高中数学 教学教研(名师研讨 教学设计 数学解题 反思 总结) 蜜蜂周报 第20期

1、蜜蜂周报第 20 期 1 / 30蜜 蜂 周 报第期（2020 年月日-月日）Brain用数学思维思考世界Eye用数学眼光观察世界Expression用数学语言表达世界蜜蜂周报第 20 期 2 / 30关于数学解题学习的几个关键词l 联系我所解决的每一个问题都将成为一个范例,用来于解决其他问题。笛卡尔l 反思没有任何一道题可以解决得十全十美，总剩下些工作要做，经过充分的探讨总结，总会有点滴的发现，总能改进这个解答，而且在任何情况下，我们总能提高自己对这个解答的理解水平。波利亚l 分类恰当地对题目、对解法进行分类，能让你的解题经验更加有序，更有结构化地在大脑里存储，便于你解题时进行检索，确定解题

2、思路。蜜蜂周报第 20 期 5 / 302020 年第 20 期目录第 1 题 7 月 28 日 函数方程问题 .1第 2 题 7 月 28 日 三次不等式恒成立最值.2第 3 题 7 月 28 日 解三角形问题 .3第 4 题 7 月 29 日 从特殊到一般对苏步青先生一个问题的变式.4第 5 题 7 月 30 日 一个比较大小的平凡题.7第 6 题 7 月 30 日 三角形最值问题 .7第 7 题 7 月 31 日 单墫老师出的一个题.9第 8 题 8 月 1 日 新人教 A 必修一的一道课后习题.12第 9 题 8 月 1 日 三道有关系的代数问题.13第 10 题 8 月 2 日 北大

3、强基计划数学测试一题.16第 11 题 8 月 2 日 整整齐齐的“等”与“不等” .22数学解题研究会近期活动 .25蜜蜂周报第 20 期 1 / 30第 1 题 7 月 28 日 函数方程问题一、题目二、解答我记得这种题应该是在必修一，讲完函数概念-表示法之后，有一种题型叫“求解析式”，会出现。我印象里是构造方程组，把 f（x）看成一个未知数。但我没见过三元的，而这个题就是要构造一个三元方程组。这里有个关键问题，就是如何知道后面两个自变量的形式，使其出现后恰好构成三元方程组，这里面有无什么规律？在解题研究会我们简单地讨论了一下：【小学生】江西宜丰蔡志敏 10:13:59新出现的变量带进去啊

4、，没有构造那么玄乎【小学生】江西宜丰蔡志敏 10:14:48解方程组，总要是几个固定的变量之间的关系式吧【群主】河北唐山齐建民 10:15:34也是。初始条件是，f(x),f(b),然后代 b，得到 f(b），f(c),再代 c，恰好回去了，三元凑齐了。如果说靠“观察，猜测”，这太没准了。对比一下解法，就是这样的：把自变量不断带入，直到能构成方程组为止，三元最多了。数里乾坤大，形中天地宽。四海皆同道，虚拟一线牵蜜蜂周报 第 20 期 1 / 30蜜蜂周报第 20 期 2 / 30下面的例子是常见的，也符合这个规律。这就是所谓解题模型。第 2 题 7 月 28 日 三次不等式恒成立最值数里乾坤大

5、，形中天地宽。四海皆同道，虚拟一线牵蜜蜂周报 第 20 期 2 / 30蜜蜂周报第 20 期 3 / 30其实这个题，我觉得里面还有些东西没有挖掘出来。第 3 题 7 月 28 日 解三角形问题数里乾坤大，形中天地宽。四海皆同道，虚拟一线牵蜜蜂周报 第 20 期 3 / 30蜜蜂周报第 20 期 4 / 30这个题，我一直觉得应该有更简单的方法，五分之四，这个数太好了，但是一直思考未果。第 4 题 7 月 29 日 从特殊到一般对苏步青先生一个问题的变式我习惯在晚上睡觉前翻翻订阅号，看到好的东西就收藏，或者更好的东西就转到“文件传输助手”，留着以后放进周报里。29 日晚上我看到一个公众号里提到

6、苏步青先生的一道题，记录如下：（蓝色字体均为公众号上的原文）题目：在一个无限大的棋盘上，每个小格子都是同样大小的正方形。能否找到 3个格点，使它们的连线构成正三角形？讲解思路：这道题属于几何问题，由于正方形棋盘是无限大的，故要说明能找到 3个格点满足条件，只需要举出一个例子即可；要说明任意 3个格点都不满足条件，需要给出严格的证明。这类题目大多选择严格的证明，这道题也不例外。苏步青教授把几何和数论结合在一起，给出了一个简洁美观的证明。为解题方便，假设每个小正方形的边长是 1。数里乾坤大，形中天地宽。四海皆同道，虚拟一线牵蜜蜂周报 第 20 期 4 / 30蜜蜂周报第 20 期 5 / 30总的

