齐次线性方程组有非零解的条件及解的结构

1、14.5 齐次线性方程组有非齐次线性方程组有非零解的条件及解的结构零解的条件及解的结构212(,),nA 11220,nnxxx 12,n 定理定理8 设设A为为sn矩阵矩阵, 则齐次线性方程则齐次线性方程组组AX=0有非零解的充要条件为有非零解的充要条件为rAn.证明证明：对：对A进行列分块，进行列分块，则则AX=0的向量表示形式为的向量表示形式为 其有非零解的充要条件是其有非零解的充要条件是 12,.nrn 线性相关线性相关, 充要条件是充要条件是rA=A的列秩的列秩=3齐次线性方程组解的性质：齐次线性方程组解的性质： 性质性质1 设设X1, X2为齐次线性方程组为齐次线性方程组AX=0的

2、解，的解，c为常数，则为常数，则 (1) X1+X2仍为仍为AX=0的解；的解；(2) cX1仍为仍为AX=0的解的解.证明证明: (1) A(X1+X2)=AX1+AX2=0+0=0;(2) A(cX1)=cAX1=c0=0; 更一般地，齐次线性方程组更一般地，齐次线性方程组AX=0解的解的任意线性组合仍为解任意线性组合仍为解,4 即即:若若X1, X2, .,Xr为为AX=0的解的解, 则则 k1X1+k2X2+.+krXr也为也为AX=0的解的解, 其中其中ki(i=1, 2,.,r)为任意数为任意数. 由上述性质知由上述性质知: 齐次线性方程组的解集齐次线性方程组的解集合关于向量的加法

3、合关于向量的加法, 数乘构成一个线性空数乘构成一个线性空间间, 称为齐次线性方程组的称为齐次线性方程组的解空间解空间(space of solutions). 为了表示齐次线性方程组的所有解，为了表示齐次线性方程组的所有解，现引入基础解系的概念现引入基础解系的概念.5 定义定义12 向量组向量组X1, X2, .,Xt 称为称为AX=0的一个的一个基础解系基础解系(basis set of solutions), (1) X1, X2, ., Xt 皆为皆为AX=0的解；的解；(2) X1, X2, ., Xt 线性无关；线性无关； (3) AX=0的任意解皆可由的任意解皆可由X1, X2,

4、., Xt 线性表出线性表出. 若若 X1, X2,., Xt 为为AX=0的一个基础解系，的一个基础解系，由基础解系的定义知由基础解系的定义知 112212|,tttSk Xk Xk Xk kkP 如果如果6 正好就是正好就是AX=0的解集合的解集合, 称称 k1X1+k2X2+.+ktXt 为为AX=0的的通解通解.123453220 xxxxx 234530 xxxx 23452280 xxxx 例例1 求下列齐次线性方程组的一个基础解系求下列齐次线性方程组的一个基础解系 解解：对系数矩阵进行初等行变换化为：对系数矩阵进行初等行变换化为Jordan阶梯形矩阵阶梯形矩阵.710012001

5、01500102B 初初等等行行变变换换132210111302128A Jordan阶梯形阶梯形1051100111300102 初初等等行行变变换换8 现解现解AX=0的同解齐次线性方程组的同解齐次线性方程组BX=0. Jordan阶梯形阶梯形B有有3行不为零，行不为零，故故rB=3， 首元所在的列为首元所在的列为B的第的第1,2,3列列, 故对故对x4, x5的任意值代入的任意值代入BX=0都能解出都能解出x1, x2, x3. 把把BX=0的含的含x4, x5的项移到等式右边得到的项移到等式右边得2xxxxxxxx 91(11010) ,TX 令令x4=1,

6、x5=0, 解得解得令令x4=0, x5=1, 解得解得2(205201) .TX 10,01 相同位置上添加相同位置上添加3个分量得到的个分量得到的, 于是也于是也线性无关线性无关.线性无关线性无关, 而而X1, X2是在是在10,01 10 设设 X=(c1 c2 c3 k1 k2)T 则则 Xk1X1k2X2=(d1 d2 d3 0 0)T 这就推出这就推出 d1=d2=d3=0, 为为BX=0的任意解的任意解,也是也是BX=0 的解的解.于是于是, X=k1X1+k2X2.11 定理定理9 设设A是是sn矩阵矩阵, rA=r n, 则齐则齐次线性方程组次线性方程组AX=0存在基础解系存

7、在基础解系, 且且基础解系含基础解系含nr个解向量个解向量. 证明证明：A可经过一系列初等行变换化为可经过一系列初等行变换化为Jordan阶梯形矩阵阶梯形矩阵B, 显然显然B的前的前r行为非行为非零行零行, 后后sr行全为零行全为零. 不失一般性不失一般性, 可假设可假设aii=1(i=1,2,.,r), 即：即： 121,11,212,12,22,1,210.0.01.0.00.1.00.000.0.00.000.0rrnrrnr rr rrnkkkkkkBkkk 未知量未知量xr+1, xr+2,., xn(都不在首元所在的都不在首元所在的列列)称为称为自由未知量自由未知量. BX=0为为

