2004年考研数学三真题与解析

1、WORD格式2004 年考研数学三真题一、 填空题 此题共6 小题，每题4 分，总分值24 分 . 把答案填在题中横线上(1)假设 limsin xb)5，那么 a =_， b =_.(cos xx 0 exa(2)设函数 f (u , v)由关系式 f xg(y) , y = x + g(y)确定，其中函数g(y)可微，且 g(y)0，那么2 f.uvxex211设 f (x),2x2 ，那么2(3)1 f (x 1)dx.1, x122(4)二次型 f ( x1 , x2 , x3 )( x1x2 )2( x2x3 ) 2(x3x1 ) 2的秩为.(5)设随机变量 X 服从参数为的指数分布

2、 ,那么PXDX _.(6)设总体X服从正态分布N ( , 2 ),总体Y服从正态分布N ( , 2 ),X, X2,Xn1和Y,Y,Y1211 2n2分别是来自总体X 和 Y 的简单随机样本,那么n12n22( XiX )(YjY)Ei 1n1n2j1.2二、选择题 此题共 6 小题，每题 4 分，总分值 24 分 . 每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内函数 f (x)| x | sin( x2)(7)x( x1)( x2)2在以下哪个区间内有界 .(A)( 1,0).(B) (0 , 1).(C) (1 , 2).(D) (2 , 3).10 ，那

3、么(8)设 f (x)在 (, +)内有定义，且limf (x) a ，g( x)f ( x) , xx0, x0(A) x = 0 必是 g(x)的第一类连续点 .(B) x = 0 必是 g(x)的第二类连续点 .(C) x = 0 必是 g(x)的连续点 .(D) g(x)在点 x =0 处的连续性与a 的取值有关 .(9)设 f (x) = |x(1x)|，那么(A) x = 0 是 f (x)的极值点，但 (0 , 0) 不是曲线 y = f (x)的拐点 .(B) x = 0 不是 f (x)的极值点，但 (0 , 0)是曲线 y = f (x)的拐点 .(C) x = 0 是 f

4、 (x)的极值点，且 (0 , 0) 是曲线 y = f (x)的拐点 .(D) x = 0 不是 f (x)的极值点， (0 , 0) 也不是曲线y = f (x)的拐点 .(10) 设有以下命题：(1) 假设(u2n 1 u2n ) 收敛，那么un收敛.n 1n 1- 1 -专业资料整理WORD格式(2)假设un收敛，那么un1000 收敛.n 1n 1(3)假设 limun11，那么u 发散.nunnn 1(4)假设(unvn ) 收敛，那么un，vn都收敛.n 1n 1n 1那么以上命题中正确的选项是(A) (1)(2).(B) (2) (3).(C) (3) (4).(D) (1)

5、(4).(11) 设f ( x)在 a , b 上连续，且f ( a)0,f (b)0 ，那么以下结论中错误的选项是(A)至少存在一点x0( a,b) ，使得 f ( x0 ) > f (a).(B)至少存在一点x0(a, b) ，使得 f (x0 ) > f (b).(C) 至少存在一点 x0 (a, b) ，使得 f ( x0 ) 0.(D) 至少存在一点x0( a,b) ，使得 f ( x0 ) = 0.D(12) 设 n 阶矩阵A与B等价,那么必有(A) 当| A|a(a 0) 时,| B |a .(B) 当| A|a(a0)时, |B|a .(C) 当|A|0时, |B|

6、 0.(D) 当|A| 0时 ,| B |0 .(13) 设n阶矩阵A的伴随矩阵A*0,假设 1,2, 3, 4是非齐次线性方程组Axb 的专业资料整理WORD格式互不相等的解，那么对应的齐次线性方程组Ax0 的根底解系专业资料整理WORD格式(A)不存在 .(B)仅含一个非零解向量 .(C) 含有两个线性无关的解向量.(D)含有三个线性无关的解向量 .(14) 设随机变量X服从正态分布N (0,1) ,对给定的 (0,1), 数u满足P Xu,假设 P| X | x,那么x等于(A)u.(B) u.(C)u1.(D) u1.2122三、解答题 (此题共 9 小题，总分值94 分 . 解容许写

