数学文化与人类文明_袁缘

1、 随着科学研究的发展与进步，数学已经空前广泛地渗入到数学以外的学科和我们的生活，然而现代数学在人们心中的地位却没有达到它应当达到的高度。随着数学专业化程度的提高、分支的逐步细化，专业知识因为艰涩和高深仅仅掌握在少数人手中而无法被大众共享，新的成果无人理解，奖项无人关注，数学仿佛离人们越来越远。对于数学这样一门富有深刻文化内涵的学科，就连一些受过良好教育的人也持无视态度，这是一个普遍的事实，也是令人担忧的现象，真实地反映了我们数学教育人文精神培养的严重缺失。 本文从人类文化与人类文明的角度探索数学的本质，分析数学的文化属性及功能特征，阐述数学的起源、发展、完善和应用的过程对于人类产生的重大影响，

2、既包括对人类生产生活方式的改变，也包括对人的观念、思想和思维方式的潜移默化的作用，同时体现了人类在探索、认识真理的过程中展现的精神和崇高境界。 通过对近十年关于“数学文化”与“数学教育”的文献进行阅读分析，从一个侧面展现了研究者们经历的理论上学习一一反思一一酝酿一一创新的研究过程，从观念上到实际上、从宏观上到微观上的认识和实践过程，通过分析梳理十年来关于数学文化、数学文化教学观、教学策略等的研究内容和研究成果，进而了解文化观下的数学教育的演变和发展，并对数学文化与数学教育的研究和实践提出了一些建议。 本文也通过对数学的科学价值及人文价值的分析，阐述了成功的数学教育应当注重数学的文化属性，在传授

3、知识的过程中训练思维，培养综合素养，并体现出数学的应用教育价值、思维教育价值、精神教育价值。同时，本文通过对我国高等数学教育现状的分析，寻找当前我国高校数学教育存在的不足并试图对数学课程的建设提出一些建议，指出从全面提升学生素质的角度出发，重视数学文化教育势在必行。 数学文化与人类文明 文化是一个使用频率极高且含义极广的概念，千百年来，哲学家、社会学家、人类学家、历史学家和语言学家等一直试图从各自学科的角度来界定文化的概念，却始终没有获得一个公认的、令大家都满意的定义。目前我们所知道的为文化人类学与社会学所继承的最经典的文化定义是泰勒给出的描述性定义，即“文化或文明是一个复杂的整体，它包括知识

4、、信仰、艺术、法律、伦理道德、风俗和作为社会成员的人通过学习而获得的任何其他能力和习惯”，而国内学者比较认同的是“人类物质和精神文明的总和”即为文化。 文化是人类知识与社会生活经验的积累，是一个具有子文化的、随着历史进程不断传播的复合整体。而数学是人类创造的非自然的产物，凝聚了人类的知识、意识与经验，在传播、影响、融合的过程中发展，具有文化的所有特点，所以应该被看作是一种文化。20世纪60年代，西方学者率先提出了数学文化观，从新的立场为数学哲学研究提出新的观点和方法。近20年来，数学文化逐渐引起了国内学者的关注，与数学文化相关的研究也轰轰烈烈地开展起来。 按照现代数学研究，数学文化可以表述为以

5、数学科学为核心，以数学的思想、精神、方法、内容等所辐射的相关文化领域为有机组成部分的一个具有特定功能的动态系统，其基本要素是数学及与数学有关的各种文化现象。数学文化研究开展以来，数学的抽象、确定、继承、简洁、统一的文化属性和渗透、传播、应用、预见的功能特征被挖掘出来，数学的艺术性也深深吸引了人们的眼球。然而这只是数学功能的外显式表现，数学文化研究表明，数学的起源、发展、完善和应用的过程对于人类产生重大的影响，既包括对于人的观念、思想和思维方式的一种潜移默化的作用，也包括在人类认识和发展数学的过程中体现出的探索精神。 逻辑思维是人类特有的精神活动，是人所以能进行逻辑思考原因，而人的逻辑思维能力的

6、养成与数学有着密切的关系。逻辑思维的过程实际上就是演绎或推理的过程，而演绎推理得以实现的前提是人们在意识中首先形成抽象的概念，即把概念从实体中抽象出来。 在早期的人类文明，数学的创始之初，人类就已经学会了思考数字并进行运算，而这种数的抽象概念的形成仅仅是逻辑思维的第一步，更有意义的是人们在数字之间建立起来的逻辑关系。当人们在数的概念之间建立起某种逻辑关系并确信这种逻辑关系的可靠性的时候，便开启了逻辑思维过程。在这一意义上说，逻辑思维始于数学，而逻辑能力也是通过数学培养起来的。当人们有能力在概念之间建立逻辑关系的时候，便意味着人们已经为自己构造了一个由概念组成的纯思的世界。数学为人们展现的是由诸

7、多与实体分离的概念组成的纯思的世界，在这个世界里，任何结论都是逻辑推理的结果。与数学的逻辑本质相似，思想也是人类理性思维的产品，在思想的世界里，人们所获得的任何认识和结论同样依赖于逻辑推理。故而在东西方思想文化史上存在一个显而易见的事实:凡是数学发展水平较高的民族，其思想文化的逻辑程度也相对较高。 在完成了自身的逻辑过程以后，探求数学真理便成了数学的基本精神，也导向了人们对于普遍必然性的关注。欧几里得说:“在几何学里，没有专为国王铺设的大道”;亚里士多德说:“关于真理的探索，在一种意义上是困难的，在另一种意义上又是容易的”，由此可见，数学家与哲学家在这一至关重要的一点上是一致的，即真理面前，每

