数学教学中的示错探讨

1、论新课程理念下的数学示错教学浙江省上虞中学（312300）谢全苗新课程理念要求我们关注学生的发展，尤其是关注学生的情感体验、学习中出现困难出现错误， 要求我们用正确的态度去对待，正视学生的错误，优化纠错策略，让我们做好学生成长道路上的组织者、引导者和合作者 而示错教学正是这样一种好形式，因为这“公错”，则生“众疑” ，因“众疑” 而集“思”和广“研” （益），通过“思”，激活了思维，通过“研” ，找到了规律，在集“思”中进行了合作，体验了情感，得到了启发与领悟，在广“研（益）中找到（把握）了共性，活用了个性，总结出规律性的东西美国心理家R.Bainbrdge 所说：“差错人皆有之，作为教师不利

2、用是不能原谅的没有大量错误作为台阶就不能攀登上正确结果的宝座”即使教师也常会出错，一节好课也不在于没有错误， 而在于教师善于抓住时机启迪学生思维，通过示错纠错醒悟的教学过程，让学生在错误中寻找疑点，在误中思，在思中悟事实上，思维的动力来源于学生认知结构的不协调，而示错就是故意制造或扩大这种不协调 学生的思源于疑，疑源于错，示错得体，犹如一石投入学生脑海，必将激起学生的思维的浪花， 荡起智慧的涟漪，从而激起学生的强烈的探求新知的欲望和动力，进而在根本上改变了教学方式，提高课堂了教学的效率当代科学家、哲学家波普尔说：“错误中往往孕育着比正确更丰富的发现和创造因素，发现的方法就是试误法”毛泽东说得更

3、好： “错误和错折教训了我们，使我们变得聪明起来了”那么，如何开展“示错”活动？让我们的学生在自己常犯的错误和错折的教训中变得“聪明起来” 呢？这无疑成为我们值得思考和探索的课题本文从示错的原则、方式、时机、类型及方法的选择等方面进行探讨，力求通过示错来改变教学方法，提高课堂效率， 启迪学生思维，优化思维品质1 示错的原则任何教学都有原则， 示错也不例外 由于造成学生解题出错的原因各不相同， 有老师教学方面的，有学生学习方面的，还有教学环境的影响；有智力因素，也有非智力因素，如果按认知结构和学习过程来分， 又可分为知识性错误、 逻辑性错误、 策略性错误、 心理性错误、过程性错误和合理性错误、

4、潜在的假设性错误 按表现形式分， 可分为审题错误、 运算错误、论证错误、方法错误、操作性错误、表达不规范和笔误等等1对这些不同类型的错误， 为了保证示错教学的价值和意义， 示错教学中要遵循一些必要的原则：目的性原则，启发性原则，针对性原则，及时性原则，主体性原则，巩固性原则，提高性原则同时在纠错课中要有明确具体的教学目标， 如认知目标、智能目标，情感目标但一节课目标不能太多太高， 欲速则不达 我们必须看到学生基础和能力的差异， 不同的学生所犯的错误不同， 为了在有限的时课内达到预期的目标， 纠错课的内容必须具有很强的针对性，要针对普遍性错误， 如对比较抽象和难度较大的内容在理解和运用上所造成的

5、知识性错误，对重要的思想方法在使用中造成的方法、策略性错误的讲评，要充分调动学生的主观能动性和创造性， 让学生全员积极主动地参与纠错的思维过程， 教师只在关键处进行适当的点拨、引导、启发，错误尽可能让学生自己去发现，原因也要尽可能让学生自己去分析，正确的解答要呈现在学生已欲然开朗和方然大悟之后只有这样， 才能让学生更好地在纠错中巩固，在巩固中提高也只有这样，才能将“错误”进行到底，让学生在“误中悟”2 示错的方式示错的方式多种多样，可以是学生示错，也可以是教师自己示错，可以是有意示错，也可以是无意示错，但无论是哪种示错，都要尽量让学生自己去发现错误，去分析错因，去寻找正解而有趣的是不同的示错方

