列an的各项均为正数，且 2a3是 a2与 a6的等比中项，2a1+3a2=16.(I)求数列an的通项公式；选修 4-4 :坐标系与参数方程23 .在直角坐标系 xOy 中，直线 Ix 轴的非负半(t 为参数)，以原点 O 为极点,P=2 :-sin0 .(n)设 bn=log2ai+log 2+ +log 2an,求数列的前 n 项和 Sn.2016-20172016-2017 学年贵州省贵阳市普

5、通高中高三（上） 底数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12 小题,每题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中是符合题目要求的1 .已知集合 A=x|y=log2（x - 1） , B=x|xv2，则 AAB=（）A. x|0vxv2 B. x|1vxv2 C. x|1 1, 又 B=x|xv2, AAB=x|1vxv2,故选：B.2.已知 i 为虚数单位，若复数 z 满足 z+z?i=2，则 z 的虚部为（）A. iB. 1C. - i D.- 1【考点】复数代数形式的混合运算.【分析】利用复数的除法的运算法则化简求解即可.【解答】解：复数 z 满足 z+z?i=

6、2 ,2可得 z= . =1 - i .1+1则 z 的虚部为-1.故选：D.yl3.已知实数 x, y 满足出 2 直+y5,则函数 z=x+3y 的最大值为（）I8 8 月摸,只有一项A. 10B. 8C. 5D. 1【考点】简单线性规划.【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可.【解答】下丨三，经过点 A 时,直线寫一丄，的截距最大，此时z 取得最大值,Z=12z+y=5，_.，即 A (1, 3),解：由 z=x+3y，得：-亠，作出不等式对应的可行域,平移直线由平移可知当直线代入 z=x+3y，得 z=1+3X3=10,即目标函数 z=x+3y 的最

7、大值为 10. 故选：A.【考点】双曲线的简单性质.【分析】根据焦点坐标求得 C,再根据离心率求得 a,最后根据 b= r求得 b，双曲线方程可得.【解答】解.已知双曲线的离心率为2,焦点是(-4, 0), (4, 0),则 c=4, a=2, b2=12,22双曲线方程为412故选 A.5.在各项都为正数的等比数列 an中，首项 ai=3,前三项和为 21,则 a3+a4+a5=()A. 33B. 72C. 84D. 189【考点】等比数列的性质.【分析】根据等比数列an中，首项印=3，前三项和为 21,可求得 q,根据等比数列的通项 公式，分别求得 a3, a4和 a5代入 a3+d+a5

8、,即可得到答案.【解答】 解：在各项都为正数的等比数列an中，首项 a1=3,前三项和为 21故 3+3q+3q2=21, q=2,2 2-83+84+85=(a+a2+a3)q =21x2 =84故选 C.6.在边长为 1 的正三角形 ABC中，厂=2 一：？：；=()A.B. C.D. 12444.已知双曲线的离心率为2,焦点是(-4， 0)， ( 4,0)，则双曲线方程为(A.42 21 B.丄1212C102D.2【考点】平面向量数量积的运算.【分析】根据向量数量积的定义求出向量长度和向量夹角进行求解即可. 【解答】解:T =2；,？；= (:一:+ )? = C.+厂)？：r；2+了

9、亡？1113=1+X1x1cos120=1-=,222 4法 2.： =2, D 是 BC 的中点，则在正三角形中，AD广，；,： :BAD=3。，则：-?,=|？| ,；|cos30jx仆容=,y=si nx+_cosx (OWxV2n)取得最大值时，x=(7T2 几几5 兀兀B.C. D .336三角函数中的恒等变换应用./ 0WxV2n，当 k=O 时，x=.6故选：A.&若函数 f (x) =3x+lnx 的图象在点(1, f (1)处的切线与直线 x+ay+1=O 垂直，则 a= ( )A-厶 B . -C. - 4 D. 444【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.【分析