8、个人都有同等的机会，无论是数学真理还是道德真理，只能通过人们的思辨获得。人类基本的思维倾向便是对普遍必然性的关注，而数学的发展使思想家对必然性的探求进入新的境界。人们通过逻辑发现，客观的物质世界所以变化的原因应当通过物质世界本身解释，而不能简单地用神意来说明。西方近代思想家笛卡尔甚至试图在哲学领域通过数学演绎法建立一个具有数学般确定性和可靠性的哲学体系，“带头重建哲学基础”，将哲学重新拉回理性时代，使得人们冲破宗教迷信的藩篱成为可能。可见近代西方曾经产生过巨大影响的理性主义同样是数学精神融入思想文化领域的结果。 以往有关数学史和文化史的研究中，人们更多注意到的是数学与自然科学之间的关系，却很少

9、谈到数学史与思想史之间的联系。事实上，数学的发展与人类思想的发展有着密切的相关性。除了帮助人类完成逻辑进程，唤醒人类的理性精神，数学还参与到促进人类思想解放的过程当中。在人类的精神世界里，理性达不到的地方才是鬼魅神怪的领域。人们通过学习和掌握知识来摆脱宗教迷信的束缚、改善生活，源于数学的理性精神的普及过程，就是人们形成理性的生活态度，摆脱精神栓桔，把宗教迷信从人们的口常生活中驱逐出去的过程，也是人们积累知识，跳出思维定式，创造新思维新生活的过程。 真理诞生总是伴随着曲折的，获得真理的道路也通常是坎坷的。数学史不但向我们展示了数学的发展进程，还向我们展示了人类探索真理、奋斗求真的艰辛过往。通过学

10、习数学史，我们看到人类对真理的追求、对超越自身的向往、对智力极限的挑战。这一切都在鼓舞我们后来之人要敢于怀疑和突破，要勇于独立思考，更要在追求真理的道路上坚持不懈。 一直以来，说到人的文化素质，人们大多以为文化素质主要是指人们在社会科学方面的知识修养，而很少提及在自然科学特别是数学方面的修养。我们认为，数学素养是人的文化素质最为重要的构成要素之一。 数学素养是人们在学习数学的过程中养成的基本素质，这种素质在现实的生活中主要体现为逻辑思考的能力与习惯，体现为理性的生活态度，体现为对真理的热爱，还体现为良好的个人品格。就每一个社会成员而言，他们也许没有足够的能力解决那些高深的数学问题，在他们的生活

11、和工作中，也可能不需要很强的数学计算能力，但是对于大多数人来说，只要他能够理解数学探求真理、尊重真理的客观性的基本精神，对各种问题能以“数学方式”理性思考，善于对现实世界中的现象和过程进行合理的简化和量化，他在事实上便已经获得了对于人生相当宝贵的东西。也就是说，在口常的社会生活中，良好的思维方式与生活态度、习惯，远比数学技能更为重要。在这一意义上说，数学文化教育的重要性是不言而喻的。从提高国民文化素质的目的出发，我们应该适时调整高等学校数学教学特别是非数学专业的教学目标与教学方案，从以往偏重数学技能的教学理念转向数学技能与数学素养并重，把培育学生的数学素养作为数学教学的基本目的，从而，使高等学

12、校的数学教学真正成为提高国民文化素质的可靠途径。 目前我国高等院校重数学技能培养而轻数学素质教育的课程结构，远不能适应提高人们数学素养乃至于国民整体文化素质的需要。在高等院校普及数学文化教育已经势在必行，但是还有很多函待解决的问题，如课程建设上将数学文化融入数学教学，迅速培养一支能够满足数学文化教学需要的教师队伍，把教材建设迅速提上议事口程等。 对于数学文化的研究，国内外的学者依旧在热火朝天地进行着，而数学文化教学效果的反馈还要经历一个比较长的时期。我们试图从自己对数学和文化的理解发掘数学的文化功能，希望能够抛砖引玉，对数学文化及数学教育的研究作出一点贡献。关键词: 数学，数学文化，数学教育，

13、人类文明 我们手边的词典对文化是这样解释的: 1、在人类社会历史和发展过程中所创造的精神财富和物质财富的总和，特指精神财富，如文学、艺术、教育、科学等; 2、考古学用语，指同一历史时期不依分布地点为转移的真迹、遗物的综合体。同样的工具、用具，同样的制造技术等，是同一种文化的特征，如仰韶文化、龙山文化; 3、指运用文字的能力及一般知识，文化知识、大学文化。 后面两条解释似乎比较好理解，而第一条即从“大”的方面定义文化成了人们争议的焦点。据美国学者克鲁伯(A. L. Kroeber)和克拉克洪(C.Kluckhohn)的统计，从1871年到19_51年的80年间，学术界有关文化的定义达到164种之

