2017高考数学一轮复习 第九章 计数原理、概率与统计 第十一节 离散型随机变量的均值与方差习题 理

1、精选文档第十一节离散型随机变量的均值与方差基础达标一、选择题(每小题5分,共25分)1.设随机变量X的分布列为P(X=i)= (i=1,2,3),则P(X=2)等于()A.B.C.D.1.C【解析】由分布列的性质可得=1,a=3,所以P(X=2)=.2.设随机变量的分布列为P(=k)= (k=2,4,6,8,10),则D=()A.5B.8C.10D.162.B【解析】由于E=6,所以D=×(42+22+02+22+42)=8.3.(2015·山东沂水一中质检)某班有14名同学数学成果优秀,假如从该班随机找出5名同学,那么其中数学成果优秀的同学数XB,则E(2X+1)=()A

2、.B.C.3D.3.D【解析】由于XB,所以EX=,则E(2X+1)=2EX+1=2×+1=.4.袋中有3个“文洛克”,1个“福娃贝贝”,从中任取2个,取得1个“文洛克”得0分,取得1个“福娃贝贝”得2分,则所得分数X的均值EX=()A.0B.1C.2D.44.B【解析】由题意可得X的可能取值为0或2,其中X=0表示取得2个“文洛克”,X=2表示取得1个“文洛克”,1个“福娃贝贝”,所以P(X=0)=,P(X=2)=,故X的均值EX=0×+2×=1.5.设随机变量的分布列为下表所示且E=1.6,则a-b=()0123p0.1ab0.1A.0.2B.-0.2C.0.

3、8D.-0.85.B【解析】由0.1+a+b+0.1=1,得a+b=0.8,又由E=0×0.1+1×a+2×b+3×0.1=1.6,得a+2b=1.3,解得a=0.3,b=0.5,则a-b=-0.2.二、填空题(每小题5分,共5分)6.(2015·兰州一中月考)随机变量的分布列如下,其中a,2b, c成等差数列,若E=,则D=. -101Pabc6.【解析】由题意可得a+b+c=1,E=c-a=,a+c=4b,联立解得a=,b=,c=,所以D=.三、解答题(共25分)7.(12分)(2016·肇庆检测)某商店依据以往某种玩具

4、的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所示.将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.(1)估量日销售量的众数;(2)求在将来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另外1天的日销售量低于50个的概率;(3)用X表示在将来3天里日销售量不低于100个的天数,求随机变量X的分布列,期望EX及方差DX.7.【解析】(1)依据日销售量的频率分布直方图可得众数为=125.(2)记大事A1:“日销售量不低于100个”,大事A2:“日销售量低于50个”,大事B:“在将来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另外1天的日销售量低于50个”.则P(A1)=(

5、0.006+0.004+0.002)×50=0.6,P(A2)=0.003×50=0.15,P(B)=0.6×0.6×0.15×2=0.108.(3)X的全部可能取值为0,1,2,3.P(X=0)= (1-0.6)3=0.064,P(X=1)=×0.6×(1-0.6)2=0.288,P(X=2)=×0.62×(1-0.6)=0.432,P(X=3)=×0.63=0.216,则X的分布列为X0123P0.0640.2880.4320.216由于XB(3,0.6),所以EX=3×0.6=1

6、.8,DX=3×0.6×(1-0.6)=0.72.8.(13分)(2015·河南八校联考)现有4个人去参与消遣活动,该活动有甲、乙两个玩耍可供参与者选择,为增加趣味性,商定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子打算自己去参与哪个玩耍,掷出点数为1或2的人去参与甲玩耍,掷出点数大于2的人去参与乙玩耍.(1)求这4个人中恰有2人去参与甲玩耍的概率;(2)求这4个人中去参与甲玩耍的人数大于去参与乙玩耍的人数的概率;(3)用X,Y分别表示这4个人中去参与甲、乙玩耍的人数,记=|X-Y|,求随机变量的分布列与数学期望E.8.【解析】依题意,这4个人中,每个人去参与甲玩耍的概率为,

