2726二次函数最值问题(2)

1、抛物线开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性最值y=a(x-h)2+ky=ax2+bx+c所以当x2时， 。解法一（配方法）：解法一（配方法）：2281yxx22277x 7y最小值2241xx224441xx1、用两种方法求，、用两种方法求，x取何值时，函数取何值时，函数 有有最大值或最小值，最大值或最小值是多少？最大值或最小值，最大值或最小值是多少？2281yxx因为所以当x2时， 。因为a20，抛物线 有最低点，所以y有最小值， 2281yxx224 2 18842,722 244 2bacbaa 7y最小值总结：求二次函数最值，有两个方法总结：求二次函数最值，有两个方法(1)用配方法；用配

2、方法；(2)用公式法用公式法解法二（公式法）：解法二（公式法）：又2、已知函数、已知函数 ，当，当x为何值为何值时，函数值时，函数值y随自变量的值的增大而减小。随自变量的值的增大而减小。211322yxx 解法一解法一： ， 102a 抛物线开口向下， 21169922xx 21913222x 21352x 对称轴是直线x3，当 x3时，y随x的增大而减小。 211322yxx 102a 331222ba 解法二解法二：，抛物线开口向下， 对称轴是直线x3，当 x3时，y随x的增大而减小。 在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题。如繁华

3、的商业城中很多人在买卖东西。实际问题。如繁华的商业城中很多人在买卖东西。 如果你去买商品，你会选买哪一家呢？如果你是商场经理，如果你去买商品，你会选买哪一家呢？如果你是商场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？如何定价才能使商场获得最大利润呢？例例1 已知二次函数已知二次函数y=2x-4x-3，若，若-1X5，求求y的最大值和最小值。的最大值和最小值。解: y =2x-4x-3 =2（x-2x+1）-5=2（x-1）-5 顶点坐标为（顶点坐标为（1，-5）而）而-1x5 y最小最小=-5 y最大最大=27 思考：思考： 若若2X5 y最小最小=_,y最大最大=_.(1,-5)(-1,3)(5

4、,27)-32721)3(32)2(20) 1 (32. 22xxxxxy的最大值和最小值数分别在下列范围内求函例) 4, 1 (12322：ab：xxx：y顶点坐标为对称轴为解xyox=1(1,-4) （1） y最小最小= -4 （2）y最小最小= -3 y最大最大=0 （3）y最小最小= -4 y最大最大=0(2)当当x 时，时，S最大值最大值 25（平方米）（平方米） Sx（202x） 2x220 x （0 x10） AB为为x米、篱笆长为米、篱笆长为20米米 花圃长为花圃长为 （202x）米）米 (1)求求y与与x的函数关系式及的函数关系式及自变量的取值范围；自变量的取值范围； (2)

5、怎样围才能使菜园的面积最大怎样围才能使菜园的面积最大?最大面积是多少？最大面积是多少？ 例例3、如图，用长、如图，用长20米的篱笆围成一个一面靠米的篱笆围成一个一面靠 墙的长方形的菜园，设菜园的宽为墙的长方形的菜园，设菜园的宽为x米，面米，面 积为积为y平方米。平方米。ABCD解：解： 52ababac442y0 x51015202530123457891o-16(0 x10)例例4 4、用、用6 m6 m长的铝合金型材做一个形状如图长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框应做成长、宽各为多少时，所示的矩形窗框应做成长、宽各为多少时，才能使做成的窗框的透光面积最大？最大透才能使做成的窗框的透

6、光面积最大？最大透光面积是多少？光面积是多少？ 图 26.2.5 解：解： (1) 设宽为设宽为x米、米、 窗框长窗框长 米米 . S （0 x2） 2)36(xx2)36(x0226, 0 xx20 x例例5.5.已知某商品的已知某商品的进价进价为每件为每件4040元。现在元。现在的的售价售价是每件是每件6060元，每星期可卖出元，每星期可卖出300300件。件。市场调查反映：如调整价格市场调查反映：如调整价格 ，每，每涨价涨价一元，一元，每星期要每星期要少卖少卖出出1010件；件；每每降价降价一元，每星期一元，每星期可可多卖多卖出出2020件。如何定价才能使件。如何定价才能使利润最大利润最