10、】先求出 f (x) =3x+lnx 的导数，再求出函数 f (x) =3x+lnx 的图象在点(1, f (1) 处的切线的斜率，根据两直线垂直可解出a 的值.【解【解答】解：函数 f (x) =3x+lnx 的导数为 f ( x) =3+, f (x)的图象在点(1, f (1)处的切线斜率 k=f( 1) =3+1=4,7函数7TA【考点】【分析】【解答】直接利用辅助角公式化简，再由:,-一_=-i解：y=sinx+_cosx=2(二.：) =2sini_. ( OW x V 2n)求得答案.兀兀(x+.).由y： -1. k-Z,得2T2T . . ! !：直线 x+ay+1=0 的斜

11、率为- ，a由两直线垂直的条件：斜率之积为- 1,可得-丄？4= - 1,a a=4.故选：D.9.已知 m n 为两条不同的直线，a、3为两个不同的平面， 则下列命题中正确的是 ()A.a丄3,m?a?ml 3B. a丄3,m?a ,n?3?mL nC.m/n,n 丄a?mL aD. m?a ,n?a , m/ 3 ,n/ 3?a / 3【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.【分析】在 A 中，m 与3平行、相交或 m?3；在 B 中，m 与 n 相交、平行或异面；由线面 垂直的判定定理得 C 正确；在 D 中，a与3相交或平行.【解答】 解：由 m n 为两条不同的直线，a、3为两个不同

12、的平面，知：在 A 中，a L 3, m?a? m 与3平行、相交或 m?3,故 A 错误；在 B 中，a L 3, n?a, n?3? 口口与 n 相交、平行或异面，故 B 错误；在 C 中，m/ n, n 丄 a ? mX a，由线面垂直的判定定理得，C 正确；在 D 中，n?a, n?a,m/3,n/3?a与3相交或平行，故 D 错误. 故选：C.10.阅读右边的程序，若输出的y=3，则输入的 x 的值为()IF r = 0 THENy = 0ENDtFPRINT yENDV_JA. 1B. 2C. 2 D. 1 或 2【考点】程序框图.【分析】首先判断程序框图，转化为分段函数形式，然后

13、根据 y=3 分别代入三段函数进行计 算，排除不满足题意的情况，最后综合写出结果.【解答】解：根据程序框图分析，-x+4x0如果输出 y 为 3, 则当：-x+4=3 时，解得 x=1，不满足题意；当 x2-仁 3 时，解得：x=2,或-2（舍去） ，综上，x 的值 2故选：B.411.已知定义在 R 上的函数 f ( x)满足 f (- x) =f (x),且当 xv0, f (x) =3x+1,若 a=2,2 1b=4 , c=25 ，则有()A. f(a)vf(b)vf(c)B.f(b)vf(c)vf(a)C. f(b)vf(a)vf(c)D. f(c)vf(a)vf(b)【考点】对数值

14、大小的比较.【分析】当 x 0 时，f (x)=(占 9x+1,再由 c a b，能求出 f (a), f (b), f (c )的 大小关系.【解答】 解：T定义在 R 上的函数 f (x)满足 f (-x) =f (x),且当 xv0, f (x) =3x+1,当 x 0 时，f ( x) = ()x+1 ,342212- a=2=4, b=4 匚，c=25=, c a b, f(c)vf(a)vf(b).故选：D.12.设正实数 x, y, z 满足 x2- 3xy+4y2- z=0,则当取得最小值时，x+2y - z 的最大值为xy( )99A. OB.C. 2D.84【考点】基本不等

15、式.【分析】 将 z=x2- 3xy+4y2代入，利用基本不等式化简即可求得x+2y - z 的最大值.xy【解答】 解： x2- 3xy+4y2- z=0, z=x2- 3xy+4y2，又 x, y, z 为正实数， .=： +- 32三 - 3=1 (当且仅当 x=2y 时取“=”)，xy y xVyK即 x=2y (y0),2 2 x+2y - z=2y+2y -( x - 3xy+4y )=4y - 2y2=-2(y-1)2+2W2. x+2y - z 的最大值为 2.故选：C.、填空题：本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.13.(x2+ )6的展开式中常数项是15 (用