6、式有不同的效应如：学生示错式，容易产生同感和心理共鸣，能起到很好的纠错效果因此，适当地运用学生作业或考试中发生的典型错误，能起到很好的警示作用教师示错式，容易激发学生的学习兴趣，调节课堂气氛（因为学生总喜欢找教师的错误）况且，学生的学习过程是由未知到已知，从片面到完整，从肤浅到深刻的过程，因而常会出现各种各样的错误但若经常是讲学生的错误虽易产生同感和共鸣，可这不仅仅是单调了点，而且会让学生觉得自己怎么不长进点（常常出错），而教师又有这么高明因此，教师在课堂教学中应因地制宜地做设陷阱，有意示错， 以此去更好地引导学生积极探索，防范于未然有时是无意示错，来个“实话实说”，效果也会很好如在教学函数时

7、，为了强调函数定义域的重要性，可展示了如下错解过程，让学生去查找疑点：例已知两实数x ， y 满足 x 2 y2 6 x ，记 Sx 2y 22x ，求 S 的值域解： y2 6 x 2 x2 ， Sx26x2x22 xx28x(x4)216当 x 时， Smax ， S 无最小值，故 S 的值域为 (,16 ，此时，教师与学生2一起回头看：当Smax 时，x 代入已知等式x 2 y 2 6 x ，得 y 2 24 32，不可能在实数范围内成立，说明解法肯定有错错在哪里？让学生独立寻找，当学生找到错误根源忽视了函数定义域（问题的疑难点、易错点），接着再强调：我们在求函数的值域、最值、单调区间等

8、问题时，确定定义域是头大事这样教学，有利于把重难点、疑惑点“深入人心”，更有利于培养学生的发现、反思能力那么，怎样让学生得以巩固和提高呢？故又设置：例2 （ 2001年 云 南 省 统 考 试 题 ） 已 知 f ( x)2 log 3 x, x 1,9，求函数y f (x) 2f ( x2 ) 的值域这也是一个针对学生忽视函数定义域而设置的易错题先让学生练习， 教师巡视， 并让出错的同学板演，展示解题过程：错解： y f (x) 2f ( x2 )(log 3 x2)2log3 x22 log 32 x 6log 3x 6 (log3 x3)23 x1,9 ，log3 x0,2 y (log

9、3 x3)23 在 log3 x 0,2 上单调递增， y 22故函数的值域为 6， 22对于上述解答， 不少学生以为是对的， 但有同学发现， 虽然这里考虑到了函数的定义域，并由 x1,9 ，得到 log 3x0,2 ，可这“ x1,9 ”不是函数 y f ( x)2f ( x2 ) ，即y(log3 x3)23的定义域，而是函数f ( x)2 log3x 的定义域，因此，解答错误正确的解答是应先求出函数y f ( x) 2f (x2 ) 的定义域：由 x 得 x1,3 ，即函数 y f (x) 2f ( x2 ) 的定义域为 1,3 x2 所以 log3 x0,1 y(log3 x3)23在

10、 log3x 0,1 上单调递增， y 13故函数的值域为6， 13示错的时机由于出错的原因是多方面的，错误的类型又各不相同，就要根据针对性和及时性原则，对不同性质的错误，去选择不同的示错时机进行示错3 1开场示错生动有趣的导言，往往能在瞬间把学生从离散的自由思维状态引导到恰当的教学气氛3中，从而取得良好的教学效果以错误引课， 就是有意出现与本节课相关的典型错误，让学生产生疑虑，为引入课题打下伏笔这样“欲擒故纵”的手法不仅能激发学生积极思维，而且能培养学生思维的批判性，防止重蹈覆辙如在学无理不等式的解法时，由于学生极易仿效无理方程的解法，教师不妨先示错如下：例求 3x4 x3>的解解：3

