两步抗差估计GPS高程拟合

1、两步抗差估计GPS高程拟合法张荣征1(单位。,邮编。,地区。如上海 )摘要：对于工程建设来说,高程系统通常采用正常高系统,水准测量作为获取正常高的直接方法而得到普遍使用。对局部区域GPS工程控制网，采用数学方法建立合理的GPS高程拟合模型，本文基于二次曲面函数对高程异常进行计算，采用两步抗差估计方法，进行了高程拟合。关键词：GPS高程；高程拟合；两步抗差前言对于工程建设来说,高程系统通常采用正常高系统,水准测量作为获取正常高的直接方法而得到普遍使用。对局部区域GPS工程控制网，采用数学方法建立合理的GPS高程拟合模型，可以用于高程测量的粗差探测。GPS测量所得的高程是WGS84中的大地高，以W

2、GS-84椭球面为基准面，我国采用的是正常高高程，以似大地水准面为基准面。若设GPS高程为，正常高高程为，似大地水准面到WGS84椭球面之间的高程异常为，则、三者的关系可表达为： （1）在某一区域内，如果有一定数量的已知水准点，则可以在这些水准点上进行GPS观测。根据已知点的高程异常值以及位置关系建立函数模型，并用来模拟该区域似大地水准面的高度，并求解区域内任一点的高程异常值，进而根据（551）式求得任一点的正常高。常用的数学拟合模型有6种：多项式曲线拟合、三次样条曲线拟合、Akima曲线拟合、多项式曲面拟合、多面函数法曲面拟合、移动法曲面拟合等。无论那种模型，拟合的基本思想都是相同的，即利用

3、区域内若干同时具有GPS高程合水准的重合点，求出这些点上的高程异常值，并按照一定的曲面函数关系，建立高程异常与曲面坐标之间的函数模型关系式，拟合出局部似大地水准面，即求出各点的高程异常值，从而实现将各GPS大地高到正常高的转换。1.二次曲面函数法在一定范围内，若正常重力的变化可以忽略不计时，对于参考点，此区域高程异常的模型为： （2）表达式为：（3）式中：，即为参考点的高程异常；、，即、分别为参考点在、方向的垂线偏差；、，即、是垂线偏差的变化率；、是各点与点的坐标差。（2）式为二次曲面模型，当只取 、三项时，（2）式即变为平面拟合模型。在较小范围内，且高程异常变化平缓的地区，即当、不大于，且时

4、，（2）式中的二项式才不大于1mm。因此，在精密GPS水准中，通常不宜以平面模型代替二次模型。从二次模型来看，点的选择有可能影响模型的精度。如果点选择离测区较远，将有可能因忽略各点到参考点沿线不同不为的垂线偏差异常之差异而降低模型的精度。另外，、之值相差较大，也 不利于未知参数的估算。通常工程控制网局限于较小范围，所重视的是本测区范围内的相对精度和成果的质量。因此，高程异常模型建立时，可选取测区内一个位于中心部位的点A作为相对参考点。则容易列出测区内任意点相对于A参考点高程异常差值的二次模型为：（4）可表示为：（5）式中：、是A点到点在方向的垂线偏差；、是垂线偏差变化率；、是点到点A的坐标增量

5、， 当测区已知点的个数较多时（大于6），这时可用最小二乘求解。误差方程为：（6）也可以表达为：（7）采用最小二乘：模型（6）及（7）以测区中部A点为基准，到个控制点距离较均匀，之值较小，直观地反映了本测区内的情况，对拟合精度的提高是有利的。2.两步抗差估计高程拟合一般的高程拟合方法是，通过最小二乘原理，求解得到各个参数之后，代入拟合模型，求解得到区域内各点的高程异常值，进而得到正常高。由于最小二乘具有均摊大误差的特性，因而一旦由大地高合正常高求得的某几个或几个高程异常存在粗差，必然会导致所求的区域高程异常拟合模型扭曲。因此，将抗差方法引入高程异常拟合模型参数估计中，以保证似大地水准拟合模型的可