8、AX=0的同解的同解方程组方程组.13121,0,0rrnxxx 11,122,1,1,.rrrr rxkxkxk 令自由未知变量令自由未知变量 代入代入BX=0可解得可解得从而从而141,12,1,11100rrr rkkkX 为为BX=0的一个解的一个解.15 再令自由未知变量再令自由未知变量xr+1, ., xn的值分的值分别为别为(0,1,.,0), ., (0,0,.,1), 代入代入BX=0可解得可解得BX=0的解的解X2, X3, .,Xnr, 于是得到于是得到161,11,212,12,22,1,212,.,100010001rrnrrnr rr rrnn rkkkkkkkkk

9、XXX 17为为AX=0的一组线性无关的解，要证的一组线性无关的解，要证明它正好为明它正好为AX=0的一个基础解系，的一个基础解系，只需证明只需证明AX=0的任意解即的任意解即BX=0的任的任意解可用意解可用X1,X2,.,Xnr 线性表示线性表示.112212(,0,0,0)rrnn rTrXcXcXc Xd dd 设设X=(c1, ., cr , cr+1,., cn)T为为AX=0 (BX=0)的任意解，则的任意解，则为为BX=0的解，代入的解，代入BX=0得到得到1812100001000010rddd 1122.rrnn rXcXcXc X 这堆出这堆出di=0(i=1,2,.,r)

10、, 于是于是 综上，综上， X1,X2,.,Xnr为为AX=0的一个基的一个基础解系础解系.19说明：说明：上述定理的证明过程实际上上述定理的证明过程实际上就是求解齐次线性方程组的步骤就是求解齐次线性方程组的步骤.123412341234124202302230340 xxxxxxxxxxxxxxx 例例 解线性方程组解线性方程组20解解: :1112231112233401A 1112013501350135 1 1120 1350 0000 000 10470 1350 0000 000 21124735,1001XX 用基础解系表达的所有解为用基础解系表达的所有解为1122.c Xc X

11、 自由未知量为自由未知量为x3，x4, 分别代入值分别代入值(1,0),(0,1)得到方程组的一个基础解系：得到方程组的一个基础解系：22 推论推论 设齐次线性方程组设齐次线性方程组AX=0的系数的系数矩阵矩阵A为为sn矩阵，若矩阵，若rA=rn, 则则(1) AX=0的每一个基础解系都含有的每一个基础解系都含有 nr个解；个解；(2) AX=0的任意的任意nr+1个解向量线性个解向量线性 相关；相关；(3) AX=0的任意的任意nr个线性无关的解个线性无关的解 都是一个基础解系都是一个基础解系.23 证明证明：设：设X1,X2,.,Xnr (I)为为AX=0的的一个基础解系一个基础解系.(1

12、) 设设 (II)为为AX=0的任意的任意一个基础解系一个基础解系, 则则(I)与与(II)皆线性无皆线性无关且可相互线性表出关且可相互线性表出, 故故t=nr;12,t (2) AX=0的任意的任意nr+1个解可由含个解可由含nr个向量的个向量的(I)线性表出线性表出, 故线性相关；故线性相关；24(3) 设设 (III)为为AX=0的任意的任意线性无关的解线性无关的解, 为为AX=0的任意解的任意解, 则则 线性相关，于是线性相关，于是 可可由由(III)线性表出，故线性表出，故(III)为为AX=0的一个的一个基础解系基础解系.12,n r 12,n r 此外此外, 与与AX=0一个基础

13、解系等价的任意一个基础解系等价的任意线性无关向量组也是线性无关向量组也是AX=0的基础解系的基础解系.(P85.Q2.)25 例例3 设设A为为sn矩阵矩阵, B为为nm矩阵矩阵, AB=0, 则则 rA+rBn. 分析分析：nrA是齐次线性方程组是齐次线性方程组AX=0的基的基础解系所含向量个数，故可考虑利用齐次础解系所含向量个数，故可考虑利用齐次线性方程组的解的问题来证明线性方程组的解的问题来证明.12(),0(0 00),ms mB 解解：对：对B和和0 sm矩阵进行列分块矩阵进行列分块由由AB=0，利用分块矩阵的乘法得：，利用分块矩阵的乘法得：12()(0 00),mAAA 260(1

14、,2,).jAjm 于是于是 为为AX=0的解的解.12,m 这就有这就有若若rA=n, 则则AX=0只有零解只有零解, 故故B=0,显然显然, rB=0=nrA;1212,.Bmn rArrr X XXnr 若若rA=rn, 则则AX=0有基础解系有基础解系X1,Xnr,于是，于是，可由可由X1,Xnr线性表出线性表出,则则12,m 27*,1,1,0,1.AAAAnrnrrnrn 例例(P85.Q3)设设A为为n(n2)阶方阵阶方阵, 证明证明:*1| |0nAA ，证明证明: (1) 若若rA=n，则，则A是一个满秩矩阵，是一个满秩矩阵，即即|A|0. 又又AA*=|A|E，所以，所以所以所以A*也为满秩矩阵，即是也为满秩矩