7、出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15) (此题总分值 8 分)求 lim (1cos2 x).x 0 sin2xx2(16) ( 此题总分值8 分 )专业资料整理WORD格式- 2 -专业资料整理WORD格式求(x2y2y)d，其中 D 是由圆 x2y 24 和 (x1)2y 21 所围成的D平面区域 (如图 ).(17) (此题总分值 8 分)设 f (x) , g( x)在 a , b 上连续，且满足xxg(t) dt ，xbbaf (t )dta , b)，f (t) dtg(t) dt .aaabb证明：xf (x) dxxg(x)dx .aa(18) (此题总分值 9 分)设某商

8、品的需求函数为Q = 100 5P，其中价格 P(0 , 20) ，Q 为需求量 .(I)求需求量对价格的弹性Ed( Ed> 0)；(II)dREd ) (其中R为收益)，并用弹性Ed说明价格在何X围内变化时，推导Q(1dP降低价格反而使收益增加.(19) (此题总分值 9 分)设级数x4x6x8(x)242462468的和函数为S(x). 求：(I) S(x)所满足的一阶微分方程；(II) S(x)的表达式 .(20)( 此题总分值 13 分 )(1,2,0)T(1, 2, 3) T ( 1, b 2, 2b)T, (1,3, 3)T,设 1, 2,3试讨论当 a,b 为何值时,( )

9、1, 2, 3线性表示 ;不能由( )可由 1,2 , 3唯一地线性表示 , 并求出表示式 ;( )可由 1,2 , 3线性表示 , 但表示式不唯一 , 并求出表示式 .(21) (此题总分值 13 分)设 n 阶矩阵专业资料整理WORD格式- 3 -专业资料整理WORD格式1bbAb1b.bb1( )求 A 的特征值和特征向量;( )求可逆矩阵 P ,使得 P 1 AP为对角矩阵.(22) ( 此题总分值13 分)设 A ， B 为两个随机事件,且 P( A)1P(B | A)1P(A|B)1, 令4321,发生，1,发生，XAYB，不发生，不发生.0A0B求( )二维随机变量 ( X ,Y

10、) 的概率分布;( )X与Y的相关系数XY ;( )ZX 2Y 2的概率分布.(23) (此题总分值 13 分)设随机变量X 的分布函数为1,x，F ( x, ,)xx，0其中参数 0, 1.设X1, X2, X n为来自总体X的简单随机样本,() 当 1时 ,求未知参数的矩估计量 ;( ) 当1时 ,求未知参数 的最大似然估计量;( ) 当2 时,求未知参数的最大似然估计量 .专业资料整理WORD格式- 4 -专业资料整理WORD格式2004 年考研数学三真题解析一、 填空题 此题共6 小题，每题4 分，总分值24 分 . 把答案填在题中横线上(1)sin x(cos x b) 5 ，那么a

11、 =1， b =4.假设 limax 0 ex【分析 】此题属于极限求参数的反问题.【详解 】因为limsin x (cosxb) 5 ，且 lim sinx(cosx)0 ，所以abx 0 exx0lim (exa)0，得 a = 1.极限化为x 0lim sin x (cos x b) limx (cos xb)1 b5，得b =4.x 0 exax0 x因此， a = 1， b =4.【评注 】一般地，lim f (x)A，g(x)(1) 假设 g(x)0，那么 f (x)0；(2) 假设 f ( x)0，且 A 0，那么 g(x)0.(2)设函数 f (u , v)由关系式 f xg(

12、y) , y = x + g(y)确定，其中函数g(y)可微，且 g(y)0，2 fg (v).那么g 2 (v)u v【分析 】令 u = xg(y)， v = y，可得到 f (u , v)的表达式，再求偏导数即可 .【详解 】令 u = xg(y)， v = y，那么 f (u , v) =ug(v) ，g(v)f1，2 fg (v)所以，u vg 2.u g (v)(v)x 2,1x1xe2221(3) 设f (x)，那么1 f ( x1) dx.1, x1222【分析 】此题属于求分段函数的定积分，先换元：x1 = t，再利用对称区间上奇偶函数的积分性质即可 .211【详解 】令 x