14、多。他们将这些定义整理归纳为描述性、历史性、行为规范性、心理性、结构性、遗传性和不完整性七组。典型定义摘录如下: 1、泰勒(E.B.Tylor 1871年) 文化或文明是一个复杂的整体，它包括知识、信仰、艺术、法律、伦理道理、风俗和作为社会成员的人通过学习而获得的任何其他能力和习惯(属描述性的定义); 2、帕克和伯吉斯(R.E.Park and E.Burgess 1921年) 一个群体的文化是指这一群体所生活的社会遗传结构的总和，而这些社会遗传结构又因这一群体人特定的历史生活和种族特点而获得其社会意义(属历史性的定义); 3、威斯勒(Wissler 1929年) 某个社会或部落所遵循的生活方

15、式被称作文化，它包括所有标准化的社会传统行为。部落文化是该部落的人所遵循的共同信仰和传统行为的总和(属行为规范性的定义); 4、斯莫尔(Small 190_5年) 文化”是指某一特定时期的人们为试图达到他们的目的而使用的技术、机械、智力和精神才能的总和。“文化”包括人类为达到个人或社会目的所采用的方法手段(属心理性的定义); _5、威利(Willey 1929年) 文化是一个反应行为的相互关联和相互依赖的习惯模式系统。(属结构性的定义); 6、亨廷顿(S.P.Huntington 194_5年) 我们所说的文化是指人类生产或创造的，而后传给其他人，特别是传给下一代人的每一件物品、习惯、观念、制

16、度、思维模式和行为模式(属遗传性的定义); 7、萨皮尔(E.Sapi 1921年) 文化可以定义为是一个社会所做、所思的事情(属不完整性的定义)。1l 值得一提的是泰勒的关于文化的概念出自他所著的原始文化，这是目前我们所知道的最早也是最经典的有关文化的定义，也为后来文化人类学与社会学所继承。 事实上，由于文化这一概念本身所具有的特性所致，在学科背景以及思想方式各不相同的人们那里，对于文化一定会有各不相同的理解，也一定会有各不相同的定义。其实，关于文化的定义，还是国内的一些学者说得更为简捷，那就是，文化是“人类物质文明和精神文明的总和”。 在如何理解文化这一概念的问题上，能否给出一个确切而又为人

17、们广泛接受的定义并不重要，重要的是对于文化本身的理解。我认为，把握文化的基本特征才是理解文化的基本途径。 首先，文化是人类的知识与社会生活经验的积累，是人们通过自身的活动影响自然和改造自然的结果。在辞源学的意义上说，英语中的“文化”一词来源于拉丁文的cultura，其意为耕作、培养、教育和发展出来的事物，同样，英语中的culture也有相近的意义，一些与culture词根相同的词，也都同样具有相同的意义，如，cultivate意为耕种、培养、修养、教养，而agriculture则意为农业、农学，也具有人工培育的意思。由此可见，英语世界里的“文化”(culture)，所指的就是人们根据自己的需要

18、培养或养成的一切事物，凡是人们有意识培育、改造或者影响的事物，便都具有了文化的内涵。是否凝聚了人类的知识、意识与生活经验，是区别文化特质与自然事物的分水岭。 其次，文化是一个复合的整体。作为一个无所不含的概念，文化涉及到人类社会生活的方方面面，而在特定的历史条件下，在社会生活中每一个方面又都会形成某种意义上的子文化，一个民族的文化实际上是由各种子文化构成的体系，构成这一体系的每一个子系统相互之间都是整合的，也就是说，人们在社会生活的每一个方面形成的文化，与整体文化的其他方面都有着一致性，所以，对于一个民族来说，每一个子文化系统都是不可能孤立存在的，它总是依存于这个民族整体的生活方式。 在另一方

19、面，构成整体文化的各个文化子系统之间又是相互联系、相互支持的。例如，在一个文化体系内，人们对于数理科学的理解可能会影响到哲学及其他人文科学，数理科学的发展水平也将直接影响到人文社会科学的发展水平，同样，在一个社会里，社会成员在自然科学与人文、社会科学方面的修养，将会渗透到社会生活的方方面面。 再次，文化是特定时期特定人群的行为活动，且具备某种活动“产品”，其核心为传统的思想和价值，是地域的、历史的和民族的。由于地理条件和生活范围等方面条件的限制，在漫长的历史进程中，生活在不同地域的人们都形成了自己的文化，文化在任何历史都是依存于一定的民族主体而存在的。它是每一个民族特定的生活方式的体现，在这一

20、意义上说，不同民族以及不同社会之间的差别，在本质上是文化的差别。同时，文化本身又有其积淀和发展的过程，每一个历史时代都必然有不同于其他时代的文化，人们既是既定的文化传统的传承者，又是自己时代的文化的创造者。所以，生活在特定历史条件下的人们既不可能与以往的文化传统相隔绝，也不可能使以往的文化传统完全复原。 第四，文化是随着历史进程不断传播的。就文化的民族性而言，每一个民族的文化都具有封闭和排异的特性，如果一个民族或者社会的文化不具有这样的特性，这个民族的文化就不可能存在。但在另一方面，文化又具有不断扩散的传播的属性。随着人们生活经验的积累，生活空间的扩展，以及不同地区的人们相互交往和沟通的口益频