16、数字作答)【考点】二项式定理的应用.【分析】本题可通过通项公式 Tr+i=Granrbr来确定常数项，从而根据常数相中x 的指数幕为1r0 即可确定 C6r(x2)6：一：中 r 的值，然后即可求出常数项是15x【解答】解：设通项公式为，整理得 Qrx123r,因为是常数项，所以 12 -3r=0 ,所以 r=4 ,故常数项是 C64=15故答案为 15.14如图是一个几何体的三视图，若它的体积是3 二，则 a= 3【考点】由三视图求面积、体积.【分析】该几何体是放倒的三棱柱，依据所给数据求解即可.【解答】解：由已知可知此几何体是三棱柱，其高为a,侧面是边长为 2 的正三角形，其面积为 S=

17、广.肓已沢尸二，由题意可得：V=3 =a,解得：a=3.故答案为：3.15.已知正四棱柱 ABC- AQGU (底面是正方形，侧棱垂直于底面)的 8 个顶点都在球 0 的表面上，AB=1, AA1，=2,则球 0 的半径 R= 6n;若 E、F 是棱AA和 DD 的中点，则直 线 EF 被球 O 截得的线段长为.【考点】棱柱的结构特征.iE 锲图锲图博观圈博观圈【分析】由题意可知正四棱柱的体对角线计算球的直径，求出对角线的长可得球的直径， 求出半径，即可求出球的表面积；如图所示， 0P 是球的半径，0Q 是棱长的一半，求出 PQ 的 2 倍即可求出直线 EF 被球 0 截得的线段长.【解答】

18、解：正四棱柱对角线为球直径，AiCf=1 + 1+4,所以R=!，所以球的表面积为 6 n ;2由已知所求 EF 是正四棱柱在球中其中一个截面的直径上的一部分，Q 为 EF 的中点，d= ,R仝，所以 PQ= -=,22242所以 2PQ=故答案为：6 n ;匸16.已知直线 I : y=k （x+1）-与圆 x2+y2= （2 二）2交于A B两点，过 A、B 分别作 I的垂线与 x 轴交于 C D 两点，若|AB|=4,则|CD|=-.【考点】 直线与圆的位置关系.【分析】根据直线与圆相交，圆 x2+y2=（ 2 二）2可知：圆心为（0, 0）,半径 r=2 讥，弦长 为|AB|=4_=2

19、r，说明直线过圆心.求解 k 的值.得到直线 AB 的倾斜角，根据 AOC 和 OBD 是两个全等的直角三角形， 0A=0B=2 -即可求出 0C 和 0D 即可得到|CD|的长度.【解答】解：由圆的方程 x2+y2= （2 頁）2可知：圆心为（0, 0）,半径 r=2 点,弦长为|AB|=4 -=2r ,说明，直线过圆心.则有：0=k （0- 1）-.一，解得 k= 一，直线 AB 的方程为：y=x.设直线 AB 的倾斜角为 B ,则 tan 0 =:, 0 =60那么：|CD|=2|0C|= 二Rt A0C 中: |C0|=cos60故答案为：二三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演

20、算步骤.17.在 ABC 中，角AB、C 的对边分别为 a、b、c,且满足 3asinC=4ccosA，:一； ？= =3.(I)求厶 ABC 的面积 S;(n)若 c=1,求 a 的值.【考点】 正弦定理；平面向量数量积的运算.【分【分析】(I )由 3asinC=4ccosA，利用正弦定理可得3sinAsinC=4sinCcosA , sinC丰0,可得tanA , si nA , cosA .由：. *?汀=3,可得 bccosA=3，解得 bc.即可得出S= bcsinA .2(II )利用(I )及其余弦定理即可得出.【解【解答】 解：(I)T3asinC=4ccosA ,. 3si

21、nAsinC=4sinCcosA , sinC丰0,A43tanA=，可得 sinA= , cosA=355=3, bccosA=3，二 bc=5.114 S= bcsi nA= _=2.ZA(II )由(I )可得：b=5.2 2:a =1+5-2X5X1X=20,5解得 a=2 匚2X2 列联表:男女总计爱好40不爱好25总计4510018.通过随机询问 100 性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下(I)将题中的 2X2 列联表补充完整;(n)能否有 99%勺把握认为断爱好该项运动与性别有关？请说明理由；(川)利用分层抽样的方法从以上爱好该项运动的大学生中抽取6 人组建了“运动达人社

