332函数的极值与导数

1、3.3.2函数的极函数的极值与导数值与导数高二数学高二数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用一、复习导入一、复习导入-复习旧课复习旧课1.解解2463)(2 xxxf，令令0)( xf)2)(4(3 xx32( )32420f xxxx求出函数的单调区间124,2xx得临界点区间区间(-，-4)-4(-4，2)2(2，+)f (x)00f(x)f(x)在在(-，-4)、 (2，)内单调递增，内单调递增，你记住了吗？有没搞错，有没搞错，怎么这里没有填上？怎么这里没有填上？求导数求导数求临界点求临界点列表列表写出单调性写出单调性+-f (x)0 (x+4)(x-2)0 x2f

2、(x)在在(-4，2)内单调递减。内单调递减。f (x)0 (x+4)(x-2)0 -4x0单调递减单调递减h (t)0h (a)02.跳水运动员在最高处附近的情况：跳水运动员在最高处附近的情况：(1)当当t=a时运动员距水面高度最大，时运动员距水面高度最大，h(t)在此点的导数是多少呢？在此点的导数是多少呢？(2)当当ta时时h(t)的单调性是怎样的呢？的单调性是怎样的呢？将最高点附近放大将最高点附近放大t=ataatho最高点最高点导数的符号有什么变化规律？导数的符号有什么变化规律？在t=a附近，f(x)先增后减，先增后减，h (x)先正后负，先正后负，h (x)连续变化，于是有连续变化，

3、于是有h (a)=0f(a)最大。最大。对于一般函数是否也有同样的性质吗？对于一般函数是否也有同样的性质吗？h(t)=-4.9t2+6.5t+10一、复习导入一、复习导入-导入新课导入新课探究探究3.(1) 如图，如图，y=f(x)在在c、d等点的函等点的函数值与这些点附近的函数值有什么数值与这些点附近的函数值有什么关系？导数值呢？导数符号呢？关系？导数值呢？导数符号呢？c d e f o g h I j xy一、复习导入一、复习导入-导入新课导入新课3.(2) 如图，如图，y=f(x)在在a、b点的函数值点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？与这些点附近的函数值有什么关系？导数值呢？导数

4、符号呢？导数值呢？导数符号呢？探究探究xyoaby-=f(x)xyoaby-=f(x)( )fx( )fx( )f x000极小值点极小值点极大点极大点f (a)=0f (b)=0二、讲授新课二、讲授新课-了解概念了解概念xyoaby=f(x)xbf (x)+0-f(x)单调单调递增递增极大值极大值单调单调递减递减 什么是什么是极小值点、极小值极小值点、极小值、极大值点、极大值极大值点、极大值、极值点、极值？、极值点、极值？f(a)f(b)小结小结xaf (x)-0+f(x)单调单调递减递减极小值极小值单调单调递增递增极大值点和极小值点极大值点和极小值点统称为极值点统称为极值点极大值和极小值极

5、大值和极小值统称为极值统称为极值-2-11234567abxyO( )0fa0)( bf()0fax0)(xbf()0fax0)(xbf0 x 定义定义 一般地一般地, 设函数设函数 f (x) 在点在点x0附近有附近有定义定义, 如果对如果对x0附近附近的所有的点的所有的点, 都有都有0( )()f xf x我们就说我们就说 f (x0)是是 f (x)的一个的一个极大值极大值, 点点x0叫做函数叫做函数 y = f (x)的的极大值点极大值点. 反之反之, 若若 , 则称则称 f (x0) 是是 f (x) 的一个的一个极小极小值值, 点点x0叫做函数叫做函数 y = f (x)的的极小值

6、点极小值点.0( )()f xf x 极小值点、极大值点统称为极小值点、极大值点统称为极值点极值点, , 极大值和极小值极大值和极小值统称为统称为极值极值. .yabx1x2x3x4)(1xf)(4xfOx)(2xf)(3xf 观察上述图象观察上述图象,试指出该函数的极值点与极值试指出该函数的极值点与极值,并说出哪些是极大值点并说出哪些是极大值点,哪些是极小值点哪些是极小值点. 1理解极值概念时需注意的几点理解极值概念时需注意的几点 (1)函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左右两侧附近的点而言的 (2)极值点是函数定义域内的点，而函数定义域的端点绝不是函数的极值点 (3)若f(x)在