7、解题思路是：假设已经找到了 3 个点满足条件，如下图所示，想办法推出矛盾。先利用矩形面积减去边上 3 个三角形，得到中间三角形的面积；再利用正三角形的边长得到其面积；分别考虑这两种结果是有理数还是无理数。步骤 1：先思考第一个问题，用面积相减的方法计算中间三角形面积，得到的结果是有理数还是无理数？如上图所示，A,B,C 这 3 个点都在矩形 CDEF 上 ，每 2 个格点的距离都是 1，故矩形 CDEF 面积一定是整数。注意到 CD 和 AD 都是整数，故ACD的面积一定是有理数，类似可得对AEB 和BCF，其面积也一定是有理数。故ABC=CDEF-ACD-AEB-BCF,由于有理数之间做加减

8、法还是有理数，因此这种方法得到的面积是有理数。步骤 2：再思考第二个问题，考虑原题目的答案。下面利用边长 AB 计算ABC 的面积，假设 AB 的长度为 a，首先根据勾股定理，由于 AE 和 BE 都是整数，故 a2 也一定是整数，对于正三角形 ABC 来说，面积是 a2/4 乘以根号 3。这是一个典型的无理数， 这和步骤 1 得到的结论矛盾！矛盾出现的原因是假设不成立，所以任意 3 个格点都 构不成正三角形。这个题我以前在课本上或者什么地方见到过，是用倒角公式证明其不存在的。也是无理与有理产生矛盾。因为等边三角形内角 60 度的正切是无理数，而任意两边的斜率必然是有理数，所以用倒角公式计算一

9、个内角的正切也必然是有理数，产生矛盾。今天再次看到这个题，让我想到一个类似的问题在格点上，有没有三边都是整数的斜三角形？（这里的斜三角形就是一般意义上的，非直角三角形）。首先我搜索了下，以前有没有人研究过这个问题，没搜到，说明这是一个新问题。我感觉是没有，怎么证明没想出来。或者说有的话，没找到实例。我是按照不存在产生矛盾去思考的，按照习惯的思路可以用到角公式算出，三个内角的正切都是有理数，如果三边都是整数，那么用余弦定理可以算出三个内角的余弦也是有理数，则正弦也是有理数。再往下，不知道怎么产生矛盾了。我就把这个问题发到几个群里。那时已经很晚了（晚上 11 点多）。数里乾坤大，形中天地宽。四海皆

10、同道，虚拟一线牵蜜蜂周报 第 20 期 5 / 30蜜蜂周报第 20 期 6 / 30后来在李启印老师的启发下，得到这两个存在的例子，第一个稍微特殊了些，第二个更一般些。这就相当于解决了问题，证明了存在性！这应该与勾股数有关系。数里乾坤大，形中天地宽。四海皆同道，虚拟一线牵蜜蜂周报 第 20 期 6 / 30蜜蜂周报第 20 期 7 / 30第 5 题 7 月 30 日 一个比较大小的平凡题是一个网友问我的，碰巧我会做。直接展开肯定是不好的。这么复杂的式子，必然要用换元，换成结构比较简单的。换元的基础是，代数式中重复出现了几处结构相同的部分，才能换元。现在是没有的，那么怎么才能发现这几处结构相

11、同的部分呢？如果展开再去观察，难度太大了，相当于把一根针扔到沙子堆；所以要对原式进行分解因式，重新组合，产生相同的结构，实现换元。第 6 题 7 月 30 日 三角形最值问题这个题据说是某学校高一的考题，算是中规中矩的题目。数里乾坤大，形中天地宽。四海皆同道，虚拟一线牵蜜蜂周报 第 20 期 7 / 30蜜蜂周报第 20 期 8 / 30数里乾坤大，形中天地宽。四海皆同道，虚拟一线牵蜜蜂周报 第 20 期 8 / 30蜜蜂周报第 20 期 9 / 30第 7 题 7 月 31 日 单墫老师出的一个题来自公众号，数学望远镜。8 月 1 日，我看到公众号又发了两个新解法，补充如下：数里乾坤大，形中

12、天地宽。四海皆同道，虚拟一线牵蜜蜂周报 第 20 期 9 / 30蜜蜂周报第 20 期 10 / 30数里乾坤大，形中天地宽。四海皆同道，虚拟一线牵蜜蜂周报 第 20 期 10 / 30蜜蜂周报第 20 期 11 / 30看了三种解法，相当于把题目看了 3 遍，我们会自然地关注到系数：7,-5,2,根是正负 1。看到了什么？很明显，7-5=2 嘛！这是不是有什么规律呢。所以，我们可以猜一下： f (x) = 4x3 -3x + c ，如果有一个零点的绝对值不大于 1，那么所有零点的绝对值都不大于 1。（猜测成立！）最后说一下：很明显，这个题和今年高考 3 卷理科压轴那个题比较像：这个题有几种方

13、法收录在了第 17 期里，有兴趣的老师可以去看。数里乾坤大，形中天地宽。四海皆同道，虚拟一线牵蜜蜂周报 第 20 期 11 / 30蜜蜂周报第 20 期 12 / 30第 8 题 8 月 1 日 新人教 A 必修一的一道课后习题7 月 31 日晚上，我在一个教师群看到有一个老师提出这个问题。这个题出现在新人教必修 A 的第一章，1.4 充分条件和必要条件，是课后的习题，按层次看应该属于难度较大的。第一，给出结论，这个猜测的话应该不难；第二，用初中方法来证明（这个时候学生还没有学习余弦定理甚至三角函数也没学习）。有老师提出了下面的方法，基本和余弦定理的证明差不多，用到的知识确实都是初中的。数里乾

