排队问题-数学建模

1、第九届“新秀杯”校园数学建模竞赛摘要医院有一位医生值班， 经长期观察， 每小时平均有 4 个病人，医生每小时可 诊断5人，病人的到来服从Poisson流，诊断时间服从负指数分布。根据题目所 给信息，可以很明显看出本题是单服务台的排队模型， 因此需要用到排队理论来 求解这些问题。本题需要用到排队理论中最简单的 M/M/1 s / %模型，通过对病 人到来及诊断时间的统计研究，得出这些数量指标的统计规律。针对问题一，通过分析任意时刻t内到达的病人数为n的概率，使用数学期 望的方法，可以得出平均病人数及等待的平均病人数。由题目给出条件病人的 到来服从参数为入的泊松分布，诊断时间服从参数为卩负指数分布

2、，可以得出病 人的平均看病所需时间及病人平均排队等待时间。以及分析该医院的服务强度， 可以粗略的分析该科室的工作状况。针对问题二，在问题一的条件基础下， 要求 99%的病人有座位。可以先假设 出座位个数， 由于每个时刻病人到来的个数是随机且独立， 不可能同时到达两批 病人，考虑到来病人的个数与座位之间的关系， 考虑病人数不同时， 有座位的概 率不同。所以用独立事件概率的加法可以得出概率需要大于等于 0.99，从而反推 出所需座位数。针对问题三， 分析问题可得， 需要求出单位平均损失可以通过题目每小时病 人到来数可以得出平均每天医院到来数。 根据问题一结论， 可以得出平均看病所 花时间，从而求出

3、每天的平均损失。针对问题四， 只需要利用问题一， 问题二， 问题三的结论并改变医生每小时 诊断时间，嵌套进来就能求解。关键字：排队理论M/M/1 /s/s模型 数学期望Poisson流 负指数分布一、问题提出某单位医院的一个科室有一位医生值班， 经长期观察，每小时平均有 4 个病 人，医生每小时可诊断5人，病人的到来服从Poisson流，诊断时间服从负指数 分布。(1) 试分析该科室的工作状况：(2) 如要求 99%以上的病人有座，该科室至少设多少座位？(3) 如果该单位每天 24 小时上班，病人因看病 1 小时而耽误工作单位要损失 30 元，这样单位平均损失多少元？(4) 如果该科室提高看病

4、速度，每小时平均可诊断 6 人，单位每天可减少损失多 少？可减少多少座位？二、模型的准备根据题目所给信息， 可以很明显看出本题是单服务台的排队模型， 日常生活 中存在大量有形和无形的排队或拥挤现象， 如旅客购票排队， 市内电话占线等现 象。该模型显著特点是： 服务设施是一个或者多个， 需要被服务的人是无限制的， 因此被服务者需要等待一段时间， 因此会出现排队现象， 被服务者的到来是完全 随机的。因此排队论又称为随机服务系统理论， 它是通过对服务对象到来及服 务时间的统计研究，得出这些数量指标 (等待时间、排队长度、忙期长短等 )的统 计规律，然后根据这些规律来改进服务系统的结构或重新组织被服务

5、对象， 使得 服务系统既能满足服务对象的需要，又能使机构的费用最经济或某些指标最优。排队系统又称服务系统。 服务系统由服务机构和服务对象构成。 排队系统包 括三个组成部分： 输入过程：考察的是顾客到达服务系统的规律。 它可以用一定时间内顾客到达数 或前后两个顾客相继到达的间隔时间来描述， 一般分为确定型和随机型两种。 本 题是病人随机到达且服从泊松分布。排队规则： 分为等待制、损失制和混合制三种。当顾客到达时，所有服务机构都 被占用，则顾客排队等候，即为等待制。在等待制中，为顾客进行服务的次序可 以是先到先服务， 或后到先服务， 或是随机服务和有优先权服务。 如果顾客来到 后看到服务机构没有空