6、靠性是很有意义的。将抗差估计应用在高程拟合中，基本方法为：首先进行最小二乘平差，即一般的拟合，求出改正数，再根据不同的权函数来确定相应的等价权，权函数形式由采用的相应方法（如IGG、Hampel法等）确定。多次反复迭代，直至含有粗差项的趋近于零，从而得到参数估值。使含有粗差的高程异常对拟合模型的参数估值的影响趋近于零，获得的高程异常中不含粗差影响。在高程异常模型的建立中，应该判别存在粗差的控制点，进而控制其对模型的影响，使之扭曲和失真。具体步骤如下：1、列误差方程；（8）1、 计算最小二乘估计值，获取残差；2、 选取两步等价权函数，计算等价权；3、 在新权下，迭代平差运算，得到 （9）实例分析

7、如下：常州市龙城大桥施工控制网有18个控制点，分别为：,如图1所示，高程采用水准观测，采用成熟的平差软件进行计算，获得各点的GPS大地高和正常高。分别采用二次曲面、多面函数和抗差估计方法进行高程拟合。抗差估计方法是在多面函数法基础之上进行迭代运算的，称为抗差多面函数法。选用均匀分布的、为已知点进行拟合，其已知数据如下表5.1所示。采用三种不同的方法对其余10个点进行了拟合，其结果如下表5.2所示：图1 水准网表1 已知数据（m）点号GPS高10.6559.51109.9279.6479.7007.4946.7557.394正常高9.88638.69729.08758.94638.95696.6

8、9075.99576.5587表2 拟合高程值点号GPS高（m）9.76610.4969.8019.9219.4267.5788.2727.3316.2018.042正常高（m）8.96709.77519.04729.06188.55276.81477.48936.62935.42117.2243曲面法（m）8.97279.77209.04399.05448.55186.81697.47436.61445.42027.2283函数法（m）8.96839.76629.04249.07428.56016.81047.46936.60445.41607.2237抗差法（m）8.96999.76849

9、.04519.07178.55926.81057.47036.60595.41767.2241差值（cm）-0.570.310.330.740.09-0.221.51.780.09-0.4差值（cm）-0.130.890.48-1.24-0.740.4322.480.510.06差值（cm）-0.290.670.21-0.99-0.650.421.92.330.350.02从上表可以看出，采用三种方法进行高程拟合，所得的高程与已知高程相比较，最大偏差为，大多数点都符合工程施工的要求，从而可以看出，这三种方法具有一定的实用性。为了更好理解抗差法高程拟合的意义，在上述实例的基础上，追加粗差，在点的

10、GPS高程点上追加40mm的粗差，则其GPS高为18.5510，然后采用二次函数法，多面函数法，两步抗差多面函数法进行高程拟合，其权函数分别采用： 和 ，调制因子分别采用：和，所得结果如表5.3表3拟合高程值点号GPS高（m）9.76610.4969.8019.9219.4267.5788.2727.3316.2018.042正常高（m）8.96709.77519.04729.06188.55276.81477.48936.62935.42117.2243曲面法（m）8.97589.77649.04829.07228.56306.81517.46686.60865.41327.2196函数法（

11、m）8.99269.79229.05789.01608.52786.83537.48376.62555.42937.2330抗差法（m）8.97089.76969.04579.07228.55966.81127.46996.61645.41717.2235差值（cm）-0.88-0.13-0.1-1.54-1.03-0.042.252.060.790.47差值（cm）-2.56-1.71-1.064.582.49-2.060.560.37-0.82-0.87差值（cm）-0.380.550.15-1.04-0.690.351.941.290.40.08从上表可以看出，在加入粗差时，二次法与多面

12、函数法拟合的结果与已知值相差较大，特别是二次函数曲面法，差值最大达到了4个多厘米，多面函数法也达到2厘米多，因而可以说这两种方法，当数据中存在一定的粗差时，其结果与实际的差值较大。两步抗差估计高程拟合方法，其结果与没有粗差时变化不大，将含有粗差项的影响降到最小。因此，可以得到，在没有粗差影响的情况下，二次曲面法、多面函数法都能比较好的拟合出高程，得到精度比较高的结果。不过，多面函数拟合法，其核函数的选取比较重要，直接关系到结果的优劣以及差异。当存在粗差时，二次曲面法、多面函数法都没有抗击粗差的能力，受粗差影响，所得结果与实际值相差较大，两步抗差估计拟合法能抵抗粗差的影响，得到比较优良的结果。3.结论两步抗差估计高程拟合方法，其结果与没有粗