13、1 = t，1f ( x 1)dx1 f (t )dt1 f ( x)dt2221211121 xexdx 1 ( 1) dx 0 ().2222专业资料整理WORD格式- 5 -专业资料整理WORD格式【评注 】一般地，对于分段函数的定积分，按分界点划分积分区间进展求解.(4) 二次型f ( x , x, x)( xx2) 2(x2x)2( xx ) 2的秩为2 .1231331【分析 】二次型的秩即对应的矩阵的秩,亦即标准型中平方项的项数, 于是利用初等变换或配方法均可得到答案 .【详解一 】因为 f ( x1 , x2 , x3 )( x1x2 ) 2(x2x3 ) 2( x3 x1 )

14、 22x22x 22x22x x 2 x x32 xx31231212211于是二次型的矩阵为A121,112112112由初等变换得A033033,033000从而r ( A)2 ,即二次型的秩为2.【详解二 】因为 f ( x1 , x2 , x3 )( x1x2 ) 2(x2x3 ) 2( x3 x1 ) 22 x122x222x322x1 x22x1 x32x2 x32( x11 x21 x3 ) 23 (x2x3 ) 22222 y123y22,211y1x1x3 ,y2x2x3.其中x222.2所以二次型的秩为(5)设随机变量X服从参数为那么P XDX 1.的指数分布 ,e【分析

15、】 根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案.【详解 】 由于 DX1X 的分布函数为2 ,F ( x)1e x, x0,0,x0.故P XDX 1 PXDX 1 PX1 1 F(1)1 .e【评注 】此题是对重要分布,即指数分布的考察 ,属基此题型 .(6)设总体 X 服从正态分布22N ( 1, ) ,总体Y服从正态分布 N ( 2 , ) ,专业资料整理WORD格式- 6 -专业资料整理WORD格式X 1 , X 2 , X n1和 Y1 ,Y2 , Yn2分别是来自总体X 和 Y 的简单随机样本,那么22n1n2( X i X )(Yj Y)i 1j 12E .n1n22【分析 】利

16、用正态总体下常用统计量的数字特征即可得答案.1n1221n22EE2【详解 】因为1 i 1( X i X ) ,n21 j(Yj Y) ,n112故应填 .【评注 】此题是对常用统计量的数字特征的考察.二、选择题 此题共6 小题，每题 4 分，总分值 24 分 . 每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内(7) 函数f (x)| x | sin( x2)x( x1)( x2)2在以下哪个区间内有界 .(A)( 1,0).(B) (0 , 1).(C) (1 , 2).(D) (2 , 3). A 【分析 】如 f (x)在 (a , b)内连续，且极限li

17、mf ( x) 与 limf ( x) 存在，那么函数f (x)x axb在 (a , b)内有界 .【详解 】当 x0,1,2时， f (x)连续，而lim f ( x)sin 3， lim f (x)sin 2 ，x118x 04lim f ( x)sin 2 ，lim f ( x)， limf (x)，x 04x1x 2所以，函数 f(x)在 (1 ,0) 内有界，应选 (A).【评注 】一般地， 如函数 f (x)在闭区间 a , b上连续， 那么 f (x)在闭区间 a , b上有界； 如函数 f (x)在开区间 (a ,b)内连续，且极限limf ( x) 与 limf ( x)

18、存在，那么函数f (x)在开区间 (a , b)内有界 .xaxb(8) 设 f (x)在 (, +)内有定义，且limf ( x) a ，x1g( x)f ( x ) , x0 ，那么0 , x0(A) x = 0 必是 g(x)的第一类连续点 .(B) x = 0 必是 g(x)的第二类连续点 .(C) x = 0 必是 g(x)的连续点 .(D) g(x)在点 x = 0 处的连续性与a 的取值有关 .D【分析 】考察极限 limg (x) 是否存在，如存在，是否等于g(0) 即可，通过换元1，ux0x专业资料整理WORD格式- 7 -专业资料整理WORD格式可将极限 lim g ( x