6、闲立即离去， 则为损失制。 有些系统因留给顾客排队等待 的空间有限， 因此超过所能容纳人数的顾客必须离开系统， 这种排队规则就是混 合制。本题中不考虑优先制，而是先到先服务，且队伍可以无限长，不考虑容量 问题。服务机构： 可以是一个或多个服务台。 多个服务台可以是平行排列的， 也可以是 串连排列的。 服务时间一般也分成确定型和随机型两种。 而随机型服务时间 v 则 服从一定的随机分布。 本题的服务台 （医生 ）是有限且唯一的， 诊断时间是随机的， 且服从负指数分布。排队论主要研究排队系统运行的效率， 估计服务质量。 因此，研究排队问题， 首先要确定判断系统运行优劣的基本量化指标， 并求出这些指

7、标的概率分布和数 学特征。要研究的系统运行指标主要有：1、排队模型的表示X/Y/Z/A/B/Cx顾客相继到达的间隔时间的分布；Y服务时间的分布；M 负指数分布、D确定型、Ek k阶爱尔兰分布；Z服务台个数；A系统容量限制（默认为 ）；B顾客源数目（默认为 ）；C服务规则（默认为先到先服务FCFS。2、排队系统的衡量指标队长Ls系统中的顾客总数；排队长Lq队列中的顾客数；逗留时间Ws顾客在系统中的停留时间；等待时间Wq顾客在队列中的等待时间；忙期服务机构两次空闲的时间间隔；服务强度p ；稳态系统运行充分长时间后， 初始状态的影响基本消失， 系统状态不再随时间 变化。3、到达间隔时间与服务时间的分

8、布泊松分布；负指数分布；爱尔兰分布；Poisson分布，是一种统计与概率学里常见到的离散概率分布，由法国数学家西 莫恩德尼泊松在1838年时发表。泊松分布的参数是单位时间（或单位面积） 内随机事件的平均发生率。泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次 数。泊松分布的期望和方差均为入。负指数分布 又称指数分布。泊松事件流的等待时间（相继两次出现之间的间隔） 服从指数分布。 指数函数的一个重要特征是无记忆性。 这表示如果一个随机变量 呈指数分布，当s,t>0时有P（T>t+s|T>t）=P（T>s。即，如果T是某一元件的寿命， 已知元件使用了 t小时，它总共使用至少s+

9、t小时的条件概率，与从开始使用时 算起它使用至少s小时的概率相等。如果指数分布的参数为入，则指数分布的期 望为1/入。根据以上资料， 解决本题的科室的工作状态问题， 只需要运用排队论中最简单 的单服务台，即M/M/1/s/%模型即可。下面通过对该问题进行排队论模型嵌套 进行求解。三、模型假设1. 首先确定医生的接待能力、病人的客源为无限大，且排除医生，病人的心理 因素及插队等意外情况的发生。2. 排队只排一排，根据先到先得的原则，且每次医生只看一个病人，且每个病 人肯定能得出诊断。3. 假设每段时间到来的病人数基本稳定，不会出现剧增和很长一段时间无人看 病的问题。四、符号说明符号意义n任意时刻

10、t内到达的病人数（个）Ls平均病人数（个）Lq等待的平均病人数（个）Ws病人的平均看病（包括等待时间）时间(h)Wq病人平均排队等待时间（h）入单位时间内到达病人的平均数（个/h）单位时间内能诊断完的病人的平均数(个 /h )m座位数（个）T看病耽误的时间（h）Q损失的钱（元）p服务强度五、模型建立与解决：问题1模型建立与解决问题1模型建立：已知病人的到来服从Poisson流，即服从参数为入的泊松分布，其中入表示 单位时间内到达病人的平均数。医生诊断时间服从参数为卩的负指数分布，其中卩表示单位时间内能诊断完 的病人的平均数。1）设任意时刻t内到达的病人数为n的概率为Pn（t），病人的到来服从泊