22、”，现从“运动达人设”中选派 3 人参加某项校际挑战赛， 记选出 3 人中的女大学生人数 为 X,求 X 的分布列和数学期望.附：代=- -1(a+b) (c+d) (a+c) (b+d)p (k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【考点】独立性检验的应用.【分析】(I)根据 2X2 列联表数据共享将表中空白部分数据补充完整.(n)求出 K2,与临界值比较，即可得出结论；(川)由题意，抽取 6 人中，男生 4 名，女生 2 名，选出 3 人中的女大学生人数为 X, X 的 取值为 0,1, 2，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和 E (X).【解答】 解

23、：(I)2X2 列联表如下：男女总计爱好402060不爱好152540总计5545100K2=100X(4025 - 20X15)2=-4!：- 99%勺把握认为断爱好该项运动与性别有关；(川)由题意，抽取 6 人中，男生 4 名，女生 2 名，选出 3 人中的女大学生人数为 X, X 的 取值为 0,1, 2,P3广2广1p 1 p 2W 13W211则 P (x=0) = 一，P (X=1)= 补,P (X=2)= 一.FX 的分布列为X012P153515E(X)=0X+1X+2X=1.55519.如图，四棱锥 P- ABCD 的底面是正方形，PDL 底面 ABCD 点 E 在棱 PB

24、上.(I)求证：平面 AECL 平面 PDB(n)当 PD=2AB 且 E 为 PB 的中点，求二面角 B-AE- C 的余弦值.8.25 6.635设平面 ABE 的法向量：/:二2y=0- -x+y4-2i=x+y4-2i=0 01).【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定.【分析】（1 ）由 PD 丄底面 ABCD 可得 PD 丄 AC 利用正方形的性质可得：AC 丄 BD,再利用线面面面垂直的判定与性质定理即可证明.（2）分别以 DA DC DP 为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角公式 即可得出.【解答】（1）证明：TPD 丄底面 ABCD AC

25、?平面 ABCD PD 丄 AC,底面 ABCD 是正方形， AC 丄 BD,又 PDABD=D ACL 平面 ABCD又 AC?平面 AEC平面 AECL 平面 PDB(2)解：分别以 DA DC DP 为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，不妨设 AB=2,则 D (0 , 0 , 0), A (2 , 0 , 0) , B (2 , 2 , 0) , P ( 0 , 0 , 4) , E (1 , 1 , 2),:匸(0 ,2 , 0) , ,.=(- 1 , 1, 2),取平面 ABC 的 一个法向量为：.匸 f :AE可得 1面角 B- AE- C 的余弦值为 牛B20.已知

26、椭圆 C: +=1 (a0, b0)的离心率为二，点 A (0,- 2)与椭圆右焦2 2a b心点 F 的连线的斜率为=(I)求椭圆 C 的方程；(n)O 为坐标原点，过点 A 的直线 I 与椭圆 C 相交于 P、Q 两点，当OPQ 勺面积最大时， 求直线I 的方程.【考点】椭圆的简单性质.【分析】(I)设 F(c,0)，利用直线的斜率公式可得关于 c 的方程，求出 c,由离心率 e= =_,求得 a，由 b2=a2- c2,求得 b 的值，即可求得椭圆 C 的方程；(n)设 P (xi, yi), Q(X2, y2),由题意可设直线 I 的方程为：y=kx -2，与椭圆的方程联 立可得(1+

27、4k2) x2- 16kx+12=0 ,求出方程的根，从而表示出 |PQ|以及点 O 到直线 PQ 的距 离，从而表示出OPQ再利用基本不等式的性质即可得出直线I 的方程.【解答】解：(1)设 F (c, 0).=卓，解得 c=.二c 3又离心率为 e=,a 2由 b2=a2- c2,解得：a=2, b=1,/ 2椭圆 E 的方程为+y2=1.4(2 )设 P (xi, yi), Q( X2, y2),由题意可设直线 I 的方程为：y=kx - 2，与椭圆方程联立,整理得：(1+4k2) x2- 16kx+12=0，当 =16 (4k2- 3 ) 0 时，即 k2时，V4k2- 3 |PQ|=