19、) 转化为limf (x) .x0x【详解 】因为 limg( x) limf (1 )lim f (u) = a(令 u1)，又 g(0) = 0 ，所以，x 0x0xux当 a = 0 时，lim g ( x)g(0) ，即g(x)在点x = 0处连续，当a0 时，x0lim g( x) g(0) ，即x = 0是 g( x)的第一类连续点，因此，g(x)在点 x = 0 处的连续性x 0与 a 的取值有关，应选 (D).【评注 】此题属于基此题型，主要考察分段函数在分界点处的连续性.(9) 设 f (x) = |x(1x)|，那么(A) x = 0 是 f (x)的极值点，但 (0 ,

20、0) 不是曲线 y = f (x)的拐点 .(B) x = 0 不是 f (x)的极值点，但 (0 , 0)是曲线 y = f (x)的拐点 .(C) x = 0 是 f (x)的极值点，且 (0 , 0) 是曲线 y = f (x)的拐点 .(D) x = 0 不是 f (x)的极值点， (0 , 0) 也不是曲线y = f (x)的拐点 .C【分析 】由于 f (x)在 x = 0 处的一、二阶导数不存在，可利用定义判断极值情况，考察 f (x)在 x = 0 的左、右两侧的二阶导数的符号，判断拐点情况.【详解 】设 0 << 1 ，当 x(, 0)(0 ,)时， f (x)

21、> 0 ，而 f (0) = 0 ，所以 x = 0 是 f (x)的极小值点 .显然， x = 0 是 f (x)的不可导点 . 当 x(, 0)时， f (x) =x(1x)，f (x)20，当 x(0 ,)时， f (x) = x(1x) ，f( x)20 ，所以(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点.应选 (C).【评注 】对于极值情况，也可考察f (x)在 x = 0 的某空心邻域内的一阶导数的符号来判断.(10) 设有以下命题：(1) 假设(u2n 1 u2n ) 收敛，那么un收敛.n 1n 1(2)假设un收敛，那么un1000 收敛.n 1n 1(3)假设 lim

22、un11，那么u发散 .nunnn 1(4)假设(unvn ) 收敛，那么un，vn都收敛.n 1n 1n 1那么以上命题中正确的选项是(A) (1)(2).(B) (2) (3).(C) (3) (4).(D) (1) (4).B 【分析 】可以通过举反例及级数的性质来说明4 个命题的正确性 .【详解 】 (1)是错误的，如令u(1)n，显然，u分散，而(uu)收敛.nn2 n 12nn 1n 1专业资料整理WORD格式- 8 -专业资料整理WORD格式(2)是正确的，因为改变、增加或减少级数的有限项，不改变级数的收敛性.(3)是正确的，因为由limun 11可得到 u不趋向于零 (n)，所

23、以u 发散.nunnnn 1(4)是错误的，如令 un1, vn1，显然，u ，v都发散，而nnnnn 1n 1(unvn ) 收敛.应选(B).n 1【评注 】此题主要考察级数的性质与收敛性的判别法，属于基此题型.(11) 设f ( x)在 a , b 上连续，且f (a)0, f (b)0 ，那么以下结论中错误的选项是(A)至少存在一点 x0( a,b) ，使得 f ( x0 ) > f (a).(B)至少存在一点 x0(a, b) ，使得 f (x0 ) > f (b).(C) 至少存在一点 x0 (a, b) ，使得 f ( x0 ) 0.(D) 至少存在一点x0( a,b

24、) ，使得 f ( x0 ) = 0.D【分析 】利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项，由排除法可选出错误选项.【详解 】首先，由f( x) 在a , b上连续，且f (a) 0, f (b)0 ，那么由介值定理，至少存在一点x(a,b) ，使得 f(x) 0；00另外， f (a)limf ( x)f (a)0 ，由极限的保号性，至少存在一点x0(a,b)xaxa使得f ( x0 )f ( a)0，即 f ( x )f ( a) .同理，至少存在一点x(a,b)x0a00使得 f ( x0 )f (b) .所以，(A) (B) (C)都正确，应选 (D).【评注 】 此题综合考察了