11、松分布， 因此单位时间内病人的到达数服从 XP（入），则时间间隔 t为内病人到来的 数目为GP（入 t）。则厶t内1个病人到达的概率为P（G=1）=入 t*e-zt=X t+oAt，反之没有病人到达的概率为 P（G=0）=1-X t*e-8=1-入 t+oAt2）由于医生的诊断时间YE），故病人被诊断时，1个病人被诊断完的概率为PYC A t =1-= t + o(A t)，没有被诊断完的概率为 1-小t + o(A t)。3) 在t+A t时刻考虑n个病人到来的概率Pn(t+A t), t足够小的情况下，有以 下4种情况： t时刻系统中有n个病人到来，没有病人到来且没有病人诊断完毕，其概率为

12、：1-入 At+o(A t) 1-卩 At+o(At)= (1-入 At-卩 A t)+o(At); t时刻系统中有n+1个病人到来，没有病人到来且有1个病人诊断完毕， 其概率为：1-入 At+o(At)卩 A t+o(At)=卩 A t+o(At); t时刻系统中有n-1个病人到来，有1个病人到来且没有病人诊断完毕， 其概率为：入 At+o(A t)1-卩 At+o(At)=入 At+o(A t); 其他状态的概率为o(A t)。由于四种情况相互独立且不可能同时发生，所以得到系统中有n个病人到来的概率Pn(t+ At)满足：Pn(t+At)= Pn(t)(1-入 At-卩 A t)+Pn+1

13、(t)卩 At+Pn-1(t)入 At+ 0(A t)移项整理，两边同除以A t，得：PnftlAt)+ Pn(t)oat=入 Pn-1(t)+ 卩 Pn+1(t)-(入 + 卩)Pn(t)+AtAt令A t 0,得：dPn(t)=入 Pn-1 (t)+ 卩 Pn+1(t)-(入 + I )Pn(t) n=1， 2 dt当n=0时，因为：F0(t+A t)= Po(t)(1-入 At)+ R(t)(1-入 At)卩 A t+ o(At)所以有：dPn(t)=-入 Po(t)+ 卩 P1(t)对于稳态情形，与t无关，其导数为零。因此，得到：'+ 卩吒+1 一 (入 + U )«

14、 二 °Tl > 1问题1模型求解:（'Ri-i + 卩i（入 + u）E 二 n>l-i?o+ pIi = O这是关于Pn的差分方程，也反映出了系统状态的转移关系，即每一状态都 是平衡的，求解得：片=（入/卩）堆，递推可得Pn=（入/卩）d （n1） 由概率的性质知/ =1，将上式代入入/卩<1时可得到堆=1 -入/卩， Pn=（1- X / 口）（入 / 口 ）n因为病人到达规律服从参数为 入的泊松分布，诊断时间服从参数为卩的负指 数分布，其期望值就分别为X，1/ 。所以入表示单位时间内平均到达的病人数， 卩表示单位时间内能诊断完的病人数。 如果令p =

15、 X /卩，这时p就表示相同时间 内病人到达的平均数与能被诊断的平均数之比，它是刻画诊断效率和医院利用程 度的重要标志，称p为服务强度。上面在p <1的条件下得到了稳定状态下的概 率Pn, n=0，1, 2,其实，如果p >1，可以证明排队长度将是无限增加的，即 使p =1的情况下，Po（t）也是随时间而变化的，系统达不到稳定状态.因此，这里 只讨论p <1时情况，从上面的推导知：Pn=（1-p ） p n n=1,2 则服务系统的运行指标为：（1）队长（平均病人数）：由于系统的状态为n时即系统中有n个病人，由期望 的定义得： 排队长：（等待的平均病人数）0&00切二

16、仇1）&- l）pn（l -p） = p2 /（I - p）n=ln=l=X / （ （-： X）可以证明，病人在系统中看病时间服从参数为片 的负指数分布。因此，有（3）系统中病人的平均看病时间：叫二 1/d 系统中病人的平均等待时间：叫1/!=丄一£： 题目中每小时平均有4个病人，医生每小时可诊断5人，病人的到来服从Poisson“A 4流，诊断时间服从负指数分布。可以得到/|15医院平均病人数：（人）医院等待的平均病人数:-:-（人）病人的平均看病（包括等待时间）时间：；_ h病人平均排队等待时间：匚二二C%医院当中没有病人的概率为：仁- =0.2病人到来不需要等待的概率