7、大？解：设每件涨价为解：设每件涨价为x元时获得的总利润为元时获得的总利润为y元元.y =(60-40+x)(300-10 x) =(20+x)(300-10 x) =-10 x2+100 x+6000 =-10(x2-10 x ) +6000 =-10(x-5)2-25 +6000 =-10(x-5)2+6250当当x=5时，时，y的最大值是的最大值是6250.定价定价:60+5=65（元）（元）(0 x30)怎样确定x的取值范围解解:设每件降价设每件降价x元时的总利润为元时的总利润为y元元.y=(60-40-x)(300+20 x) =(20-x)(300+20 x) =-20 x2+100

8、 x+6000 =-20（x2-5x-300） =-20（x-2.5）2+6125 （0 x20）所以定价为所以定价为60-2.5=57.5时利润最大时利润最大,最大值为最大值为6125元元. 答答:综合以上两种情况，定价为综合以上两种情况，定价为65元时可元时可 获得最大利润为获得最大利润为6250元元.由由(2)(3)的讨论及现在的销售的讨论及现在的销售情况情况,你知道应该如何定价能你知道应该如何定价能使利润最大了吗使利润最大了吗?怎样确定x的取值范围例例6 6、 某商店购进一批单价为某商店购进一批单价为2020元的日用品元的日用品, ,如如果以单价果以单价3030元销售元销售, ,那么半

9、个月内可以售出那么半个月内可以售出400400件件. .根据销售经验根据销售经验, ,提高单价会导致销售量的减少提高单价会导致销售量的减少, ,即即销售单价每提高销售单价每提高1 1元元, ,销售量相应减少销售量相应减少2020件件. .售价售价提高多少元时提高多少元时, ,才能在半个月内获得最大利润才能在半个月内获得最大利润? ?解：设售价提高x元时，半月内获得的利润为y元.则y=(x+30-20)(400-20 x) =-20 x2+200 x+4000 =-20(x-5)2+4500 当x=5时，y最大 =4500 答：当售价提高5元时，半月内可获最大利润4500元例例7. 某商场购进一

10、批单价为某商场购进一批单价为16元的日用品元的日用品,经实经实验发现若按每件验发现若按每件20元的价格销售时元的价格销售时,每月能卖每月能卖360件件,若按每件若按每件25元的价格销售时元的价格销售时,每月能卖每月能卖210件件,假假设每月销售件数为设每月销售件数为y(件件)是价格是价格x(元元/件件)的一次函数的一次函数.(1)试求试求y与与x之间的函数关系式之间的函数关系式.(2)在商品不积压在商品不积压,且不考虑其他因素的条件下且不考虑其他因素的条件下,问问:销售价格定为每件多少时销售价格定为每件多少时,才能使每月获得最大才能使每月获得最大利润利润?每月的最大利润是多少每月的最大利润是多

11、少? 解解: (1)设设y=kx+b把把x=20时时,y=360;x=25时时,y=210分别代入上式分别代入上式 得得 ：360=20k+b 210=25k+b 解得：解得： k=-30,b=960 所以所以y与与x之间的函数关系式为之间的函数关系式为y=-30 x+960(X16,且且x为整数为整数)（2）设每月利润为设每月利润为P元元,则则P=y(x-16)=(-30 x+960)(x-16)=-30 x+1440 x-15360P为最大值：（为最大值：（-3024+960）（）（24-16）=1920（元）（元） 答：当销售价格为每件答：当销售价格为每件24元时，每月利润最大，最大利元

12、时，每月利润最大，最大利润为润为1920元。元。当当x=- =24（元）时（元）时 14402x(-30)w(1).设矩形的一边设矩形的一边AB=xm,那那么么AD边的长度如何表示？边的长度如何表示？w(2).设矩形的面积为设矩形的面积为ym2,当当x取何值时取何值时,y的最大值是多少的最大值是多少?何时面积最大 例例8 8、如图、如图, ,在一个直角三角形的内部作一个在一个直角三角形的内部作一个矩形矩形ABCD，其中，其中ABAB和和ADAD分别在两直角边上分别在两直角边上. .MN40m30mABCDw(1).设矩形的一边设矩形的一边BC=xm,那么那么AB边的长度如何表示？边的长度如何表