21、繁，不同地区、民族之间的文化必然会相互影响和相互融合。可以说，每一个民族的文化都是在与其他民族的文化相互影响的过程中发展的，没有文化传播，文化乃至于人类文明也就无法发展。在这一意义上说，没有哪一个民族的文化可以在完全封闭的状态下得以保存和发展。例如，中国文化是在不断吸收外来文化而不断发展的，而中国古代的科学发现与发明也通过文化传播的方式影响了其他地区的文化。发源于小亚细亚的数学传播到了希腊，最终在希腊完成了逻辑化的过程。而希腊数学逻辑化过程的完结又促进了古希腊哲学的发展，最终形成了以希腊、罗马文化为代表的西方文化传统。而数学是人类智慧的产物故不对文化与文明进行区别。1.3数学文化的内涵 数学作

22、为一种科学的语言、工具和技术渗透在现代科技的方方面面早已是不争的事实，但是现代数学在人们心中的地位却远远没有达到它应当达到的高度。随着数学专业化程度的提高，它仿佛离人们越来越远了。专业的知识因为艰涩和高深仅仅掌握在少数人手中而无法被大众共享，这直接导致了新的成果无人理解，获得的奖项无人关注，所以数学人是“孤独的”。孤独造成高傲，高傲造成疏远，这其中有误解也有无奈。所以我们强调文化，因为脱离了文化基础的数学只能离人们越来越远。 受目前学校教育情况的影响，很多人认为数学是高高在上的，除了作为升学的工具，毫无用处。这样一来，对于数学这样一门富有深刻文化内涵的学科，就连一些受过良好教育的人也持无视的态

23、度，对数学的无知成了一种很普遍的社会现象，这是一个令人十分担忧的事实。就像美丽的图画并非只是线条和色彩，动人的乐曲并非只是音符和节拍，数学也不是只有数字、符号和运算。了解数学的人都知道，运算只是数学微不足道的方面，数学的精神、思想、方法都蕴藏着无比深刻的内涵，渗透到科学的每个角落。如果将数学比作一棵大树，那么这棵大树的生命力是旺盛的，这种生命力体现在数学起源、发展、完善和应用的每一个过程当中，而数学文化就像土壤一样几百几千年来滋养这棵大树，使它繁衍生息，长盛不衰。因此，扎根于文化土壤的数学教育是十分必要的，也是我们目前十分需要的，这一点将在第五章进行详细论述。 19世纪末到20世纪初的几十年是

24、数学哲学研究领域的黄金时代，关于数学基础的讨论十分活跃，也形成了不同的学派，包括逻辑主义学派、形式主义学派、直觉主义学派、集合论公理化学派等，大家都在筹划为数学建立牢固的哲学基础。虽然几个学派各有优缺点，但都为数学基础的严密性做出了贡献。然而哥德尔的工作击碎了他们的幻想，使数学哲学的研究一度陷入谷底。直到20世纪60年代，西方学者提出了数学文化观，从新的立场为数学哲学研究提出新的观点、新的方法。最早系统地完成这一开创性工作的是美国数学家怀尔德(R.Wilder，他提出了数学作为文化体系的数学哲学观。怀尔德是一名出色的数学家，主要从事拓扑学和数学基础的研究。他的数学基础引论和数学概念演变初探对数

25、学基础研究有着深远的意义。受到人类学家朋友的影响，他对人类学产生了浓厚的兴趣，并大胆地从人类学的视角考察数学的本质和发展，在数学研究中融入了人类学的研究体会，出版了著作数学概念的进化和作为文化体系的数学。他在著作中从文化生成和发展的理论等角度考察数学，率先提出了数学文化的概念并构建了数学文化的理论体系，形成了很长时期以来出现的第一个成熟的数学哲学观，强调了数学的发展动力、发展规律、思维方式等文化内涵，强调了遗传、环境、人类以及人类文化等对数学的作用影响。 第一，不同于物理、化学的以特定物质为研究对象，数学相对于认识主体而言描述的是众多物质形态的抽象，凝聚了人类的知识、意识与经验，是人类创造的非

26、自然的产物，符合广义的文化定义。 第二，数学的思想、规则等形成了一种相对稳定的行为系统，这使得数学成为一种独立的文化形态，与文化系统内的其他文化形态相互影响、相互渗透，成为人类文化一个相对独立并开放的子系统。 第三，以数学家作为特定人群，数学观和数学规范作为思想和价值，使得数学成为一种以数学家作为共同体主体，并在一定文化环境下所从事的创造性活动，是一种群体的特有行为，满足人类文化学中关于文化的观点。数学具有自身独特的发展规律，“遗传力量”和“环境力量”共同决定了数学的发展和进化，具备了文化的“历史性”、“地域性”和“民族性”特征。 第四，数学随着历史进程以不同的方式不断传播，在传播、影响、融合

27、的过程中发展。从这些意义上讲，数学具有文化的基本特征，应该被看作是一种文化。 按照现代数学研究，广义地讲，数学文化可以表述为以数学科学为核心，以数学的思想、精神、方法、内容等所辐射的相关文化领域为有机组成部分的一个具有特定功能的动态系统，其基本要素是数学及与数学有关的各种文化对象。4 数学文化首先研究的是数学本身，包括从科学体系角度对数学科学进行研究和从哲学角度对数学哲学进行研究。数学科学研究就是一般意义上的数学理论研究，而数学哲学研究则是对数学基础、数学悖论和数学本体论进行探讨，包括数学的对象、性质、特点、地位与作用，数学新分支、新课题提出的哲学意义，著名数学家和数学流派的数学和哲学思想以及