17、即是医院中没有病人的概率 问题一结论：由上结果可得，病人到来不需要等待的概率为0.2,医院平均病人数为4人, 医院等待的平均病人数为3.2人，病人的平均看病（包括等待时间）时间为 1h， 病人平均排队等待时间为0.8h。问题2模型建立与解决问题2模型建立： 要求99%以上的病人有座，设现在医院内有 m个座位，则可以设P=（医院总人数=m） =0.99考虑单位时间平均人数为4人，则m=4 考虑病人数为0人时，人数=m,都有座位，发生这种情况下的概率为Po 考虑病人数为1人时，人数=m,都有座位，发生这种情况下的概率为Pi 考虑病人数为2人时，人数v=m,都有座位，发生这种情况下的概率为P2考虑病

18、人数为m人时，人数=m,都有座位，发生这种情况下的概率为Pm由于在t时间内，这些情况相互独立，不可能同时发生，则可以得出P=（医院总人数=m） = F0+P1+ P2 +弔=0.99,即卩mmpn> 0.99芬 £(1p)n=0 n=l问题2模型求解:mmn=0 n=lpn> 0.99即 1->=0.99mflP < 0.01m>=-1In?m>=20问题二结论:由以上结果可得，座位至少要有 20个，才能保证99 %的病人有座位 问题三模型建立与解决：该单位24小时上班，病人因看病1小时而耽误工作单位要损失30元，需要 求单位平均损失多少元设每天平

19、均会有N个病人，因看病耽误的时间为 T，损失的钱为Q 由题目所给条件可得平均每天会有 N=24*4=96个病人由问题一结论可得在每个病人在看病耽误时间为1个小时则每天平均会耽误工作时间为 T=96*仁96h每天单位平均损失Q=N*T*Ws=96*30=2880元问题三结论：每天单位平均损失2880元问题四模型建立与解决：问题四模型建立：如果该科室提高看病速度，每小时平均可诊断6人，需要求单位每天可减少 损失多少，可减少多少座位由问题一模型可得医院平均病人数:医院等待的平均病人数：.-'41 -fi病人的平均看病（包括等待时间）时间：I-4.-.每天单位平均损失为Q2=N*T2*WS2保

20、证99%的病人有座位的最少座位数满足n=0 n=l问题四模型求解:P2X 4一 |1一6医院平均病人数:医院等待的平均病人数:43病人的平均看病（包括等待时间）时间：上厂hth 1病人平均排队等待时间：，.h“ k-A 3每天单位平均损失为Q2=N*T2*Ws2=96*0.5*30=1440元工吨(1n=0n-1-P)P> 0.99即1->=0.99mflP < 0.01MMmi>=-1InPmi>=11mi最小为11个 Q=Q-Q=2880-1440=1440元 m=m-m1=20-11=9 个问题四结论：单位每天可减少损失1440元，可减少9个座位六、模型推广

21、在实际工作中，不可能医院部门总是单一的一个医生工作，因此可考虑有多 个医生共同工作的工作情况。前提假设同M/M/1/g/%,病人到来为泊松流，平均到达率为入，各医生的 诊断时间满足负指数分布，而各自医生的工作是相互独立的（不搞协作） ，单个 医生的平均诊断率为 仏则整个医院的平均诊断率为 Cy当n >C）或n当*C）则系统的服务强度为p =入/Cy ,当p >1时，系统就会出现排队现象。类似地，可以得到系统状态概率的平衡方程(卩P1 =久Po' + 1)唱+1+必_1二0 + 矽此,(l<n<C)iQ+l += U+ 矽)即> C)其中,.,且r = &l