14、坤大，形中天地宽。四海皆同道，虚拟一线牵蜜蜂周报 第 20 期 12 / 30蜜蜂周报第 20 期 13 / 30（这个和上面那个差不多）第 9 题 8 月 1 日 三道有关系的代数问题今天在公众号“量级研究与数学学习”又看到一个单墫先生的文章，我最近一直坚持每天抄书，学习不等式，遇到过几个题和本题有关，所以记录下来。我遇到的问题是下面两个，都是比较复杂的不等式问题中的一个环节：数里乾坤大，形中天地宽。四海皆同道，虚拟一线牵蜜蜂周报 第 20 期 13 / 30蜜蜂周报第 20 期 14 / 30数里乾坤大，形中天地宽。四海皆同道，虚拟一线牵蜜蜂周报 第 20 期 14 / 30蜜蜂周报第 2

15、0 期 15 / 30可以看出，这三个题的共同之处是：n 个量的乘积为 1，则由他们轮换构成的若干分式的和也为 1。证明的方法也是类似的。数里乾坤大，形中天地宽。四海皆同道，虚拟一线牵蜜蜂周报 第 20 期 15 / 30蜜蜂周报第 20 期 16 / 30第 10 题 8 月 2 日 北大强基计划数学测试一题下面的解法来自公众号“数海漫游”。下面的解法来自辽宁赵春老师：开始我没仔细看，还以为这是 nesbitt 不等式，仔细一看原来不是。它和 nesbitt 是形似质异。数里乾坤大，形中天地宽。四海皆同道，虚拟一线牵蜜蜂周报 第 20 期 16 / 30蜜蜂周报第 20 期 17 / 30n

16、esbitt 不等式有很多解法，杨春波，程汉波两位老师的这个文章网上很容易找到，此处不再罗列。另外，我脑子里还有一个题也与强基计划这个题有关，我记得是一道 IMO 早期的试题，它俩才是“形似质同”。我赶紧去翻了一下哈工大刘培杰老师的这本书，果然有，我这记性还不错。这本书是早就买的，但里面的题我会做的很少，只不过有几个结构和结论比较简单的题我还记得。它是 1974 年的第 16 届 IMO 赛题。数里乾坤大，形中天地宽。四海皆同道，虚拟一线牵蜜蜂周报 第 20 期 17 / 30蜜蜂周报第 20 期 18 / 30数里乾坤大，形中天地宽。四海皆同道，虚拟一线牵蜜蜂周报 第 20 期 18 / 3

17、0蜜蜂周报第 20 期 19 / 30数里乾坤大，形中天地宽。四海皆同道，虚拟一线牵蜜蜂周报 第 20 期 19 / 30蜜蜂周报第 20 期 20 / 30数里乾坤大，形中天地宽。四海皆同道，虚拟一线牵蜜蜂周报 第 20 期 20 / 30蜜蜂周报第 20 期 21 / 30可以看出来，要得到这个题的结论，并不是太难，比较难的是怎样说明可以取到 1 到 2区间的每个数，如何严格地表达。数里乾坤大，形中天地宽。四海皆同道，虚拟一线牵蜜蜂周报 第 20 期 21 / 30蜜蜂周报第 20 期 22 / 30第 11 题 8 月 2 日 整整齐齐的“等”与“不等”这个内容也与单墫老师有关。我忽然发

18、现单老在微信里挺火的哈哈。今天看到单墫老师发了一个公众号文章，如下：数里乾坤大，形中天地宽。四海皆同道，虚拟一线牵蜜蜂周报 第 20 期 22 / 30蜜蜂周报第 20 期 23 / 30这个题难度并不大，初中生就可以做。这种“整整齐齐”的现象，在高中也有，我们的处理方法是，可以相加，相乘。ì =ab 2ï =íac 3 ，这个就需要相乘。ï =bc 6 î让我们把“整整齐齐”从等式转移到不等式：ì + ³2 2a b 2abïíb c bc a b c ab ac bc2 + 2 ³ 2 Þ 2 + 2 + 2 ³ + +ï + ³a c 2ac2 2î这种“整整齐齐”的现象似乎在不等式里更多，就拿 nesbitt 不等式的证明来说，很多地方都体现出这种整齐的结构。所谓“整齐”，用数学语言来说，就是“结构相同、相似，不等式方向相同”。数里乾坤大，形中天地宽。四海皆同道，虚拟一线牵蜜蜂周报 第 20 期 23 / 30蜜蜂周报第 20 期 24 / 30（解法来自杨春波老师的Nesbitt 不等式的十七种证明）数里乾坤大，形中天地宽。四海皆同道，虚拟一线牵蜜蜂周报 第 20 期 24 / 30蜜蜂周报第 20 期 25 / 30数