28、数学方法、数学的实在性和真理性等。5数学文化同时研究的是数学学科与其他学科、数学文化与其他文化之间的交互作用，比如数学与文学、数学与经济学之间的渗透影响等。 数学文化研究从文化因素思考数学的演变和发展，为数学史的研究提供新的思考方向。数学文化的历史研究不同于数学史的研究，数学史研究追求的是完善数学知识、数学思想的演化史，数学文化的历史研究是基于全局视角，思考数学与其他文化系统历史的互动关系，关注这些关系对现代数学发展的影响和启示。如中国的传统文化和实用哲学使中国传统数学重视实用性，制定实际问题的算法成为中国传统数学的本质，也是中国数学存在和发展的基点。古希腊的数学思想产生在城邦航海贸易的氛围中

29、，兼容并追求独立的思辨思想孕育了演绎数学，这是古希腊哲学的深入渗透和文化价值观的体现。从中西文化的差异角度，我们找到了东西方数学体系大相径庭的原因，不是数学本身的要求，而是文化的要求。 数学文化研究强调和突出社会文化心理、价值观念以及人类文化对数学发生的作用，从新的角度诊释了某些理论出现、发展、停滞或覆灭的原因。如古希腊的数学之所以昌盛，是因为希腊人以数学为万学之基，二元论的宇宙观也引导科学家将物质与自身分离而进行科学有效的客观分析。中国的儒家思想将数学放在六艺之末，天人合一的宇宙观使得东方人表现出长于直觉而短于抽象，擅于综合而不擅分析。这也是古代东方数学不能蓬勃发展的原因。 数学文化研究提出

30、了数学对于“环境力量”的反作用，也从新的角度加深了人们对数学的认识。科学研究的发展和进步使得现代数学的抽象程度越来越高，数学概念与方法空前广泛地渗透到数学之外的其他学科领域和我们的生活。数学的起源、发展、完善和应用的过程对于人类产生重大的影响，既包括对于人的观念、思想和思维方式的一种潜移默化的作用，也包括在人类认识和发展数学的过程中体现出的探索精神和所能达到的崇高境界。 数学文化的价值标准着眼于全局，关于数学的任何片面和狭义的理解都是不被接受的。数学不能脱离其他文化系统、脱离社会独立存在，而是一个相对独立并开放的动态的文化系统，我们对数学的理解也应当是全面、动态的。 近20年来，数学文化研究逐

31、渐引起了国内数学家的关注，“数学文化”一词使用频率的口益增加正体现了它旺盛的生命力，体现了人们从文化角度对它的理解。然而，数学文化研究最主要的价值当属教育价值。通过数学文化研究为教育者搭建一个平台，以此来分析进而解决教育中面临的一些困境和难题。 在2003年教育部颁布的普通高中数学课程标准中提到“数学是人类文化的重要组成部分，数学素质是公民所必须具备的一种基本素质”、“数学课程应适当反映数学的历史、应用和发展趋势，数学对推动社会发展的作用，数学的社会需求，社会发展对数学发展的推动作用，数学科学的思想体系，数学的美学价值，数学家的创新精神。数学课程应帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用，逐步形

32、成正确的数学观。为此，高中数学课程提倡体现数学的人文价值，并在适当的内容中提出对“数学文化”的学习要求，设立“数学史选讲”等专题。，6普通高中数学课程标准将数学文化作为选讲要求单独提出，表明了数学教育对数学文化的需求。 不过，由于数学文化研究在我国开始的时间不长，目前国内真正进行数学文化研究的学者屈指可数。国家对数学文化研究的立项和支持不够，各个高校的研究尚处萌芽阶段，高质量研究成果、论文也很少。这些都是我们应当注意的方面，有待进一步加强。 可喜的是，很多高校已经注意到大学生文化素质培养方面的不足，在教育中有意识地加强了科学素质与人文素质的培养，以弥补先期教育的不足，全面提高大学生的文化素质。

33、 2001年2月，南开大学面向全校所有专业的学生开设了“数学文化”公共选修课。国家级教学名师顾沛教授带领他的团队经过十轮教学实践出版了普通高等教育“十一五”国家级规划教材数学文化，也被其他高校数学文化课作为选用教材。课程不以数学的知识系统为线索，而以数学史、数学问题、数学知识和数学观点为载体，介绍数学思想、数学方法、数学精神，探讨数学与人文的交叉;不过深涉及数学理论，而对于数学的历史、现状和未来以及数学与人文的各种关系进行探讨。课程讲究知识性、趣味性、和思想性的统一，旨在提高大学生的数学素质、文化素质和思想素质。fl 2003年4月，南开大学开设“数学文化”课的做法在教育部教学指导委员会的刊物

34、大学数学上发表;2003年10月，“全国数学史、数学文化教学与教材研讨会”邀请顾沛作大会报告;2006年9月，理工科教学指导委员会通讯全文转载了南开大学开设的“数学文化”课及其中的素质教育;2007年4月顾沛的“数学文化”课与大学生文化素质教育在中国大学教学上发表。南开大学的“数学文化”课在全国产生了较大的影响，逐渐形成品牌。该课程于2007年被评为国家精品课程，“数学文化”课程组获得了2007年全国五一劳动奖状。8j学生通过选修课程，开辟了思考解决问题的新途径，并有多篇结业报告和论文在刊物上发表，数个课题项目获奖。“数学之美”论坛的创立及刊物的出版都在全国形成了一定的影响。 2002年，吉林