22、t; L，由递推关系可得系统状态概率1 A 11 Afc=O1 A 亦) EC1 AC!CVnP° (n > C)系统的运行指标为4-Lq1 Ls%嗔肌予+厂丁考虑更复杂情况，病人排队队伍不可能无限长，以及各个服务台之间，理论上可以相互协助。在实际生活中，很难出现假设中存在的简单情况， 需要更进一步的建模和求解，会使得整个模型变得臃肿复杂，因此暂时不做讨论。七、参考文献1 马丽琼，薛玉娟，概率论与数理统计简明教程，机械工程出版社，2014.92 姜启源，谢金星，叶俊，数学模型(第四版)，高等教育出版社，2011.13 王莹，排队论模型求解就医排队问题，1672-3791(201

23、0)06(b)-0238-02怎样写作数学建模竞赛论文如何建立数学模型一建立数学模型的涉骤和方法建立数学模型没有固定的模式，通常它与实际问题的性质、建模的目的等有关。当然，建模的过程也有共性，一般说来大致可以分以下几个步骤：1. 形成问题要建立现实问题的数学模型， 首先要对所要解决的问题有一个十分明晰的提 法。只有明确问题的背景，尽量弄清对象的特征，掌握有关的数据，确切地了解 建立数学模型要达到的目的，才能形成一个比较明晰的 “问题 ”。2. 假设和简化根据对象的特征和建模的目的， 对问题进行必要的、 合理的假设和简化。 现 实问题通常是纷繁复杂的，我们必须紧紧抓住本质的因素 (起支配作用的因

24、素 )， 忽略次要的因素。此外，一般地说，一个现实问题不经过假设和简化，很难归结 为数学问题。因此，有必要对现实问题作一些简化，有时甚至是理想化3 .模型的构建根据所作的假设， 分析对象的因果关系， 用适当的数学语言刻画对象的内在 规律，构建现实问题中各个量之间的数学结构，得到相应的数学模型。这里，有 一个应遵循的原则：即尽量采用简单的数学工具。4. 检验和评价 数学模型能否反映厡来的现实问题，必须经受多种途径的检验。这里包括：(1) .数学结构的正确性，即有没有逻辑上自相矛盾的地方； (2).适合求解，即是否 有多解或无解的情况出现； (3).数学方法的可行性，即迭代方法是否收敛，以及 算法

25、的复杂性等。而更重要和最困难的问题是检验模型是否真正反映厡来的现实 问题。模型必须反映现实，但又不等同于现实；模型必须简化，但过分的简化则 使模型远离现实，无法解决现实问题。因此，检验模型的合理性和适用性，对于 建模的成败是非常重要的。 评价模型的根本标准是看它能否准确地反映现实问题 和解决现实问题。此外，是否容易求解也是评价模型的一个重要标准。5. 模型的改进模型在不断检验过程中经过不断修正， 逐步趋向完善， 这是建模必须遵循的 重要规律。 一旦在检验中发现问题， 人们必须重新审视在建模时所作的假设和简 化的合理性，检查是否正确刻画对象内在的量之间的相互关系和服从的客观规 律。针对发现的问题

26、作出相应的修正。然后，再次重复上述检验、修改的过程， 直到获得某种程度的满意模型为止。6. 模型的求解经过检验，能比较好地反映厡来现实问题的数学模型， 最后将通过求解得到 数学上的结果；再通过 “翻译 ”回到现实问题，得到相应的结论。模型若能获得解 的确切表达式固然最好， 但现实中多数场合需依靠电子计算机数值求解。 电子计 算机技术的飞速发展，使数学模型这一有效的工具得以发扬光大。数学建模的过程是一种创造性思维的过程， 对于实际工作者来说， 除了需要 具有想象力、洞察力、判断力这些属于形象思维、逻辑思维范畴的能力外，直觉 和灵感往往不可忽视，这就是人们对新事物的敏锐的领悟、理解、推理和判断。