7、去参与乙玩耍的人数的概率为,设“这4个人中恰有i人去参与甲玩耍”为大事Ai(i=0,1,2,3,4),故P(Ai)=.(1)这4个人中恰有2人去参与甲玩耍的概率为P(A2)=.(2)设“这4个人中去参与甲玩耍的人数大于去参与乙玩耍的人数”为大事B,则B=A3A4,由于A3与A4互斥,故P(B)=P(A3)+P(A4)=.所以,这4个人去参与甲玩耍的人数大于去参与乙玩耍的人数的概率为.(3)的全部可能取值为0,2,4,由于A1与A3互斥,A0与A4互斥,故P(=0)=P(A2)=,P(=2)=P(A1)+P(A3)=,P(=4)=P(A0)+P(A4)=,所以的分布列为024P所以E=0

8、5;+2×+4×.高考冲关1.(5分)某篮球运动员进行投篮训练,若投进的概率是,用表示他投篮3次的进球数,则随机变量的标准差=()A.B.C.D.1.D【解析】由题意可知,听从二项分布B,所以方差D=3×,故标准差.2.(5分)(2015·浙江重点中学协作体联考)甲乙两人进行乒乓球竞赛,商定每局胜者得1分,负者得0分,竞赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止,设甲在每局中获胜的概率为,乙在每局中获胜的概率为,且各局胜败相互独立,则竞赛停止时已打局数的期望E为()A.B.C.D.2.B【解析】依题意知,的全部可能值为2,4,6,设每两局竞赛为一轮,则该

9、轮结束时竞赛停止的概率为.若该轮结束时竞赛还将连续,则甲、乙在该轮中必是各得一分,此时,该轮竞赛结果对下轮竞赛是否停止没有影响.从而有P(=2)=,P(=4)=,P(=6)=,故E=2×+4×+6×.3.(5分)(2014·浙江高考)已知甲盒中仅有1个球且为红球,乙盒中有m个红球和n个蓝球(m3,n3),从乙盒中随机抽取i(i=1,2)个球放入甲盒:(a)放入i个球后,甲盒中含有红球的个数记为i(i=1,2);(b)放入i个球后,从甲盒中取1个球是红球的概率记为pi(i=1,2).则()A.p1>p2,E1<E2B.p1<p2,E1&g

10、t;E2C.p1>p2,E1>E2D.p1<p2,E1<E23.A【解析】解法1(特值法):取m=n=3估算即可.解法2(标准解法):取一个球,红球个数为:0,1;P(=0)=,P(=1)=,E1=P(=0)×1+P(=1)×2=+1,p1=+1,取两个球时,红球个数为:0,1,2,P(=0)=,P(=1)=,P(=2)=,E2=P(=0)×1+P(=1)×2+P(=2)×3=+1,p2=,比较得A.4.(5分)(2015·上海十三校联考)设口袋中有黑球、白球共7个,从中任取2个球,令取到白球的个数为,且的数学

11、期望E=,则口袋中白球的个数为. 4.3【解析】设口袋中白球有n个,则由超几何分布的概率公式可得E=,解得n=3.5.(12分)(2015·重庆高考)端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子,其中豆沙粽2个,肉粽3个,白粽5个,这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3个.(1)求三种粽子各取到1个的概率;(2)设X表示取到的豆沙粽个数,求X的分布列与数学期望.5.【解析】(1)令A表示大事“三种粽子各取到1个”,则由古典概型的概率计算公式有P(A)=.(2)X的全部可能值为0,1,2,且P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=.综上知,X的分布列为X012

12、P故EX=0×+1×+2× (个).6.(13分)(2015·重庆巴蜀中学三诊)退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势.某机构为了解某城市市民的年龄构成,从该城市市民中随机抽取年龄段在2080岁(含20岁和80岁)之间的600人进行调查,并按年龄层次20,30),30,40),40,50),50,60),60,70),70,80绘制频率分布直方图,如图所示.若规定年龄分布在20,40)岁的人为“青年人”,40,60)为“中年人”,60,80为“老年人”.(1)若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替,试估算所调查的600人的平均年龄;(2)将上述人口分布的频率视为该城市在2080年龄段的人口分布的概率.从该城市2080年龄段市民中随机抽取3人,记抽到“老年人”的人数为X,求随机变量X的分布列和数学期望.6.【解析】(1)平均年龄为25×0.1+35×0.2+45×0.