7、a，b内有极值，那么f(x)在a，b内绝不是单调函数，即在定义域区间上的单调函数没有极值总结总结 (4)极大值与极小值没有必然的大小关系一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值可能大于另一点的极大值(如图(1) (5)若函数f(x)在a，b上有极值，它的极值点的分布是有规律的(如图(2)所示)，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点 2导数为导数为0的点不一定是极值点的点不一定是极值点练习练习1 下图是导函数下图是导函数 的图象的图象, 试找出函数试找出函数 的极值点的极值点, 并指出哪些是极大值点并指出哪些是极大值点, 哪些是极

8、小值点哪些是极小值点.)(xfy)(xfy abxyx1Ox2x3x4x5x6( )yfx yxO探究：极值点处导数值探究：极值点处导数值(即切线斜率）有何特点？即切线斜率）有何特点？结论结论:极值点处，如果有切线，切线水平的极值点处，如果有切线，切线水平的.即即: f (x)=0aby f(x)x1 x2x3f (x1)=0 f (x2)=0 f (x3)=0 思考思考;若若 f (x0)=0，则，则x0是否为极值点？是否为极值点？x yO分析yx3是极值点吗？）（处，在，得由0, 0003)( ,)(23xfxxxfxxfv若寻找若寻找可导函数可导函数极值点极值点,可否只由可否只由f (x

9、)=0 0求得即可求得即可? ?思考思考探索探索: x =0是否为函数是否为函数f(x)=x3的极值点的极值点?x yOf ( (x) ) x3 3 f (x)=3x2 当f (x)=0时，x =0，而x =0不是该函数的极值点.f (x0) =0 =0 x0 是可导函数是可导函数f(x)的极值点的极值点 x0左右侧导数异号左右侧导数异号 x0 是函数是函数f(x)的极值点的极值点 f (x0) =0=0注意：注意：f /(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件是函数取得极值的必要不充分条件进一步探究:极值点两侧函数图像单调性有何特点?极大值极大值极小值极小值即即: 极值点两侧极值点两侧单调

10、性单调性互异互异 f (x)0 yxOx1aby f(x)极大值点两侧极大值点两侧极小值点两侧极小值点两侧 f (x)0 f (x)0探究探究:极值点两侧极值点两侧导数正负符号导数正负符号有何规律有何规律?x2 xXx2 2 f (x) f(x) xXx1 1 f (x) f(x)增增f (x) 0f (x) =0f (x) 0极大值极大值减减f (x) 0注意注意:(1) f (x0) =0， x0不一定是极值点不一定是极值点(2)只有只有f (x0) =0且且x0两侧单调性两侧单调性不同不同 ， x0才是极值点才是极值点. (3)求求极值点，极值点，可以先求可以先求f (x0) =0的点，

11、的点，再再列表判断单调列表判断单调性性结论：结论：极值点处，极值点处，f (x) =0因为因为 所以所以例例1 求函数求函数 的极值的极值.31( )443f xxx解解:, 4431)(3xxxf. 4)(2xxf令令 解得解得 或或, 0)( xf, 2x. 2x当当 , 即即 , 或或 ;当当 , 即即 .0)( xf0)( xf2x2x22x当当 x 变化时变化时, f (x) 的变化情况如下表的变化情况如下表:x(, 2)2(2, 2)2( 2, +)00f (x) ( )fx+单调递增单调递增单调递减单调递减单调递增单调递增3/283/4所以所以, 当当 x = 2 时时, f (