27、它要求人们具有丰富的知识， 实惯用不同的思维方式对问题进行艰苦探索和反复思考。这种能力的培养要依靠长期的积累此外，用数学模型解决现际问题，还应当注意两方面的情况。 一方面，对于不同的实际问题，通常会使用不同的数学模型。但是，有的时 候，同一数学模型，往往可以用来解释表面上看来毫不相关的实际问题。另一方面，对于同一实际问题要求不同，则构建的数学模型可能完全不同。二 写作数学建模竞赛论文应注意的问题：1. 论文格式 论文的封面：题目 参赛队员： 指导教师：单位： 论文的第一页是摘要，第二页开始是论文的正文，论文要有以下几方面的内 容：一. 问题的提出二. 问题的分析三. 模型的假设四. 模型的建立

28、五. 模型的求解六. 模型的检验七. 模型的修正八. 模型的评估九. 附录以上各部分内容应该都是要具备的， 但有些步骤可以合并在一起。例如：问 题的提出与问题的分析，模型的假设与模型的建立，模型的检验与模型的修正等。 下面就每一步以及建模过程中应注意的几个问题作一简要介绍。2. 审题：赛题一般有两道 (研究生的竞赛有 4 道题)，我们可以从中任选一道， 这就面临选哪道题合适的问题。因此，首先必需弄清题目的意义。数学建模的题 目有时很长，有时很复杂。不易弄懂它的意义，一般要用几个钟头的时间才能弄 清楚它的含义。因此我们要求：(1) . 深刻理解题意(2) . 弄清题目的实际背景(3) 正确选择题

29、目，根据自身的特长和优势作出决定。要注意不要被题目的 繁长的叙述哧住，碰到长的题目要有耐心，要仔细的分析题目的各部分内容、条 件和要求。3. 当选定题目后，接下来就应该是对题目进进一步的分析。下面的几项工 作是必需要做的：(1) . 在弄清问题的背景下，说清事情的来龙去脉。(2) . 列出必要的数据，题目所给的数据往往是不够的，还要寻找题目以外的 数据。(3) . 列出和题目相关的各种条件和变量，分清各变量之间的主从关系。(4) . 给出研究对象的关键信息内容。4 . 在分析问题的基础上，提出合理的假设 模型是在假设的前提下建立起来的。对情景的说明不可能也不必要提供问题 的每一个细节。 由题目

30、所提供的假设来建立数学模型还是不够的， 还要补充一些 假设。假设是建立数学模型很关键的一步， 关系到模型的成败和优劣。 所以应该 仔细地分析实际问题， 从大量的变量中筛选出最能表现问题本质的变量， 并简化 它们的关系。 这部分内容就应该在论文的问题的假设部分中体现。 由于假设不是 实际问题直接提供的， 它因人而异， 所以，在撰写这部分内容时要注意以下几个 方面：(1) 论文中的假设要以严格、确切的数学语言来表达，使读者不致产生任何 曲解。(2) 所提出的假设确实是建立数学模型所必需的，与建立数学模型无关的假 设只会扰乱读者的思考(3) 假设应该是合理的；怎样的假设才是合理的呢？ a .假设应合

31、乎生活常识。 b. 假设不能与已知的科学定律相悖。 c. 假设必需是对建模有用的。 d. 尽量使用 数学的语言。 e. 假设不要超出题目要求的范围。假设这一步是数学建模的一个难点，它关系到建模的成败和优劣，数学建模 的假设就是要发挥每个人的想象力和创造力， 提出适当的、 合理的、 有创新的见 解。如果这一步成功了，那么你的整个建模过程也就成功了一半。5 在假设的基础上下一步当然就是模型的建立。在建立模型之前要引进变量 及其记号。每个字母所表达的确切含义。经过抽象，确切表达各变量之间的关系，用一定的数学方法，建立起方程式 或归纳为其它形式的数学关系式， 如图形、表格等。 在建模过程中要注意以下几