11、x 4 x 3 >3x 4 > x 33 x > x x > 1 ，1 ,2即 x () 2( 1 ,然后，教师在区间) 内任取一个值 x ，则有3x4 1， x 3 22 ，在实数内均无意义，这表明上述解法有错，至此，学生一看不对，兴趣陡增，“到底错在哪里？” 由此，学生产生迫切的求知心和想弄清错因的强烈愿望，此时教师可利用学生存在的认知冲突及时引入课题，打破设置的悬念 这样的教学处理， 会给学生留下较为深刻的印象3.2 课末示错一节好课，还应当有一个好的结尾以错结尾，就是根据教学需要，以本节的重点、难点、易混淆易错知识点设错断课借以提醒或延伸；或以错蕴含下次课的主题

12、，为后续课埋下伏笔、做好铺垫，使学生产生“欲知后事如何（错在何处，为何出错，如何改错等），且听下回分解”的欲望如在讲授反函数的概念及求法时，可用以下错解断课，供学生反思：例 求 f ( x )x 2的反函数 f 1 ( x ) 2x2解： yx2， x2， f 1 ( x)2xy 12x1这个求法是否正确？为什么？这样的课断，设置了问题悬念，可启发学生分析错误的根源，找出解决的方法，比正面强调更能引发学生的深思，并能使学生在知错中引以为戒，不断探索3.3 新课示错概念是客观事物的本质属性在人脑中的反映，学习数学概念、定理，贵在掌握概念、定理的本质属性， 但要做到这一点却并非易事以误中引入概念教

13、学的新课，是帮助学生掌握概念的一条有效的途径，教育心理学指出： “概念或规则的正例传递了最有利于概括的信息，4反例则传递了最有利于辨别的信息”，而错例则起到警示作用.如在引入极限概念和极限的求法时，可先让学生思考：0. 9与的大小有许多学生.就认为 0.9 <，再问 0.99999究竟比小多少？有学生就说：小0.00000 ，实在不知.道何时说出 “”（引起哄堂大笑） ，然后又问： 0.9 与0.3 的关系？学生： 倍， 唔， 0.9 .理由是： 0.3 1 （这一点小学时就知道了） “但 0.99999确实比小呀！ ”矛盾冲3突产生了，通过辨悟，使学生看到了0.99999是一个极限值，

14、有限变化过程是一种量变的过程，而无限的变化过程则实现了由量变到质变的飞跃，无限变化过程自身的变化规律，是不能用有限变化的思维方式去理解、分析和推理的，只有极限的思想，才能得出正确结论，这时及时给出课题和任务， 由于引入激发了浓厚的兴趣，其教学效果自然不错，不仅使学生理解、 掌握了知识， 而且培养学生的极限意识，以使学生能正确应用极限的思维方式去分析处理无限变化的问题 .4 复习课示错对于学生的错误，适时集结暴露剖析，有利于加大以错攻错的力度，在教学中，特别是一个阶段后可把学生的典型错误分类整理，在以错误为素材，集中进行剖析讲评中，教师可先有目的地给出错例，让学生“找错”，然后师生共同纠错也可师

15、生共解某个问题，教师有意出错，看看学生能否发现，了解学生的警戒度也可先让学生独立进行尝试错误练习，去“出错”、“找错”，然后再小结发生错误的原因，为防再错，教师可针对各种错误制定对策，如为防范用基本不等式求最值出错，运用“正、定、等”的提示策略，当然，如果能用错误进行深入探索哪就更好，这种集错误于堂课的方法，无论对减少犯错率，还是培养学生思维的批判性和严密性，都是十分有效的例 已知圆的方程是 x2y2r 2 , 求经过圆上一点 M ( x0 , y0 ) 的切线方程首先让学生进行解答，利用平几知识学生很快得到了切线方程：xx0 yy0r 2 , 然后，教师给出与切线方程：xx0yy0r 2 形

16、同质异的二次变式，以培养思维的批判性变式： 已知 M (x0 , y0 ) 是圆 x2y2r 2 内异于圆心的一点，则直线 xx0yy0r 2 与圆的交点个数是学生只须利用直线与圆的位置关系的判断方法，即可得公共点的个数是0，但实际情况并非如此相当多的学生是受到原题的影响，一看到直线方程：“ xx0yy0r 2 ”的形式，5就想到直线与圆相切，于是就填上也有不少学生是一看到M (x0 , y0 ) 在圆 x2y2r 2内，便以为直线过圆内一点，断定直线与圆必相交，于是就填上为了澄清学生的模糊认识，在审题中不被“形” 所迷惑， 能透过 “形” 表面，察看“形”的本质，让学生自己发现错误，寻找错因