12、x)有极大值有极大值 28 / 3 ;当当 x = 2 时时, f (x)有极小值有极小值 4 / 3 .例题4图像-2oxy2+-+28/3-4/3f(x)=1/3 x3-4x+41yxxxX1+0-0+( )fx( )f x所以，当所以，当x=-1是，函数的极大值是是，函数的极大值是-2，当，当x=1时，函数的时，函数的极小值是极小值是21,0 xxx解：f(x)=所以导函数的正负是交替出现的吗？不是不是22211( )1xfxxx ，( )01fxx 时，x当 变化时，f(x),f(x)变化如下表极大值极大值极小值极小值求函数极值（极大值，极小值）的一般步骤：求函数极值（极大值，极小值）

13、的一般步骤：（1）确定函数的定义域）确定函数的定义域（2）求方程）求方程f(x)=0的根的根（3）用方程）用方程f(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格若干个开区间，并列成表格（4）由）由f(x)在方程在方程f(x)=0的根左右的符号，来判断的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况在这个根处取极值的情况 若若f (x)左正右负，则左正右负，则f(x)为极大值；为极大值； 若若 f (x)左负右正，则左负右正，则f(x)为极小值为极小值+-x0-+x0求导求导求极点求极点列表列表求极值求极值练习练习2求下列函数的极值求下列函数的极值

14、:;27)( )2( ; 26)( ) 1 (32xxxfxxxf.3)( )4( ;126)( )3(33xxxfxxxf解解: , 112)( ) 1 (xxf令令 解得解得 列表列表:, 0)( xf.121xx0f (x)( )fx+单调递增单调递增单调递减单调递减 )121,(),121(1212449所以所以, 当当 时时, f (x)有极小值有极小值121x.2449)121(f练习练习2求下列函数的极值求下列函数的极值:;27)( )2( ; 26)( ) 1 (32xxxfxxxf.3)( )4( ;126)( )3(33xxxfxxxf解解: , 0273)( )2(2xx

15、f令解得解得 列表列表:. 3, 321xxx(, 3)3(3, 3)3( 3, +)00f (x) ( )fx+单调递增单调递增单调递减单调递减单调递增单调递增5454所以所以, 当当 x = 3 时时, f (x)有极大值有极大值 54 ;当当 x = 3 时时, f (x)有极小值有极小值 54 .练习练习2求下列函数的极值求下列函数的极值:;27)( )2( ; 26)( ) 1 (32xxxfxxxf.3)( )4( ;126)( )3(33xxxfxxxf解解: , 0312)( )3(2xxf令解得解得 . 2, 221xx所以所以, 当当 x = 2 时时, f (x)有极小值

16、有极小值 10 ;当当 x = 2 时时, f (x)有极大值有极大值 22 ., 033)( )4(2xxf令解得解得 . 1, 121xx所以所以, 当当 x = 1 时时, f (x)有极小值有极小值 2 ;当当 x = 1 时时, f (x)有极大值有极大值 2 .思考思考(1)导数为导数为0的点一定是的点一定是 函数的极值点吗？函数的极值点吗？例如：例如：f(x)=x3f (x)=3x20f (0)=302=0 xx0f (x)+0+f(x)oxyY=x3+若若f(x0) 是极值，则是极值，则f (x0)=0。反之，反之，f (x0)=0，f(x0)不一定是极值不一定是极值y=f(x

17、)在一点的导数为在一点的导数为0是函数是函数y=f(x)在这点取得极值的在这点取得极值的 必要条件。必要条件。思考思考(2).极大值一定比极小值大吗？极大值一定比极小值大吗？oxyab)( xfy 1x2x3x4x5x6x极值是函数的局部性概念极值是函数的局部性概念结论：不一定结论：不一定极大值极大值极小值极小值极极小小值值函数的性质函数的性质单调性单调性单调性的判别法单调性的判别法单调区间的求法单调区间的求法函数极值函数极值函数极值的定义函数极值的定义函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,使函数取得极值的点称为使函数取得极值的点称为极值点极值点.函数极值的求法函数极值的求法oxy0 xoxy0 x必要条件必要条件xyoxyo0 x0 x 求极值的步骤求极值的步骤:1.求导，求导，2.求极点，求极点，3.列表，列表，4.求极值求极值xyo)(xfy abABxyo)(xfy abBAf (x)0单调弟增单调弟增f (x)0单调递减单调递减1.求导，求导，2.求临界点求临界点