32、 个问题：(1) 要用分析和论证的方法，让读者清楚地了解得到建模的过程。(2) 上下文之间切忌逻辑推理过程中跃度过大，影响论文的说服力。(3) 需要推理和论证的地方，应该有推导过程且应该力求严谨。引用现成定 理时，要先验证满足定理的条件。 论文中用到的各种数学符号， 必须在第一次出 现时加以说明。6. 模型的求解 把实际问题归结为一定的数学问题后，就要求解或进行分析，数学模型的求 解多数是数值求解。 在求解时应对计算方法有所说明。 使用何种数学软件， 给出 计算程序 (通常以附录形式给出 )。有时还用图形或表格形式表出计算结果。有些 模型还要作稳定性或灵敏度分折。7. 模型的检验数学模型未必都

33、是正确的，这就需要检验，如何检验(1) 检验是否符合生活常识；(2) 用己给的数据检验；(3) 用分析推理检验。8. 模型的评估(1) 模型的优缺点 对自已建立的模型要有正确的评价，既要实事求是，不 要过分谦虚，也不要过分誇张。(2) 模型的推广 ,模型的适用范围。 对所作的模型，可以作多方面的讨论，例如可以就不同的情景，探索模型将 如何变化；也可以根据实际情况，改变文章中的某些假设，指出由此引起数学模 型的变化。还可以用不同的数值方法进行计算， 并比较所得结果。甚至可以拓广 思路，考虑由于建模方法的不同选择而引起的变化。9. 论文写作中语言表述应注意的问题。语言是构成论文的基本元素，数学模型

34、论文的语言与其他科学论文的语言一 样，要求达意、精炼，不要把一个句子写得太长，使人不甚辛读。语言中应多用 客观陈述句，切忌使用你、我、他等代名词和带主观意向的语句。要特别注意以 下几点：(1) 语言要简炼清晰，不要用含糊不清、莫临两可的语言。(2) 不要随意造句。(3) 不要用倒装句(4) 要通俗易懂10. 如何写论文摘要竞赛论文要求写论文摘要，摘要放在论文写完最后写。摘要不是提纲，摘要 应把论文的主要思想方法、结论和模型的特色讲清楚。让人看到论文的新意。摘 要是给读者和评阅专家的第一印象，直接影响到能否获奖的重要因素。从 98 年 开始，由于参赛规模的不断扩大，为了节省阅卷时间和质量，规定论

35、文摘要写祥 细一些(研究生的也一样 )。即评阅论文时，先看摘要，如果看了你论文的摘要 , 认 为这篇文章不值得参加评奖，则就被打掉。因此希望大家要十分重视论文摘要的 写作。最后论文要用计算机打印出来，装订好连同电子版上缴，论文一律用A4打印。数学建模竞赛为大学生 (研究生)提供了一个表达聪明才智的舞台。你们有这样 的机会应该感到高兴。希望大家发扬赶想、赶干，勇于创新，不畏困难的精神。 多用形象思维的方法。什么是形象思维，李大潜院士举了两个非常生动有趣的例子： 一个是毛主席 诗词的“渔家傲”词的最后一句“换起工农千百万，同心干，不周山下红旗乱 ”用了 共工头触不周山的故事。毛主席的原词是：渔家傲

36、 反第一次大“围剿” 一九三一年春万木霜天红烂漫，天兵怒气冲霄汉。 雾满龙冈千嶂暗，齐声唤，前头捉了张辉瓒。 二十万军重入赣，风烟滚滚来天半。 唤起工农千百万，同心干，不周山下红旗乱。关于共工头触不周山的故事： “淮南子 .天文训 ”：“昔者共工与颛顼 （zhuanxu） 争为帝，怒而触不周之山，天柱拆，地维绝。天倾西北，故日月星辰移焉；地不 满东南，故水潦尘埃归焉。”6毛按：诸说不同。我取淮南子.天文训，共工是胜利的英雄。你看 怒而触不周之山，天柱拆，地维绝。6”他死了没 有呢？没有说。看来是没有死，共工是确实胜利了。 毛主席亲自加了按语， 说他用了维南子.天文训 的典故：“怒而触不周山， 天柱折，地维绝 ”。毛主席写道： “他死了没有呢？没有