35、大学也面向全校各专业本科生开设了“数学文化”选修课，主要研究和介绍数学美学、数学与人的发展、数学与哲学、数学与文学艺术、数学与经济等方面的内容。通过课程的学习，使具备一定数学基础的学生能够换个角度思考数学，逐步体会到数学作为一种文化的含义，认识到数学学习的趣味性，从而陶冶学生的性情，提高学生的文化素质。该课程作为大学生文化素质的基础课，重在对学生的数学文化熏陶，同时，为其它课程的学习提供重要的思想、方法和语言。9该课程由数学学院博士生导师李辉来教授第一轮主讲，持续至今。李辉来教授在吉林大学开创了综合院校数学教育学研究方向，并于2003年建立了数学教育学硕士点。李辉来教授在数学教育方面取得了瞩目

36、的成就，在数学方法论和数学教育学等方面有较深的造诣，主持了多项国家级和省部级教学研究项目，获得了多项教学奖励，在国内公共数学教学和数学教育等方面具有较大的影响。2.1数学的文化特征2.1.1数学的抽象性 在早期的人类文明，数学的创始之初，人类学会了思考数字并进行一定程度的运算。苏联数学家亚历山大洛夫(A.D.Aleksandrov)说:“抽象性在简单的计算中就已经表现出来。我们运用抽象的数字，却并不打算每次都把它们同具体的对象联系起来。我们在学校学的是抽象的乘法表一一总是数字的乘法表，而不是男孩的数目乘上苹果的数目，或者苹果的数目乘上苹果的价钱等等。” 数学成为抽象的学科，人们将这一巨大的功劳

37、记在希腊人身上，毕达哥拉斯学派纯凭心智考虑抽象问题，认为数是真实物质的终极组成部分，是宇宙的要素，完全的演绎推理证明也加深了数学的抽象程度。希腊人有意识地承认并强调:数学上的东西如数和图形是思维的抽象，同实际事物或实际形象是完全不同的。yob物质实体是短暂的、不完善的，而抽象概念却是永恒的、完美的。虽然抽象相对实体更困难，但它的优点也是实体无法企及的，那就是一般性。在抽象的世界里，点没有大小，线没有宽度，面没有厚度，堆积的石子、成捆的树枝都可以表示数量关系。 一张小小的卡片是矩形，一块篱笆围成的土地也可以是矩形，两个完全不相关的物质实体我们却可以用同样的数学公式求得它们的面积，这只是一个简单的

38、例子。为了解决一个领域中的问题而得到的定理在另一个完全不同的领域里也能成功运用，这样的例子比比皆是，也正是数学的奥秘所在。 我国数学家徐利治和他的合作者对数学抽象的问题进行了系统的研究，并对数学抽象进行了定性分析。 就内容上讲，数学抽象就是指由具体事物中抽取出量的方面、属性或关系，川这里的“量，与质相对，包含了我们通常意义的数与形。例如人类剔除物质实体抽象出了计数符号1, 2, 3, 4，理想化忽略球体的大小和形状抽象出点。就方法上讲，因为数学研究的对象并非真实世界的客观存在，所以我们无法进行实验等直观的研究活动，而只能进行一种逻辑上的构造、演绎和推理，即对已经抽象出的概念进行深加工。例如人类

39、学会计数后，利用“加1”的累次叠加从具体的自然数得到了一般形态的自然数100000 1000000等，利用点、线、面定义出锥等。就程度上讲，深加工的并非是单纯的由具体事物中抽象出的概念，还在原有认知基础上进行逐步的理论构建，这种构建也是抽象的，并且是逐层进行的，发展越深，层次越高。例如由一般的自然数计数到基本的自然数运算、自然数集合再到今天的数论，由面积、体积的计算到欧式几何、非欧几何到今口具有庞大分支的几何学，还包括很多完全由思维自由创造得到的产物例如虚数、多维空间等。 数学抽象的方法与抽象度分析法是数学方法论的重要组成部分。郑毓信在数学方法论中对数学抽象的方法论原则有如下总结:思维形式 方

40、法论原则 构造性思维 模式构建形式化原则 同向思维弱抽象特性分离一般化原则 对偶化结构关联对偶化原则 类比 类比联想拓广性原则 逆向思维弱抽象关系定性特征化原则 精确化逆向分析精确化原则 完备化新元素添加完备化原则 悖向思维 悖向思维和谐性原则公理变更和谐化原则 概念扩展和谐化原则 观念更新和谐化原则 灵活运用这些方法对于构建数学定义、定理和理论框架是很有帮助的，如果数学抽象活动能够经得起所有的推敲，满足“广度”、“清晰度”、“深度”三个条件，那么对数学及其他学科的发展是十分有利的。 抽象度分析法则是对数学抽象的定量分析，计算并标注出抽象步骤各链条上的相对抽象度，清晰地描述各个概念在整个理论中