13、示？w(2).设矩形的面积为设矩形的面积为ym2,当当x取何取何值时值时,y的最大值是多少的最大值是多少?何时面积最大 w如图如图, ,在一个直角三角形的内部作一个矩形在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCDABCD，其顶点其顶点A A和点和点D D分别在两直角边上分别在两直角边上, ,BCBC在斜边上在斜边上. .ABCDMNP40m30mxmbm : 1 .50 ,24 .MNm PHm解由勾股定理得 xxxxxby242512242512.22.3002525122x.30044,252:2abacyabx最大值时当或用公式12,24.25ABbmbx 设易得HG何时窗户通过的光线最多w

14、某建筑物的窗户如图所示某建筑物的窗户如图所示, ,它的上半部是半圆它的上半部是半圆, ,下下半部是矩形半部是矩形, ,制造窗框的材料总长制造窗框的材料总长( (图中所有的黑线图中所有的黑线的长度和的长度和) )为为15m.15m.当当x等于多少时等于多少时, ,窗户通过的光线窗户通过的光线最多最多( (结果精确到结果精确到0.01m)?0.01m)?此时此时, ,窗户的面积是多少窗户的面积是多少? ?xxy .1574.1:xxy由解.4715,xxy得xx215272 24715222.222xxxxxxyS窗户面积.02. 45622544,07. 114152:2abacyabx最大值时

15、当或用公式.562251415272x例例10、如图在一面靠墙的空地上用长为、如图在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为为x米，面积为米，面积为S平方米。平方米。(1)求求S与与x的函数关系式及自变量的取值范围；的函数关系式及自变量的取值范围；(2)当当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？(3)若墙的最大可用长度为若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。米，则求围成花圃的最大面积。 ABCD解： (1) AB为x米、篱笆长为24

16、米 花圃宽为（244x）米 (3) 墙的可用长度为8米 (2)当当x 时，S最大值 36（平方米）32ababac442 Sx（244x） 4x224 x （0 x6） 0244x 6 4x6当x4cm时，S最大值32 平方米练习练习1.1.在矩形在矩形ABCDABCD中，中，ABAB6cm6cm，BCBC12cm12cm，点，点P P从点从点A A出发，沿出发，沿ABAB边向点边向点B B以以1cm/1cm/秒的速度移动，秒的速度移动，同时，点同时，点Q Q从点从点B B出发沿出发沿BCBC边向点边向点C C以以2cm/2cm/秒的速秒的速度移动。如果度移动。如果P P、Q Q两点在分别到达

17、两点在分别到达B B、C C两点后就两点后就停止移动，回答下列问题：停止移动，回答下列问题：（1 1）运动开始后第几秒时，）运动开始后第几秒时，PBQPBQ的面积等于的面积等于8cm8cm2 2（2 2）设运动开始后第）设运动开始后第t t秒时，秒时，五边形五边形APQCDAPQCD的面积为的面积为ScmScm2 2，写出写出S S与与t t的函数关系式，的函数关系式，并指出自变量并指出自变量t t的取值范围；的取值范围；t t为何值时为何值时S S最小？求出最小？求出S S的最小值。的最小值。QPCBAD2.如图，在平面直角坐标系中，四边形如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，点为

18、菱形，点C的坐标为的坐标为(4,0)，AOC=60，垂直于，垂直于x轴的直线轴的直线l从从y轴出发，轴出发，沿沿x轴正方向以每秒轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线个单位长度的速度运动，设直线l与菱形与菱形OABC的两边分别交于点的两边分别交于点M、N(点点M在点在点N的上方的上方).(1)求求A、B两点的坐标；两点的坐标；（2)设设OMN的面积为的面积为S，直线，直线l运动时间为运动时间为t秒秒(0t6)，试求试求S 与与t的函数表达式；的函数表达式；(3)在题在题(2)的条件下，的条件下，t为何值时，为何值时，S的面积最大？最大面积的面积最大？最大面积是多少？是多少？ 3、. 如图，在如图，在ABC中，中，AB=8cmBC=6cm，B90，点，点P从点从点A开始沿开