17、，在惊奇中醒悟，教师因势利导，进行变式引导：复习回顾：已知圆的方程是x 2y2r 2， M ( x0 , y0 ) 是一定点定理 当点 M ( x0 , y0 ) 在圆上时，直线 x0 xy0 y r 2 为圆在点处的切线变式 2：当点 M ( x0 , y0 ) 是圆外时，直线x0 xy0 yr 2 的几何意义是什么？引导学生探索：过点可作圆C 的两条切线 P M 、 P2 M ，设切点为111)、1P (x, yP2 ( x2 , y2 ) ，由结论1 得切线 P1 M 的方程为 x1 xy1 yr 2 ，切线 P2 M 的方程为 x2 xy2 yr 2 因点 M 在直线 P1M 、 P2

18、 M 上，所以x1 x0y1 y0r 2 ， x2 x0 y 2 y0r 2 ，由此可知,点 P、 P 在直线x0 xy0 yr2上，而过两点的直线只有一条，所以12x0 x y0 y r 2 竟为弦 P1 P2 的方程，而不是切线方程！（至此，学生兴致大增，原来竟是这样），于是，师生一起得到：定理 当点 M ( x0 , y0 ) 在圆外时， 过点可作圆C 的两条切线， 设切点为 P1、P2，则弦 P1 P2 的方程为 x0 xy0 yr 2 为了便于研究这个问题，我们把 M 点叫做圆的极点， 把直线 x0 x y0 yr 2 叫做点 M关于圆的极线这样，当点M (x0 , y0 ) 在圆上

19、时，切线PM1、 P2 M 和极线 P1 P2 三线重合，成为过点 M 的切线进而让学生看到：过圆外一点作圆的切线可作两条，过圆上一点可作一条，且这一条就是该点关于圆的极线，但过圆内一点不能作圆的实切线，于是又变式 3：当点 M ( x0 , y0 ) 在圆内（非圆心）时，直线x0 xy0 y r 2 的几何意义是什么？引导学生探索：过点可作圆C 的动弦 P1 P2 ，过点 P1、 P2作两切线，并相交于点P (x / , y / ) ，由结论2 得动弦 P1 P2的方程为 x / xy / yr 2 又因为点 M (x0, y0 ) 在 P1P2 上，则 x/ x0 y /y0r 2 ，以

20、x, y 分别代 x / , y/ ，则直线6x0 xy0 yr 2 竟是以动弦P1P2 的端点 P1 、 P2 为切点的两切线的交点P 的轨迹方程， 而既不是切线方程也不是弦P1 P2 的方程！真是让学生大开眼界，于是，师生又得到：定理 当点 M ( x0 , y0 ) 在圆内（非圆心）时，过点可作圆C 的动弦 P1 P2 ，则以 P1 、 P2 为切点的两切线的交点 P 的轨迹为直线 x0 x y0 y r 2 仍称直线 x0 x y0 y r 2 为点 M 关于圆的极线通过这个变“质”不变“形”的变式引导，让学生在示错中思考，在惊奇中醒悟，在探索、实践、发现的过程中享受了成功，在兴奋、愉

21、快的情景中既纠正了错误，发现了自己解题的错误所在是把极线与切线混为一谈、又培养思维的批判性，同学也学到了新的知识和方法，获得了自己意想不到的成果，其教学效果也不言而喻.5 讲评课示错无论是在作业、 还是试卷讲评， 讲评课示错都是将错误进行到底的又一种形式，这时的示错，教师既可从学生感兴趣的问题入手，对重点、难点和疑点，来个“焦点访谈”；也可从学生平时的练习与考试中发现的思想方法问题着手，对学生的“通病”与典型错误，来个“今日说法” ，进行分析解剖，做好对症下药，力求根除顽症；然后通过讲“通性通法” ，典型题型，典型思想、方法，引导学生举一反三，争取活学活用，并用变式教学与多题一解，通过恰当的变