41、的地位，对于了解并从整体把握数学分支及数学理论的结构很有帮助。 总之，抽象的概念是永恒的，它不会随物质的变化而变化，抽象的数学在数学以外其他方面得到最大程度的应用;而抽象的演绎法孕育了理性精神，使得数学结论千年成立，对文化有着千年的影响。故而希腊人对数学的这一贡献最大限度地决定了今天文明的本质。2.1.2数学的确定性 数学追求一种完全确定、完全可靠的知识。这种结果得益于数学体系的特殊而有效的方法，即从一系列不证自明的公理出发，准确地描述将要讨论的概念和定义，经过严密的逻辑推理演绎得出明确无误的结论，这也是数学得以长足发展的动力因素。几千年来，数学的真理性得到人们的高度认同和尊崇。 然而，十九世

42、纪以后，数学的这种真理性地位却一次次受到巨大的冲击。非欧几何、四元数理论、集合论悖论给数学“真理的化身”形象笼罩上了阴影，使得数学丧失了揭示客观世界的“真理性”，也丧失了自身基础的严密性。克莱因(Morris Kline)在数学:确定性的丧失中提到“数学的当前困境是有许多种数学而不是只有一种，而且由于种种原因每一种都无法使对立学派满意。显然，普遍接受的概念、正确无误的推理体系一一1800年时的尊贵数学和那时人的自豪一一现在都成了痴心妄想。与未来数学相关的不确定性和可疑，取代了过去的确定性和自满。关于“最确定的”科学的基础意见不一致不仅让人吃惊，而且，温和一点说，是让人尴尬。” 如果我们所说的确

43、定是客观实在、可以实现的现实，那数学一定不是确定的。罗素说:“数学是这样一门学科:我们不知道它说的是什么，也不知道所说的正确与否。”看似无理的语言却揭示了数学的本质。不知道数学说的是什么，是因为数学研究的抽象对象与实际意义无关;不知道说的正确与否，是因为数学研究的结果不必证实与现实世界相符合。 任何一门学科都不是静止固定的，都是由诞生而后动态发展的，这个动态发展的过程也必然是曲折的。数学经过几千年曲折动态的发展，经过几次危机的洗礼过后才有了今天的面貌，既没有最初的起点，也没有最终的结束，口益扎深的根部、庞大的分支无时无刻不在体现着它旺盛的生命力。这样巨大的数学体系脱离了“确定”是必然的，因为我

44、们想要的绝对不是一个单纯描述客观世界的数学结构，克莱因想要说明的正是这一点。 然而相对于现实的不确定，数学在各自体系各自模式下的确定性却是无疑的。例如“三角形内角和为180度”，这绝不是说“在某种条件下，绝大部分三角形的内角和在某种误差范围内为180度”，而是在命题规定的范围内，一切三角形的内角和不多不少为180度。这种“模式下的”确定性通过纯粹的思想在认识上给人以极大的启发。故而几百年前证明的定理、构建的体系可以沿用至今。 数学确定性相对的丧失与存在对我们是个严峻的考验，可以说态度将决定未来数学的发展。数学研究的自由化倾向使得人们担心数学将会出现一事无成的局面。然而不使数学从与自然界直接对照

45、的实在论中摆脱出来，数学就不能前进。i2庆幸的是这种局面没有阻碍数学的进步和发展，也没有削弱数学在科学领域的指导力量。这种确定性相对的丧失更大的拓展了数学的外延，使数学的边界更加开阔，也更坚定了我们对未来数学的信心。2.1.3数学的继承性 科学知识是在长期的历史发展过程中形成的，其过程就说明了知识具有继承性，没有继承，就没有积累。我认为继承性应该从两方面理解。 从个人来讲，我们学习一些知识，无须重新经历科学家们艰苦的实践过程，短时间内就可以掌握到一门学科千百年来积累的成果。这种继承通过教育实现，极大的加速了科学技术的发展，故而现在一个中学生掌握的知识可以超过若干古代著名的科学家。“只有有效地继

46、承人类知识，同时把世界最先进的科学技术知识拿到手，我们再向前迈出半步，就是最先进的水平，第一流的科学家(诺贝尔物理学奖得主温伯格(Steven Weinberg) ) o”正因如此，知识领域才能发展成今天的面貌。法国的著名科学家庞加莱被誉为“全能数学家”，因为他在数学、天文、物理的几乎每一个领域都做出了杰出的贡献，然而今天，一个人想要掌握全部数学知识的三分之一都是不可能的。 从知识本身来讲，体系的形成是具有连续性的，这种连续体现了继承关系。以函数的概念发展为例，17世纪的函数概念产生于对运动的研究，是“一些量通过一系列代数运算得到的”，以现在的观点看则仅适用于代数函数部分。18世纪，随着数学研

47、究的深入，人们发现了三角函数、指数函数等，原有的代数函数的概念已经不能满足需要，于是函数的概念得到了扩张，“由一个变量与一些常量通过任何方式形成的解析表达式”，适用于现今的解析函数。19世纪，傅立叶明确提出函数不必表示为解析式，函数的概念摆脱解析式的束缚，“如果对于给定区间上的每一个x值有唯一的一个y值与它对应，那么就称y为x的一个函数”。这个概念的演变过程中后者即为前者的深化，体现了知识的继承关系。 与其他自然学科相比，数学具有无法比拟的继承性，每一次发展都是将前人的理论作为特例、基础，是一种延续的、积累的、不断进步的整体。在整个数学的发展史中，虽然发生了几次大的危机，但是经过数学家们的努力