25、介值定理与极限的保号性，有一定的难度.(12) 设 n 阶矩阵A与B等价,那么必有(A)当 | A |a(a0) 时, | B |a .(B) 当| A |a(a0) 时, | B |a .(C) 当|A|0时, |B|0.(D) 当|A|0时, |B|0.D【分析 】 利用矩阵 A 与 B 等价的充要条件:r ( A)r ( B) 立即可得.【详解 】因为当 | A |0时, r ( A)n ,又A 与 B 等价,故r (B)n ,即 | B |0 ,应选(D).专业资料整理WORD格式- 9 -专业资料整理WORD格式【评注 】此题是对矩阵等价、行列式的考察, 属基此题型 .(13) 设n

26、阶矩阵A的伴随矩阵A*0, 假设, , 是非齐次线性方程组Axb 的1234专业资料整理WORD格式互不相等的解，那么对应的齐次线性方程组Ax0 的根底解系专业资料整理WORD格式(A)不存在 .(B) 仅含一个非零解向量.(C) 含有两个线性无关的解向量.(D) 含有三个线性无关的解向量.B【分析 】 要确定根底解系含向量的个数, 实际上只要确定未知数的个数和系数矩阵的秩.【详解 】 因为根底解系含向量的个数= nr ( A) ,而且n,r ( A)n,r ( A* )1,r ( A)n1,0,r ( A)n1.根据条件 A*0,于是 r ( A) 等于 n 或n1 .又 Axb 有互不相等

27、的解,即解不惟一 , 故r ( A)n1.从而根底解系仅含一个解向量, 即选 (B).【评注 】此题是对矩阵A 与其伴随矩阵A*的秩之间的关系、 线性方程组解的构造等多个知识点的综合考察.(14) 设随机变量X服从正态分布N (0,1), 对给定的 (0,1), 数u满足P X,u 假设P| X |x,那么x等于(A)u.(B) u.(C)u1.(D) u1. C2122【分析 】 利用标准正态分布密度曲线的对称性和几何意义即得.【详解】由P| X|x,以及标准正态分布密度曲线的对称性可得P Xx12. 故正确答案为 (C).,严格地说它的上分位数概念的考察.【评注 】此题是对标准正态分布的性

28、质三、解答题 (此题共 9小题，总分值94 分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15) (此题总分值 8 分)求 lim (1cos2 x ).x 0sin 2 xx2【分析 】先通分化为“0 型极限，再利用等价无穷小与罗必达法那么求解即可.0【详解 】 lim (1cos2 xx2sin 2 xcos2 xsin2 xx2)limx2 sin 2 xx 0x0x21 sin2 2x2x1 sin 4 x1cos4x1 (4 x)2= lim4lim2limlim 246x2.x 0x4x 04x3x 0x 0 6x23专业资料整理WORD格式-10-专业资料整理WORD格式【评注

29、 】此题属于求未定式极限的基此题型，对于“0型极限，应充分利用等价无穷小替换来简化计算.0(16) ( 此题总分值8 分 )求 ( x2y2y)d，其中 D 是由圆x2y24和 (x 1) 2y21 所围成的平面区域(如图 ).D【分析 】首先，将积分区域D 分为大圆D1( x, y) | x2y24 减去小圆D2( x, y) | (x1)2y 21 ，再利用对称性与极坐标计算即可.【详解 】令 D( x, y) |x2y24,D2( x, y) | ( x1)2y21 ，1由对称性，yd0 .Dx2y2 dx2y2 dx2y2 dDD1D 222r 2dr32cosr 2 dr .d2 d0020163216 (32)399所以，(x2y2y)d16 (32) .D9【评注 】此题属于在极坐标系下计算二重积分的基此题型，对于二重积分，经常利用对称性及将一个复杂区域划分为两个或三个简单区域来简化计算.(17) ( 此题总分值 8 分)设 f (x) , g( x)在 a , b 上连续，且满足xxg(t) dt ，xa , b)，bbaf (t )dtf (t) dtg(t) dt .aaabb证明：xf (x) dxxg(x)dx .aa【分析 】令 F(x) = f (x)g(x)，G(x)xF (t )dt ，将积分不等式转化为函数不等式即可.a【详解