22、化，以突出不变的本质其讲解的原则是：对基础知识教学是“不应求全，而应求联”，对基本技能教学是“不应求全， 而应求变”，“求联”与 “求变” 辨证统一，“求联”的目的是为了“求变” ，而“求变”不但需要“求联” ，而且是为了“不变” ，只有这样，才能指导学生反三为一，帮学生把书读薄；最后迎考的讲解则是根据考纲和近几年考试重点、热点出发，用大家屡做屡错，有点后怕的开放问题、应用问题、创新问题为例，去进一步培养你的应用能力和创新意识，在讲解中既要把教师自己的思路和解法讲清讲好，又要允许学生质疑、反驳，鼓励学生发表自己的想法、见解，让学生敢“胜于蓝” ，并能高度评价和推广学生的好想法、 好思路， 特别

23、是要为那种新颖的、 富有创造性的见解和优秀解答的产生创造良好的氛围这里实录湖北恩施一中杨仁宽老师的一段讲评：例设函数 yf (x) 的定义域全体实数，则函数 yf ( x1) ， yf (1x) 的图象关于（）（A ）直线 y0 对称 （ B）直线 x0 对称 （ C）直线 y1对称 （ D）直线 x1 对称7师：这次考试中的一个选择题是1997 年全国高考文科第7 题，题虽不难，但错误率很高，且是“两边倒”-选 B 与选 D ，下面就此题的选择请大家各抒己见，以理晓人，要弄清孰对孰错，要悟出个中道理生：先作 yf ( x) 的图象关于y 轴的对称，得到 yf ( x) 的图象，再把 yf (

24、x)的图象向左平移个单位，即得yf (x1) 故选生：同学在第二步作“平移变换”时，方向错了，应把yf ( x) 的图象向右平移个单位，即得yf (x1) ，即 yf (1x) 也选生 C：我是“先平移后对称” ，即把 yf (x) 的图象向右平移个单位， 得到 yf ( x1)的图象，再作 yf ( x1) 的图象关于y 轴的对称，得到 yf (x1) ，即 y f 1(x)还选生 D：这样做还快些， 即由于 f ( x1)f (1x) ，因此， yf (x 1),与yf (1x)的图象关于直线x112对称，又是选 B 生 E：我认为选B 不对，我们说yf (x) 与 yf (x) 的图象关

25、于 y 轴对称，即关于直线 x 0 对称，类比可知y f ( x1)与 yf (x1) 的图象关于直线 x10 对称，即关于直线x1 对称，故应选 D 师：好一个“类比” ，答案正确，加10 分（同学们会心一笑） ！由于平移理解错了，A同学确实犯了“方向”性错误，同学B 又错在哪里，有没有走上“正道”的办法呢？生：有！听了E 同学的发言， 我知道了选 B 的错误在于： 将 yf ( x) 与yf ( x)的图象都向右平移 1个单位后， 未注意到对称轴 （即直线 x 0 ）已被直线 x10“替换”了，是应选师：这样理解就对了！这说明不能机械地照搬（图象变换的）法则，而应弄清（图象变换的）实质！谁说说的错误在何处、丁的错误在哪里？生：同学和同学的错误类似第二步应作yf ( x1) 的图象关于直线x10 对称，即关于直线x1 对称，同学的错因在于增加了f (x1)f (1x) 这一条件！8生：用同学的想法（但不能增加条件）也可走上“正道”注意到yf (x) 与yf (2 ax) 的图象关于直线xa 对称，可知 yf ( x1),与 yf (1x) 的图象关于直线 x 1 1 x 对称，故选师：今天的讨论很有意义，大家的发言积极热烈，既阐明了道理，又找到了原因这道高考题较有新意，是一个没有给出函数解析式的有关函数图的对称问题，实际考察了三种图象变换（平移、对称、伸缩）