48、，都找到了解决的办法，而几乎没有完全推翻前人理论的例子。反观其他学科，后人理论完全推翻前人学说的例子屡见不鲜。“口心说”取代“地心说”，伽利略在比萨斜塔的铁球落地实验推翻了持续近2000年的“下落速度正比于物体重量”的学说，氧气的发现否定了“燃素，说,.13唯有数学，给了我们一个一脉相承的知识体系，从萌芽阶段发展到现今的众多分支，不断地扩充壮大。不可否认，战争、灾害和危机等因素在某种程度上影响了它的进程，但却无法改变它的方向，也不足以否定数学体系的协调性，有利的社会环境和有效的科学组织却能大大加速其发展。2.1.4数学的简洁性 简洁性是数学的主要特征之一，这里所说的简洁性是指数学表达、方法、逻

49、辑结构的简洁，而并非数学知识体系的简单。 数学的简洁性首先体现在数学的语言及其逻辑的表述上。数学语言是数学思维的载体，具有独特的符号、语法和表达方式，准确、严密。数学的每一个定义定理都是经过反复推敲的，数学家们力求以最简练的语言表达最准确最充分的意思，摒弃了口常用语的混乱意义，用简洁明确的符号叙述复杂的关系。万有引力定律的发现，是17世纪自然科学最伟大的成果之一。它第一次解释了(自然界中四种相互作用之一)一种基本相互作用的规律，在人类认识自然的历史上树立了一座里程碑。这一重要理论的数学表示只有一个公式:F=G最深刻的内容和最简洁的表示得到了高度的统一。叙述复杂的交换律、结合律、分配率仅用几个字

50、母和符号就得以清晰的表达，“当且仅当”、“有且仅有”的精确词句也充分体现了数学的简洁和严谨。 数学的简洁性还体现在解决问题的方法上。计算中换元法用变量代替整体，化高为低，化分为整，化无理为有理，大大简化了计算过程。一元二次方程的求根公式给出了解一元二次方程的标准方法，使得方程的求解和判断简单明了。逻辑中的化归法将一个非基本的问题通过分解、变形或旋转、伸缩等多种方式转化为一个熟悉的基本问题，从而求出解答，减少重复劳动。递归法将规模较大的复杂问题分解成规模较小的问题，将规模较小的问题分解为规模更小的问题，直至分解成规模为1的可直接得解的问题，通过得到的小规模问题的解构造大规模问题的解，降低了问题的

51、复杂度。还有建模法、代入法、消元法、图像法等，无不体现了数学方法的简洁与解题的智慧。 数学体系的结构也体现出了简洁性。欧几里德的几何原本建立起的严密的几何理论系统，两千多年来对数学的发展产生了深远的影响。这样一部具有无与伦比伟大意义的巨著仅由_5个公设和_5个公理出发，这些公设和公理可以立刻证明出一些简单的定理，而这些简单的定理就是那些更深奥的定理的基石，这样，一个精密的几何体系就一点点建立起来。虽然深奥的定理不能立刻很简单的证明，但是无论如何复杂的定理，都不过是由一系列简单的演绎论证组成的。yob 诗歌之所以动人，就在于它能以最简练的语言表达最热烈的感情、最复杂的思想。漫画之所以让人喜爱，就

52、在于它用寥寥数笔勾勒出了事物的形象。14数学用最简单的形式表示出最复杂的理论，简洁却不简单，给了我们心灵最大的震撼。2.1.5数学的统一性 马克思主义哲学认为世界是统一的，但这种统一是多样性的统一，并非无差别的单一的统一。统一性以差异多样性为前提，共同形成了客观事物内在的一对基本矛盾。毕达哥拉斯说过:凡是美的东西都有一个共同特征，这就是部分与部分彼此之间，以及部分与整体间固有的协调一致。这种协调一致就是统一性。数学庞大的分支系统体现了数学学科的差异多样性，而数学客观反映物质世界数量关系和空间形式的本质则体现了统一性，差异多样性和统一性共同作用推动着数学体系不断深化、发展。 按照数学的发展脉络，

53、早期的代数、几何各自为政，独立发展。随着研究的深入，人们注意到几何曲线研究中数量方法的必要性，于是费马和笛卡尔开始用代数研究几何，将代数方程和曲线曲面联系起来，创立坐标几何，即解析几何。解析几何的创立将代数和几何紧密的联系在一起，成为变量数学发展的第一个里程碑。 到18世纪末，统一几何天下的一直是欧氏几何，而非欧几何的出现打破了这一局面，揭示了空间的弯曲性质，将欧式几何变成了平直空间的特例。射影几何、高维几何、微分几何、黎曼几何的研究展现了几何学无限广阔的发展前景，数学家们开始设想并寻找这些几何学的内在联系，进而统一整个几何世界。19世纪，射影几何的研究脱离了欧式几何的框架，使得欧式几何与非欧几何都成为了射影几何的特例，为几何学的统一铺平了道路。 新的数学理论逐渐产生后，数学也发展出若干小的分支，这些数学分支领域涉及方方面面，但是没有哪一分支可以剥离其他理论而单独存在。科学在进步，数学在发展，各个分支之间的联系越发紧密，而这些错综复杂的亲缘关