28、 _,4k2+ l2点 O 到直线 I 的距离 d= 伯+1设订J-：=t 0，贝 y 4k2=t2+3,-SAOP=.?d?|- 4t一-OPQ= W 1 , -心当且仅当 t=2，即=2，解得 k= -时取等号，且满足厶 0, OPQ 的面积最大时，直线 I 的方程为：y= 土丄亠 x - 2.221.已知函数 f (x) =xlnx , g ( x)=(其中 a R)(I)求函数 f (X)的极值；(n)设函数 h (x) =f ( x) +g (x) - 1，试确定 h (x)的单调区间及最值；111n(川)求证：对于任意的正整数n,均有成立.(注：e 为自然对数的底n!数)【考点】利

29、用导数研究函数的极值；导数的运算.【分析】(I)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；(n)求出 h (x)的导数，通过讨论 a 的范围求出函数的单调区间，从而求出函数的极值 即可；1p1p(川)令 a=1，得到厶1 - Inx=ln ，亦即. 一，分别取 x=1 , 2，n,相乘即可.【解答】 解：(I)f(x)=xl nx, (x0),f(x)=1+I nx,令 f( x) 0，解得：x-,令 f( x)v0,解得：0vxv,ee-f (x)在(0,二)递减，在(二，+8)递增，ee f (x)的极小值是 f (一)=-;e e(n)h(x)=f

30、(x)+g(x) -1=lnx+二,(x0),x1 a x_ah( x)=-=1a 0, h (幻在(0, +)递增，无最值，2a 0 时，令 h( x) 0,解得：xa，令 h( x)v0，解得：0vxva, h (x)在(0, a)递减，在(a, +)递增， h (x)min=h (a)=1+lna ,(川)取 a=1，由(n)知， h (x) =lnx+ f (1) =1,s1e_LE二1 - lnx=ln 一，亦即 xxexx 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为P=2 =sin0. e分别取 x=1 , 2,，n 得 _ ,e 1111 ne叮： .、成立.nl请考生

31、在 22、23、24 三题中任选一题作答， 如果多做，则按所做的第一题计分.选修 4-1 : 几何证明选讲22.如图所示，AC 为OO 的直径，D 为的中点，E 为 BC 的中点.(I)求证：DE/AB(H)求证：AC?BC=2AD?CD【考点】与圆有关的比例线段.【分析】(I )欲证 DE/ AB,连接 BD,因为 D 为的中点及 E 为 BC 的中点，可得 DEIBC, 因为 AC 为圆的直径，所以/ ABC=90，最后根据垂直于同一条直线的两直线平行即可证得 结论；AC AD(II )欲证 AC?BC=2AD?CD 专化为 AD?CD=AC?C 再转化成比例式士 =三.最后只须证明CD

32、CE DA3AECD 即可.【解答】证明：(I)连接 BD 因为 D 为瓦的中点，所以 BD=DC因为 E 为 BC 的中点，所以 DEL BC.因为 AC 为圆的直径，所以/ ABC=90 ,所以 AB/ DE(H)因为 D 为i的中点，所以/ BAD=/ DAC又/ BAD 玄 DCB 贝 DAC 玄 DCB又因为 ADLDC DEL CE,所以 DASAECD所以些=等,AD?CD=AC?C 臣 AD?CD=AC?2CECD CE因此 2AD?CD=AC?BC选修 4-4 :坐标系与参数方程23.在直角坐标系 xOy 中，直线 I 的参数方程为* l(t 为参数)，以原点 0 为极点,V3 1将以上各式相乘，得:x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为P=2 =sin0.r r 2 2x 1,无解,4故不等式的解集是.,4;(n)若对？xR,都有 f(x)+3|x-2|m,即若对? x R,都有 |x+1|+|x- 2| m而|x+1|+|x- 2| |x+1 - x+2|=3 ,故 mv3.还未学选修 4-1、4-4、4-5 的学生可选作此题(I)求圆 C 的直角做标方程；(n)圆 C 的圆心为 c